Formulari de Matem`atiques: models continus
J. Ripoll, Universitat de Girona, Facultat de Ciencies.
Equacions diferencials ordin`aries (EDO) escalars de primer ordre.
1. Una equaci´o diferencial ´es una equaci´o de la forma x0(t) = f(x(t), t), o en notaci´o redu¨ıda dx
dt =f(x, t),
on x=x(t) ´es la funci´o inc`ognita a determinar. Una soluci´o ´es una expressi´o de x(t) que substitu¨ıda
als dos costats d´ona una igualtat de funcions (igualtat certa per tot valor de la variable independent
t). La soluci´o general dep`en d’una sola constant arbitr`aria c. Exemple: x0(t) = x(t)−tt´e soluci´o
x(t) = c et+t+ 1.
2. Un problema de valor inicial (PVI) ´es una equaci´o diferencial m´es una condici´o inicial:
dx
dt =f(x, t), x(t0) = x0.
A partir de la soluci´o general de l’equaci´o diferencial, que dep`en d’una constant c, s’imposa la condici´o
inicial x(t0) = x0per calcular el valor de c. Exemple: dx
dt = 0.47 x,x(0) = 50, la soluci´o general ´es
x(t) = c·e0.47ti 50 = x(0) = c·e0,c= 50, llavors la soluci´o del PVI ´es x(t) = 50e0.47t.
3. M`etode de la separaci´o de les variables. Si la part dreta de l’equaci´o diferencial ´es divisi´o o producte
de funcions de cada una de les variables per separat, per exemple dx
dt =g(t)/h(x), llavors
h(x)dx =g(t)dt , Zh(x)dx =Zg(t)dt
Finalment, calculant les primitives a dreta i esquerra, obtenim la soluci´o H(x) = G(t) + c. La soluci´o
expl´ıcita x(t) s’obt´e a¨ıllant si es pot. Exemple: dx
dt =1+2t
x2,Rx2dx =R(1 + 2t)dt.
4. En la majoria de les aplicacions, la part dreta de l’equaci´o diferencial NO dep`en directament del
temps t, ´es a dir, dx
dt =f(x) i s’anomenen equacions aut`onomes. La soluci´o es troba separant variables
Rdx
f(x)=Rdt =t+c. Exemple: dx
dt =−0.1(x−20), Rdx
x−20 =R−0.1dt, i ln(x−20) = −0.1t+c.
5. Solucions d’equilibri. En general, donada una equaci´o diferencial dx
dt =f(x, t), una soluci´o que ´es
una constant x∗independent del temps, s’anomena soluci´o d’equilibri. La seva gr`afica en el temps ´es
una recta horitzontal. Com que les constants tenen derivada zero, els equilibris s´on les solucions de
0 = f(x, t). Exemple: dx
dt = (4x−2)(t+ 1) t´e un ´unic equilibri en x∗= 1/2.
6. Per les equacions aut`onomes dx
dt =f(x), el c`alcul dels equilibris ´es m´es f`acil ja que s´on les solucions
de 0 = f(x). Els equilibris x∗poden ser estables o inestables. El signe de la part dreta de l’equaci´o
determina la tend`encia de la soluci´o sense necessitat de calcular-la. Quan xcompleix que f(x)>0
llavors x(t) ´es una funci´o creixent en el temps. Quan xcompleix que f(x)<0 llavors x(t) ´es una
funci´o decreixent en el temps.
7. Estabilitat. Quan les traject`ories apunten cap a l’equilibri −→ x∗←− llavors ´es diu (asimpt`oticament)
estable. Es diu inestable si no ´es estable: ←− x∗−→, i.e. una petita pertorbaci´o de l’equilibri ens
allunya d’ell, o tamb´e −→ x∗−→ , o ←− x∗←−. Exemple: dx
dt = (1 −x/2000)xt´e dos equilibris:
x∗
0= 0 inestable i x∗
1= 2000 estable.
8. Din`amica de poblacions. (De)Creixement exponencial. Equaci´o de Malthus:dx
dt =rx, amb
x(0) = x0poblaci´o inicial i rtaxa per capita de creixement. x∗= 0 equilibri. La soluci´o ´es x(t) = x0ert
i llavors: si r < 0 la poblaci´o s’extingeix, i si r > 0 la poblaci´o creix indefinidament.
