Apunts matemàtiques i, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Apunts matemàtiques i y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

APUNTS

DE

MATEMÀTIQUES I

Gonzalo Rodríguez

Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial

Graus d’ADE i Economia Facultat d’Economia i Empresa

PRÒLEG

Aquests breus apunts, estructurats en forma de fitxes, estan pensats per a ser desenvolupats a les classes presencials de l’assignatura de Matemàtiques I dels graus d’Administració i Direcció d’Empreses (ADE) i d’Economia que s’imparteixen a la Facultat d’Economia i Empresa de la UB. Per tant, s’han de prendre com un ajut, una guia, i no pas com a un substitut d’elles. El contingut s’ha estructurat seguint ben de prop el programa que hom troba al Pla Docent de l’assignatura i que contempla dos blocs temàtics: en el primer (Bloc d’Àlgebra), dedicat a estudiar alguns dels conceptes més importants de l’àlgebra lineal, posem l’atenció en els espais vectorials (tema 1) i euclidians (tema 2) on s’introdueixen les nocions mètriques indispensables per a abordar amb cert rigor els continguts dels temes següents; en el segon bloc (Bloc de Càlcul) es desenvolupa àmpliament el concepte de funció escalar real (tema 3), així com els mètodes analítics que ens permetran trobar els màxims i mínims d’aquestes funcions –òptims lliures- (tema 4). Aquest darrer tema prepara el terreny pel que ha de venir a Matemàtiques II. Val a dir que la majoria dels conceptes exposats aquí -i que hem destacat en

cursiva- venen acompanyats d’exemples il·lustratius amb la idea de facilitar la

seva comprensió. En aquest sentit també estan pensats els exercicis que s’enuncien al final de cada tema i que demanen ser resolts i comentats en el decurs de les classes presencials. Així mateix, i al final del document, hom troba una ressenya bibliogràfica i un glossari de termes que té per objectiu ajudar en la cerca dels conceptes més importants. Per últim indicar que aquest document ha estat acceptat i arxivat en el Dipòsit Digital de la UB dins la col·lecció OMADO i que el seu contingut, així com les possibles errades que hom hi pugui trobar, són responsabilitat única i exclusiva de l’autor.

BLOC I: Àlgebra

1. L’ESPAI VECTORIAL REAL

1.1. Espai vectorial real i definicions bàsiques

Les magnituds numèriques amb les que treballa la ciència solen ser de dos

tipus:escalars ivectorials. Les escalars són les que venen determinades per un

únic valor numèric com, per exemple, el pes d’un cos, el preu d’un bé econòmic o els tipus d’interès. Per contra, les magnituds de tipus vectorial necessiten més d’un valor numèric per ser definides; pensem, per exemple, en el vector-força de la Física on cal conèixer, entre d’altres, la direcció i el sentit cap a on va dirigida. En Economia, les magnituds vectorials apareixen freqüentment com a variables independents de funcions escalars. 1 Com a exemple il·lustratiu tenim

la funció de producció de Cobb-Douglas: Q= 2.26⋅ K 0.44^ ⋅ L0.48, que relaciona la

quantitat produïdaQ (output) amb els factors de producció del capitalK i del

treballL (inputs) d’un cert sistema productiu. Esquemàticament:

En aquest cas, diríem que la producció Q depèn funcionalment del “vector”

bidimensional dels inputs (^) ( K L,^ )i ho simbolitzaríem per Q^ =^ Q K L( , ). Doncs bé,

la noció d’espai vectorial recull les propietats més importants de la “suma” i del “producte extern” de vectors.^2

(^1) Estudiem les funcions escalars en el Bloc II. (^2) És a dir, del producte d’un vector per un número.

1.1.1.Espai vectorial, vectors i escalars

Unespai vectorial real vindrà donat per un conjunt devectors:

R n = (^) { x^ G = (^) ( x 1 , …, xn (^) ): x 1 , …,xn∈ R }

unasuma interna de vectors:

x^ G + yG = (^) ( x 1 , …, xn (^) ) + (^) ( y 1 , …, yn (^) ) = (^) ( x 1 + y 1 , …,xn +yn)

i unproducte extern de vectors:

λ ⋅ x^ G = λ⋅ (^) ( x 1 , …, xn (^) ) =( λx 1 , …, λxn), amb λ ∈ R.

Als elements del conjunt R els hi diremescalars. 3

A partir d’ara, i si no hi ha ambigüitat, notarem el vector nul de l’espai

vectorial R n -que és l’element “neutre” de la suma de vectors- per: ) 0 0, , 0  n  =    

G …. 4

Per un altre cantó, i per a tot vectorx^ G ∈ R n , el seu vectoroposat serà:

−x G^ = (^) ( − (^1) )⋅xG^.

En general, i per a tot espai vectorial R n , haurem de considerar les següents propietats:

• λ ⋅ 0 G = 0 G^. En particular: 0 ⋅ xG^ = 0 G.
• λ⋅ xG^ = 0 G implica→ λ= 0 ó xG^ = 0 G.
• − (^) ( λ⋅ x^ G^ ) = (^) ( −λ (^) )⋅xG^.
• xG = yG^ ←Equivalent^ → xG − yG^ = 0 G.

(^3) Per a una definició d’espai vectorial més general hom pot veure qualsevol dels manuals d’àlgebra que apareixen en la bibliografia. 4 No hem de confondre aquest vector amb l’escalar 0.

1.1.3.Dependència i independència lineal de vectors

Com hem vist, el vector (^) ( −1,9, 4 (^) ) es pot expressar com a combinació lineal dels

vectors (^) ( 1,2, 0 (^) ) i (^) ( −4,3, 4 (^) ). En aquest cas direm que els tres vectors (^) ( −1,9, 4 (^) ),

( 1,2, 0)^ i^ ( −4,3, 4^ ) són linealment dependents.^ Per contra, això no passa amb el

vector (^) ( 7,3, 4 ; en aquesta tessitura direm que) (^) ( 7,3, 4 (^) ), (^) ( 1,2, 0 (^) ) i (^) ( −4,3, 4 (^) ) són

linealment independents.^8 En general,^ k^ vectors^ x^ G 1 ,^ …,^ xGk^ ∈ R n^ són:

1. Linealment dependents si un d’ells, per exemple x^ Gi^ , es pot escriure com a

combinació lineal de la resta:

xi = λ 1 ⋅ x 1 + + λi− 1 ⋅ xi− 1 + λi+ 1 ⋅ xi+ 1 + + λk ⋅xk

G G " G G " G.

2. Linealment independents quan això no passa, és a dir, quan cap d’ells es pot

expressar a partir dels altres com a combinació lineal.

Podem enunciar ara un teorema de caracterització 9 de la independència lineal de vectors a partir de les combinacions lineals “nul·les” de vectors que són les de la forma:

λ 1 ⋅ x 1 + + λk ⋅ xk = 0

G " G G.

• En general,k vectors x^ G 1 , …, xG (^) k∈ R n són linealment independents si i només

si tota combinació lineal nul·la entre ells té els seus escalars nuls. En altres paraules:

λ 1 ⋅ xG 1 + " + λk ⋅ xGk = 0 G implica→ λ 1 = " = λk = 0. 10

8 Val a dir que el vector ( 1,2, 0) tampoc és combinació lineal dels vectors ( 7,3, 4) i ( −4,3, 4 ), i

que passa el mateix amb el vector ( −4,3, 4 )respecte de ( 7,3, 4 )i ( 1,2, 0 ).

(^9) La demostració d’aquest teorema està penjada al Campus Virtual. (^10) Evidentment, un conjunt de vectors seran linealment dependents si i només si existeix alguna combinació lineal nul·la entre ells amb algun dels escalars diferent de zero.

Exemple:Demostra que els vectors (^) ( 7,3, 4), (^) ( 1,2, 0) i (^) ( −4,3, 4) són linealment

independents mentre que (^) ( −1,9, 4) , ( 1,2, 0) i (^) ( −4,3, 4) no ho són.

SOLUCIÓ: En el primer cas, cal plantejar l’equació vectorial: ( 0, 0, 0^ ) =^ λ 1 ⋅^ ( 7,3, 4)^ +^ λ 2 ⋅^ ( 1,2, 0^ ) +^ λ 3 ⋅ −( 4,3, 4)

que dóna lloc al sistema homogeni:

1 2 3 1 2 3 1 3

Com que aquest sistema d’equacions lineals és de Cramer, 11 la solució és única i igual a la solució trivial. Per tant:

(^1 2 3) Solució única (^1) implica 1 2 3 2 1 3 3

3 2 3 0 0 Linealment independents 4 4 0 0

+ = ^ ^ = 

En el segon cas, l’equació vectorial nul·la que cal analitzar és: ( 0, 0, 0 ) = λ 1 ⋅ −( 1,9, 4 (^) ) + λ 2 ⋅ ( 1,2, 0 ) + λ 3 ⋅ −( 4,3, 4)

amb el sistema d’equacions lineals associat:

1 2 3 1 2 3 1 3

Com que aquest sistema és compatible i indeterminat tenim que:

(^1 2 3) Compatible i indeterminat 1 2 3 1 3

9 2 3 0 Té més d'una solució 4 4 0

Així doncs, els tres vectors són ara linealment dependents ja que, òbviament, alguna d’aquestes solucions conté escalars diferents de zero.

(^11) Recordem que un sistema d’equacions lineals és homogeni si té tots els termes independents nuls, i és de Cramer si és compatible i determinat amb matriu associada quadrada. Tot sistema homogeni és sempre compatible ja que, com a mínim, té la solució trivial igual a zero.

1.1.4.Sistema de generadors d’un espai vectorial

Un tercer concepte fonamental és el de sistema de generadors d’un espai vectorial. Per exemple, els tres vectors (^) ( 1, 0, 0 ,) ( 0,1, 0 (^) ) i (^) ( 0, 0,1) formen un

sistema de generadors de R^3 ja que qualsevol vector es pot escriure com a combinació lineal d’ells. En efecte:

( a b c,^ ,^ ) =^ a⋅^ ( 1, 0, 0^ ) +^ b⋅^ ( 0,1, 0^ ) +^ c⋅^ ( 0, 0,1).

En general, diem quek vectors x^ G 1 , …, xGk ∈ R n formen unsistema de generadors

de R^ n si tot vector es pot expressar com a combinació lineal d’ells.

En aquest context cal tenir present la propietat de caracterització que diu:

• k vectors de R n formen un sistema de generadors de R n si i només si la

matriu que formen té rangn.

Exemple:Prova que els quatres vectors (^) ( 1, 0, 0), (^) ( 2,3, − (^1) ) , (^) ( 5,11, − (^4) ) i (^) ( −4,5, 0)

formen un sistema de generadors de R^3.

SOLUCIÓ:

En aquest cas, n = 3 i la matriu que formen els quatre vectors és:

A

= ^ − 

Com que:

implica

2 3 1 11 4 12 11 1 0 rang 3 5 11 4

− = −^ − = − + = − ≠ → A = =n

deduïm que aquests quatre vectors formen un sistema de generadors de R^3.

1.2. Base i dimensió d’un espai vectorial

Una base d’un espai vectorial és un sistema de generadors format per un

nombre “mínim” de vectors. En concret, un conjunt dek vectors x^ G 1 , …, xGk ∈ R n

diem que és unabase de R n si formen un sistema de generadors i, a més, són

linealment independents. Vegem un exemple important de base:

Exemple:Els n vectors:

 (^) 1, 0, n^ −^1 )^ , 0 , (^) ,  (^) 0, n−^1 ), 0,1 ∈ n  …^  …^  …^  R

formen una base de R n.^13

SOLUCIÓ:

Que constitueixen un sistema de generadors és trivial ja que:

( x 1 ,^ x 2 ,^ …,^ xn^ ) =^ x 1 ⋅^ ( 1, 0,^ …, 0^ ) +^ x 2 ⋅^ ( 0,1, 0,^ …, 0^ ) +^ …^ +^ xn⋅( 0,^ …, 0,1)

i és evident que són linealment independents ja que la matriu quadrada que formen, que és la matriu identitat, és regular: 14

implica implica

(^0) det 1 0 rang 0 0 0 1

In In In n

= ^ → = ≠ → =

De la definició de base es desprèn automàticament que totes les bases d’un espai vectorial tenen el mateix nombre de vectors. Així doncs, i per definició,

ladimensió d’un espai vectorial és el nombre de vectors de les seves bases. 15

(^13) És l’anomenada basecanònica de R n. (^14) Una matriu quadrada és regular si el seu determinant és diferent de zero. Cal tenir present que aquestes són les úniques matrius que admeten matriu inversa. 15 Val a dir que existeixen espais vectorials de dimensió infinita.

1.2.2.Vector de components d’un vector en una base

Un darrer concepte relatiu a les bases d’un espai vectorial és el de vector de components d’un vector en una base donada. En general, si:

x^ G = λ 1 ⋅ xG 1 + "+ λn ⋅xGn

és l’expressió del vectorx^ G ∈ R n en la base x^ G 1 , …, xGn ∈ R n , direm que el vector:

λ^ G = (^) ( λ 1 , …, λn)∈ R n

és elvector de components dex^ G^ en aquesta base.^16

Exemple:Troba el vector de components de (^) ( 2,5,1) en la base de R^3 formada

pels vectors (^) ( 2, 0,5), (^) ( 3,3,1) i (^) ( 0, 0,1 .)

SOLUCIÓ: Aquests vectors formen una base de R^3 ja que, com podem constatar, el determinant de la matriu que formen és diferent de zero. Així doncs, i per definició, el vector de components (^) ( λ 1 , λ 2 ,λ 3 ) de (^) ( 2,5,1) en aquesta base

satisfarà l’equació vectorial:

( 2,5,1)^ =^ λ 1 ⋅^ ( 2, 0,5^ ) +^ λ 2 ⋅^ ( 3,3,1)^ +^ λ 3 ⋅( 0, 0,1)

és a dir, que serà la solució del sistema d’equacions lineals de Cramer: 17

(^1 2) Solució 1 2 2 1 2 3 3

+ + = ^  =

Per tant, el vector de components que busquem és:

( λ 1 ,^ λ 2 ,^ λ 3 )=^ ^ −3 52 3,^ ,^416 ^.

(^16) Es pot provar que aquest vector és únic (la demostració està penjada al Campus Virtual). (^17) Els sistemes d’equacions lineals que s’obtenen al calcular els vectors de components són sempre sistemes de Cramer.

1.3. Subespai vectorial

Un subespai vectorial és un subconjunt no buit d’un espai vectorial que és “tancat” per les operacions suma i producte, la qual cosa fa que sigui també un espai vectorial amb les mateixes operacions que l’espai inicial. En general, diem

que un subconjunt no buitS ⊂ R n és unsubespai vectorial de R n si:

1. Per a tota parella de vectors deS :

x y^ G,^ G ∈ Simplica→ xG + yG ∈S

2. Per a tot vector deS i tot escalar:

x^ G ∈ S i λ∈ R implica→ λ⋅ xG ∈S

Exemple:Prova que el conjunt:

S = (^) { ( a b, , 0 (^) )∈ R^3 : a b, ∈ R }

és un subespai vectorial de R^3.

SOLUCIÓ:

Cal veure que la suma de dos vectors deS i el producte d’un escalar per un

vector deS pertanyen sempre aS. En efecte:

( a b,^ , 0^ ) +^ (c d ,^ , 0)^ =^ ( a^ +^ c b,^ +^ d, 0^ +^0 ) =^ { 0 +^0 =^0 }^ =^ ( a^ +^ c b,^ +^ d^ , 0)∈S

i: λ⋅ (^) ( a b, , 0 (^) ) = (^) ( λa , λb , λ⋅ (^0) ) = (^) {λ ⋅ 0 = (^0) } = (^) ( λa , λb , 0)∈ S.

En aquest context pot ser d’interès considerar la propietat de caire general que ens diu que:

• SiS ⊂ R n és un subespai vectorial aleshores 0 G∈S. Així doncs, i com a conseqüència, si un subconjunt d’un espai vectorial no conté el vector nul no pot ser mai un subespai vectorial.

1.4. Exercicis

1. Troba els valors del paràmetre a ∈ R de manera que el vector (^) ( −2, −1,5, 0)

sigui combinació lineals dels vectors (^) ( 2, 4,7,6)i (^) ( a ,2, −1,a).

2. Prova que, independentment del valor del paràmetre m ∈ R , els vectors

( 1,3, 0,^ −^1 )^ ,^ ( 5,^ −4,1, 0)^ ,^ ( 0,3,^ −1,m)^ i^ ( m,2,1,^ −^6 )^ són linealment independents. Formen una base de R^4? Raona la resposta.

3. Prova que qualsevol conjunt de vectors que inclogui el vector nul no pot ser un conjunt de vectors linealment independents.
4. Prova que (^) ( −1, 0, 4,3) , (^) ( 6,5, 0,3)i (^) ( 0, −2,1, 0) són linealment independents i

troba un vector que, juntament amb ells, doni lloc a una base de R^4.

5. Prova que, per a tot a ≠ − 1 , els vectors (^) ( a , 0, − (^3) ) , (^) ( 2, −a,5) i (^) ( 0,1,a (^) )formen

base de R^3 i determina el vector de components de ( 2,1,2) per a^ =^0.

6. Demostra que si x^ G 1 , …, xGn ∈ R n és una base de R n aleshores també ho és el

conjunt de vectors definit per:

1 1 2 1 2 n 1 2 n

y x

y x x

y x x x

 =^ +

 =^ +^ +^ +

G G

G G G

# G G G G

7. Determina una base i la dimensió dels subespais vectorials:

a. S = (^) {( x y z, , (^) )∈ R^3 : 2 x − y = 0, x − 2 z = (^0) }. b. S = (^) {( x y z, , (^) )∈ R^3 : x + 2 y + 3 z = (^0) }.^18

8. Determina una base, la dimensió i l’expressió analítica o conjuntista del

subespai vectorial generat pels vectors (^) ( 4, 0, −1 ,) ( 3,5,2) i (^) ( 11,5, 0).

(^18) Es pot demostrar que qualsevol subespai vectorial està format pels vectors que són solució d’un sistema d’equacions lineals homogeni.

2. L’ESPAI VECTORIAL EUCLIDIÀ

2.1. Espai vectorial euclidià i definicions bàsiques

2.1.1.Producte escalar i espai vectorial euclidià

Com veurem a continuació, el concepte algebraic de producte escalar ens permet introduir nocions “mètriques” en un espai vectorial real com són, a tall d’exemple, la grandària d’un vector, l’angle i la distància entre dos vectors. Per

definició, elproducte escalar habitual o estàndard (producte escalar a seques)

de dos vectors x y^ G,^ G ∈ R n és igual a l’expressió:

( )

1 1 ,^ , (^1 )

n n n n i i i n

y

x y x x x y x y x y

y =

  ∑

G G … # " R. 19

Vegem un exemple:

Exemple:Calcula el producte escalar dels vectors (^) ( 1, 0, − (^5) ) i (^) ( 5, −2,1).

SOLUCIÓ: Trivialment: ( 1, 0, − 5 ) ( ⋅ 5, −2,1 ) = 1 5⋅ + 0 ⋅ −( 2 ) + ( − 5 ) ⋅ 1 = 5 − 5 = 0.^20

Amb el concepte de producte escalar hom pot introduir el d’espai vectorial

euclidià ja que, per definició, un espai vectorial euclidià (o espai euclidià a

seques) no és més que un espai vectorial dotat d’un producte escalar. 21

(^19) Notem que el producte escalar entre dos vectors és sempre un escalar i d’aquí li ve el nom. (^20) Fixem-nos que el producte escalar entre dos vectors no nuls pot ser 0. (^21) Estrictament parlant, un espai euclidià seria el conjunt format pels “punts extrems” dels vectors de “posició” (vectors amb origen l’origen de coordenades) d’un espai vectorial euclidià tal com l’hem definit.

2.1.3.Angle entre vectors

Un dels conceptes cabdals en geometria mètrica és el de l’angle α que formen dos vectors. Gràficament:

Doncs bé, la desigualtat de Schwarz fa possible introduir la noció de cosinus

d’un angle. En concret, elcosinus de l’angle α entre dos vectors x y^ G,^ G ∈ R n no

nuls és igual al quocient:

cos α = xx ⋅⋅yy

G G

G G.

Notem que el cosinus d’un angle ens permet “redefinir” el producte escalar en funció de les normes dels vectors ja que:

x^ G ⋅ yG = xG ⋅ yG ⋅cosα.^24

Exemple: Troba l’angle α que formen els vectors x^ G =( 1,1, 0) i y^ G =( 2,9,6).

SOLUCIÓ: Com que: x^ G ⋅ yG= ( 1,1, 0 ) (⋅ 2,9,6) = 1 2⋅ + 1 9⋅ + 0 6⋅ = 11

deduïm que:

implica 2 2 2 2 2 2 cos 11 1 radians 1 1 0 2 9 6 2 4

x y x y α= ⋅ = = → α=^ π ⋅ (^) + + + +

G G

G G^.

(^24) Així doncs, el producte escalar ens mesura la “tendència” de dos vectors a apuntar en la mateixa direcció.

2.1.4.Vectors i bases ortogonals i ortonormals

Si ens fixem bé en la fórmula del cosinus, veiem que l’anul·lació del producte escalar fa possible expressar formalment la noció de vectors perpendiculars.

Així doncs, diem que dos vectors no nuls x y^ G,^ G ∈ R n són ortogonals (o també

perpendiculars) si el cosinus de l’angle que formen és igual a zero, és a dir, si:

x^ G ⋅ yG^ = 0.^25

El concepte d’ortogonalitat dóna lloc de manera natural als conceptes de base ortogonal i ortonormal. En efecte, una base d’un espai euclidià és:

1. Ortogonal si tots els vectors que la formen són ortogonals dos a dos.

2. Ortonormal si és ortogonal i, a més, els seus vectors són unitaris.

Exemple:Troba una base ortonormal de R^3 que contingui els vectors unitaris

associats als vectors ortogonals (^) ( 1, 0, − (^5) ) i (^) ( 5, −2,1 (^) ).

SOLUCIÓ: D’entrada, caldrà considerar un 3er. vector (^) ( a b c, , (^) ) perpendicular a aquests

dos i que, tots junts, formin base. Així doncs, caldrà imposar dues condicions:

( ) ( ) ( ) ( )

0 , , 5, 2,1 5 2 13 i^5 2 1 390 5 13

a b c a c a c c

a b c a b c b^ c c c c

= ⋅ − = −   =^ −

= ⋅ − = − + ^ →^ ^ = −^ = −^ ≠

Per tant, si c ≠ 0 , els tres vectors: ( 1, 0,^ −^ 5 ,) ( 5,^ −2,1^ ) i^ ( 5 ,13 ,c^ c c^ )formen una base ortogonal de^^ R^3^.

Finalment, fent c = 1 , resulta que una base ortonormal podria ser:

  ,^

  i^

 .^

26

(^25) Els dos vectors de l’exemple de la plana 17 són ortogonals. (^26) Cal considerar els vectors unitaris associats per a formar aquesta base.