Apunts matemàtiques, Apuntes de Matemáticas

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FICHAS DE MATEMATICAS

C. Arenas Departament d'Estadística Universitat de Barcelona

En un intento de adaptar la asignatura de Matemáticas de la licenciatura de

Biología al Espacio Europeo de Enseñanza Superior (EEES), nacen las “Fichas

Matemáticas”. Estas fichas pretenden proporcionar al alumno los conceptos básicos que

se tratarán en la asignatura, a fin de que tenga una base a partir de la cual pueda

profundizar y trabajar dichas ideas conceptuales. Estas fichas son un resumen de los

conceptos teóricos que deberá adquirir el alumno sobre esta asignatura obligatoria de

Matemáticas a lo largo de su aprendizaje.

Espero que estas fichas sean de utilidad a todos los alumnos en su caminar por el

sendero del aprendizaje y el conocimiento.

C. Arenas Prof. Titular de Universidad Barcelona, 2006.

Si se tiene a − c representa la distancia entre a y c siendo su valor

,si 0

,si 0 − =− + − <

a c a c a c

a c a c a c es decir a c a c a c

a c a c a c − =− + <

, si

, si .

Intervalos

Sea a < b. i) El intervalo abierto ( a , b )es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b : ( a , b ) = { x : a < x < b }. ii) El intervalo cerrado [ a , b ]es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b incluyendo los puntos a y b : [ a , b ] = { x : a ≤ x ≤ b }. Otros intervalos son: iii) ( a,b ] = { x : a < x ≤ b }. iv) [ a,b ) = { x : a ≤ x < b }. v) ( a , ∞) ={ x : a < x }. vi) [ a , ∞) = { x : a ≤ x }. vii) ( − ∞, b ] = { x : x ≤ b } viii) ( − ∞, b ) = { x : x < b } ix) (− ∞, ∞) =conjunto de todos los reales.

Factorial de un número

Sea n un entero positivo, el factorial de n es el producto de todos los enteros de 1 a n n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅....⋅( n − 1 )⋅ n Por convenio 0!=1.

Algunas fórmulas básicas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

x a x y

x e x y

x y x

x y x y

xy x y

x x

x x

x x x

x x x

x x

a b a b a ab b

a b a b a ab b

a b a b a b

a b a a b ab b

a b a ab ab b

a b a b ab

a b a b ab

a

y

y

y

a b ab

ab a b

ab a b

a a

−

−

Si entonces ln

Si entoncesln

ln ln

ln( / ) ln ln

ln( ) ln ln

0

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

(^33223)

(^33223)

(^222)

(^222)

tetraedro regular

A = a^2 · √ 3

V = a^2 · √ 2 / 12

esfera

A = 4 · π · R 2

V = 4 · π · R 3 / 3

octaedro regular

A = 2 · a^2 · √ 3

V = a^3 · √ 2 / 3

huso. cuña esférica

A = 4 · π ·R 2 · n / 360

V = VE · n / 360

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · π · R · h

V = π · h^2 · (3·R − h) / 3

tronco de pirámide

A=½(P+P')·a+AB +AB'

V = (A (^) B+A (^) B'+ √ A (^) B· √ A (^) B') · h/

zona esférica

A = 2 · π · R · h

V = π ·h·(h^2 +3·r 2 +3·r'^2 ) / 6 (1) (^) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema

(2) (^) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número

(3) (^) A B es el área de la base^ ;^ h^ es la altura ;^ R^ y^ r^ son los radios ;

FICHA 2: FUNCIONES

Dados dos conjuntos A y B una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento de A uno de B. El conjunto A se llama Dominio de la función (Dom f ) y el conjunto de valores de f , es decir, { y ∈ B : y = f ( x ), x ∈ A } es la imagen de la función

(Im f ). Notaremos generalmente una función como f(x) siendo x la variable de la función. Una función f real de variable real es una función que su dominio es un conjunto de números reales, en general será un intervalo o una unión de intervalos. Su imagen son los números reales. La función valor absoluto es una función real de variable real, con dominio (− ∞, ∞)e

imagen [0, ∞ ).

Funciones trigonométricas

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio, r , unitario: L = 2 ⋅π⋅ r

entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:

2 × π radianes = 360°

y por tanto:

1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29°

a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes

60° = π/3 radianes

45° = π/4 radianes

30° = π/6 radianes

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]

60 0 2

90 0 0 1

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a^2 + b^2 = c^2 , de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:

sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 - α) = cos α cos (90 - α) = sen α sen (180 - α) = sen α cos (180 - α) = -cos α sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos^2 α - sen^2 α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β sen²(α) = 1/2 * (1 - cos(2 * α)); cos²(α) = 1/2 * (1 + cos(2 * α));

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg ) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan( a ) = sin( a ) / cos( a )

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1 tan (π/3) = tan (60°)= 3 tan (π/6) = tan (30°) = 3 / 3

Una identidad de importancia con la tangente es:

( ) ( ) (α ) ( β)

1 tan tan

tan tan tan( ) −

Gráficas

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Funciones inversas dos funciones f y g son funciones inversas una de la otra si

( )( ) paratodo ( )

( )( ) paratodo ( ) g f x x x dom f

f g x x x domg = ∈

o

o

Límite de una función: noción informal

El número L es el límite de una función f cuando x se aproxima a un punto c , y lo representaremos por x c

f x L →

lim ( )= si y sólo si los valores de la función f(x) se

aproximan (tienden) a L cuando x se aproxima a c.

Se denominan límites laterales a:

Límite por la izquierda

x c x c

f x L < →

lim ( )= cuando x se aproxima a c por la izquierda, f(x) se aproxima a L

Límite por la derecha

x c x c

f x L

→

lim ( )= cuando x se aproxima a c por la derecha, f(x) se aproxima a L

Se cumple que:

x c

f x L →

lim ( )= si y sólo si x c x c

f x L < →

lim ( )= y x c x c

f x L

→

lim ( )=

es decir, existe el límite de una función en un punto si y sólo si existe límite por la izquierda y existe límite por la derecha y ambos coinciden.

Algunas propiedades de los límites

Si lim f ( x ) L y lim g ( x ) M entonces x c x c

→ →

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Silimf(x) Lcon 0 ylimg(x) 0,entonceslim[ ( )/ ( )] noexiste

lim ( )/ ( ) / ,si 0

lim ( ) ( )

lim ( )

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

x c x c L f x g x

f x gx L M M

f x g x L M

f x L

f x g x L M

f x g x L M

x c

x c

x c

x c

x c

x c

→ → →

→

→

→

→

→

α α

Diremos que una función es continua por la derecha en c si y sólo si lim f ( x ) f ( c ) x c

+^ =

→

Por lo tanto, una función es en c si y sólo si f ( c ),lim f ( x )ylim f ( x ) x → c −^ x → c + existen y son

iguales.

FICHA 4: DERIVADAS

Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo ∆ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente

x

y ∆

cuando ∆ x se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x

dx

dy

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales ) parte de un cociente de diferencias:

h

f x h f x g x

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada:

h

f x h f x f x h

' ( ) lim 0

→

Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f al valor x en varios modos:

En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f ' es positiva, como en el punto D ( x = d ), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f ' es negativa, como en el punto B ( x = b ). En los puntos A y C , que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f '( a ), = 0 = f '( c ).

Derivabilidad implica continuidad

Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a.

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0

REGLAS DE DERIVACIÓN

Función Derivada

( f + g )( x ) f^ '^ ( x )+ g '( x )

( f ⋅ g )( x ) f ' ( x ) g ( x )+ f ( x ) g '( x )

kf ( x ) kf ' ( x )

g x

f x ( ( ))^2

g x

g x f x − f x g x

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces la función compuesta ( f o g ) es derivable en a

f ' ( g ( a )) g '( a )Regla de la cadena

( ) n f ( x ) n entero o fraccionario ( ( )) '( ) 1 n f x f x n −

e f (^ x^ ) e f (^ x ) f '( x )

a f (^ x^ ) a f^ ( x ) f '( x )ln a

ln f ( x ) '( ) ( )

f x f x

log (^) a f ( x ) f x e f x a

'( )log ( )

f ( x ) g ( x )  

( ) () '( )ln ( ) ( ) f x

f x f x gx g x f x g x