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Matem´atica en la Salud

Ver´onica Poblete Oviedo

Contenidos

Cap´ıtulo 1

Introducci´on

El enfoque matem´atico ha funcionado maravillosamente bien para la f´ısica, pero ¿qu´e hay de la biolog´ıa? La matem´atica es la ciencia de la estructura y las pautas, en los ´ultimos siglos se han descubierto modos en los que esta ciencia informa sobre la estructura profunda de la vida.

En el a˜no 1917, en Inglaterra, se publica el libro “Sobre el Crecimiento y la Forma” del autor D’Arcy Wentworth Thompson, un experto zo´ologo con un importante gusto por la matem´atica, qui´en postula:

El mundo org´anico es tan matem´atico como el mundo inorg´anico, la base matem´atica de los seres vivos, sin embargo, es m´as sutil, m´as flexible y esta profundamente oculta.

Si bien dicho texto est´a bien considerado en muchos c´ırculos, nunca lo ha estado en la corriente principal de la biolog´ıa, esto debido a que las historias matem´aticas no encajaban cuando se contrastaba con la evidencia directa de los laboratorios. Sin embargo, es posible mencionar diversas situaciones en este ´ambito. Por ejemplo, para las criaturas vivas, el punto de partida es la c´elula: una min´uscula mota de protoplasma contenida dentro de una delgada membrana, pero de una estructura especializada y compleja. Una c´elula puede dividirse en dos, formando cada mitad una nueva c´elula completa capaz de reproducirse de nuevo y as´ı indefinidamente. “Las c´elulas se multiplican dividi´endose” ¿Suena a matem´atica? La forma de una c´elula antes, durante y despu´es de la reproducci´on es matem´atica: un c´ırculo, un corte transversal, en el c´ırculo aparece una cintura que se estrecha, se estrangula en una figura en forma de ocho y se rompe para crear dos c´ırculos.

Otro ejemplo, es la naturaleza matem´atica del reino vegetal. La notable geometr´ıa y numerolog´ıa de las plantas, la disposici´on de sus hojas a lo largo del tallo, las figuras espirales formadas en las semillas y el n´umero de p´etalos.

Mencionemos tambi´en, en nuestro organismo, la mol´ecula de hemoglobina, que recoge el ox´ıgeno de los pulmones, lo lleva al torrente sangu´ıneo y lo libera donde es necesario.

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Esta funci´on, depende de la forma precisa de la mol´ecula, de su geometr´ıa tridimensional. La forma es una consecuencia de leyes de la f´ısica y la qu´ımica que se expresan a trav´es de la matem´atica. El lector puede encontrar una visi´on m´as extensa de variadas relaciones biol´ogica-matem´atica en [9]. En este texto, estamos interesados en mostrar aplicaciones simples de matem´atica ele- mental en diversas ´areas de las ciencias naturales, en especial est´a dirigido a estudiantes en el ´area de la salud y la biolog´ıa. En un curso tradicional de c´alculo, los estudiantes de estas ´areas no ven claramente porqu´e el contenido es relevante en su educaci´on, trataremos de mostrarles como el c´alculo puede ayudar a entender fen´omenos de la naturaleza. Aqu´ı nuestro objetivo es doble. Primero, proporcionar herramientas te´oricas de matem´a- tica elemental, conceptos abstractos tratados con lenguaje simple que permitan al lector un f´acil manejo del c´alculo. Segundo, aplicar los recursos anteriores para resolver problemas cotidianos, modelar algunas situaciones, predecir y concluir, especialmente problemas rela- cionados con seres vivos. Es poco lo que se puede aprender con s´olo mirar friamente la teor´ıa abstracta, ya sea f´ısica, qu´ımica o matem´atica, debemos darle un sentido a las formulaciones de la ciencia, necesitamos una mejor comprensi´on de como utilizar sus principios. Es fundamental buscar una interacci´on con nuestra realidad, con nuestros cambios, con la evoluci´on y la din´amica de las diversas situaciones que nos rodean. Si bien, los temas tratados aqu´ı no permitiran resolver problemas de divulgaci´on cient´ıfica, esperamos motivar al estudiante a investigar sobre la matem´atica actual -la nueva, vital y creativa matem´atica- nacida de la necesidad de comprender las pautas del mundo vivo.

En el cap´ıtulo 2, se resumen herramientas b´asicas de n´umeros reales que permiten resolver problemas principalmente de desigualdades. Se estudian aplicaciones en el ´area de la biolog´ıa y la medicina. En el cap´ıtulo 3, se trata el t´opico de funciones. Se resaltan sus propiedades gr´aficas e importancia biol´ogica de funciones exponenciales y logar´ıtmicas. Se desarrollan variados problemas pr´acticos. En el cap´ıtulo 4, se estudian funciones trigonom´etricas. Se ocupan estos conceptos para describir curvas que representan, por ejemplo, niveles de respiraci´on, electrocardiogramas, situaciones experimentales. En el cap´ıtulo 5, los l´ımites y la continuidad son conceptos clave para entender la parte conceptual del c´alculo. Se da una visi´on intuitiva y tambi´en formal de l´ımites as´ı como algunas aplicaciones. En el cap´ıtulo 6, se presenta la definici´on formal de derivadas y su interpretaci´on geom´e- trica. Se consideran reglas de deivaci´on. En una primera parte de este cap´ıtulo se da ´enfasis al c´alculo directo de derivadas y posteriormente aplicamos esto a problemas de optimizaci´on. Tambi´en se trata el concepto de derivada desde el punto de vista f´ısico, como raz´on de cambio

Cap´ıtulo 2

N´umeros Reales

2.1 Axiomas y Propiedades

Esta secci´on est´a dise˜nada a modo de ofrecer un breve repaso sobre algunos conceptos b´asicos. Comenzaremos estudiando propiedades de los n´umeros reales, y en las pr´oximas secciones aplicaremos este desarrollo te´orico.

Aceptaremos la existencia de un conjunto llamado conjunto de n´umeros reales y denotado por R. Los n´umeros reales se emplean en todas las ´areas de la matem´atica y sus aplicaciones. Sobre R se define una relaci´on de igualdad que verifica las siguientes propiedades

• Para todo a ∈ R se tiene a = a. (Refleja)
• Para todo a, b ∈ R si a = b entonces b = a. (Sim´etrica)
• Para todo a, b, c ∈ R si a = b y b = c entonces a = c. (Transitiva)

Adem´as el conjunto de los n´umeros reales es cerrado respecto a las operaciones de adici´on o suma (denotada por +) y multiplicaci´on o producto (denotada por ·). Esto significa que dados dos n´umeros reales cualesquiera, la suma y la multiplicaci´on de ellos es tambi´en un n´umero real. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades, llamadas Axiomas de Cuerpo. Dados a, b y c n´umeros reales arbitrarios, se verifican

• Conmutatividad a + b = b + a, a · b = b · a
• Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c
• Elemento Neutro o Identidad a + 0 = a, a · 1 = a
• Elemento Inverso a + (−a) = 0, a · a−^1 = 1 si a = 0
• Distributividad a · (b + c) = a · b + a · c.

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Note que 0 no tiene inverso multiplicativo ya que no existe un n´umero que multiplicado por cero d´e uno.

A partir de la suma, se define la resta a − b = a + (−b).

En forma semejante, se define la divisi´on en t´erminos de la multiplicaci´on, para b ∈ R, b = 0,

a ÷ b = a · b−^1.

Es com´un denotar la divisi´on por a b , de donde, si^ b^ = 0 tenemos^ b

− 1 =^1

b. A continuaci´on se listan algunas importantes propiedades v´alidas en los n´umeros reales. La demostraci´on de ellas, son consecuencia de los axiomas de cuerpo. Para a, b, c y d n´umeros reales arbitrarios se verifican

• a · 0 = 0
• a = b si y s´olo si a + c = b + c
• Si c = 0, se tiene a = b si y s´olo si a · c = b · c
• a · b = 0 si y s´olo si a = 0 o b = 0
• −(−a) = a
• −(a + b) = −a − b
• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b)
• Para a = 0 se tiene (a−^1 )−^1 = a
• Para a = 0 , b = 0 se tiene (a · b)−^1 = a−^1 · b−^1
• Para b = 0 , d = 0 se tiene a b ± c d = ad^ ±^ bc bd y a b · c d = ac bd

Si adem´as c = 0, entonces a b :^

c d =^

ad bc Una aplicaci´on importante de la axiomatica en R es encontrar soluciones de ecuaciones. Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1 Un farmac´eutico debe preparar 15 ml de unas gotas para los ojos para un paciente con glaucoma. La soluci´on de las gotas debe contener 2% de un ingrediente activo, pero el farmac´eutico s´olo tiene una soluci´on al 10% y otra al 1% en su almac´en ¿Qu´e cantidad de cada tipo de soluci´on debe usar para preparar la receta?

Suponga que a, b ∈ R. Se verifica s´olo una de las siguientes afirmaciones

(i) a < b

(ii) a = b

(iii) b < a.

En particular, si ponemos a ∈ R y b = 0 en la afirmaci´on anterior, obtenemos una de las siguientes alternativas

(i) a < 0

(ii) a = 0

(iii) 0 < a.

Los n´umeros reales que verifican a < 0 son llamados n´umeros reales negativos y se anotan R−. De esta forma tenemos un orden en los n´umeros reales, representados en una recta num´erica

a < 0 0 a > 0

La afirmaci´on a < b, nos dice que, en la recta a se encuentra a la izquierda de b. La afirmaci´on a = b nos indica que a y b coinciden. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es mayor que b, escribiendo a > b, los enunciados a > b y b < a significan lo mismo. El s´ımbolo a  b nos indica que a es menor o igual a b. An´alogamente, a  b nos dice que a es mayor o igual a b. Las desigualdades, verifican las siguientes propiedades. Sean a, b, c ∈ R entonces

• a^2  0
• a  b si y s´olo si a + c  b + c
• Si c > 0 , tenemos a  b si y s´olo si a · c  b · c
• Si c < 0 , tenemos a  b si y s´olo si a · c  b · c
• a · b  0 si y s´olo si (a  0 y b  0) ´o (a  0 y b  0)
• a · b  0 si y s´olo si (a  0 y b  0) ´o (a  0 y b  0)
• Si 0  a  b y n > 0 , entonces^ an^ ^ bn^ y^ n √a  √nb.

Sean a y b n´umeros reales con a < b. Los siguientes subconjuntos de R son llamados intervalos.

[a, b] = { x ∈ R : a  x  b } (^) • • a (^) b ]a, b[= { x ∈ R : a < x < b } (^) ◦ ◦ a (^) b [a, b[= { x ∈ R : a  x < b } (^) • ◦ a (^) b ]a, b] = { x ∈ R : a < x  b } (^) ◦ • a (^) b [a, +∞[= { x ∈ R : a  x } (^) • a ]a, +∞[= { x ∈ R : a < x } (^) ◦ a ] − ∞, b] = { x ∈ R : x  b } (^) • b ] − ∞, b[= { x ∈ R : x < b } (^) ◦ b

Usaremos estas representaciones de conjuntos para escribir las soluciones de inecuaciones.

Definici´on 2.2 Una inecuaci´on es una desigualdad en la que aparecen una o m´as inc´ognitas.

En esta secci´on, estamos interesados en buscar soluciones de inecuaciones con s´olo una inc´ognita.

Ejemplo 2.3 La concentraci´on de cierto calmante suministrado mediante suero, var´ıa en su efectividad en el tiempo seg´un la expresi´on

C = t^2 − 2 t + 5,

donde C se mide en miligramos por litro y el tiempo t en horas. Se determin´o que el calmante no produce da˜nos colaterales y es efectivo si la concentraci´on es de por lo menos 8 miligramos por litro y a lo m´as 13 miligramos por litro ¿Durante cu´anto tiempo es efectivo el calmante?

Soluci´on. De acuerdo a los datos aportados por el planteo del problema, para tener efectividad del calmante debemos tener que 8  t^2 − 2 t + 5  13. De esto se desprende que hay que encontar la soluci´on de 8  t^2 − 2 t + 5 y t^2 − 2 t + 5  13.

Resolvemos primero 8  t^2 − 2 t + 5. Comparando con cero, se tiene

0  t^2 − 2 t − 3 = (t + 1)(t − 3).

Soluci´on. Tenemos 90  [U^ ]^ ·^

V˙

[P ]

 100. Reemplazando los datos,

90  2[U^ ]

despejando, 135/ 2  [U ]  75. Esto nos indica que la concentraci´on de inulina var´ıa entre 135 /2 y 75mg/ml. 

Ejemplo 2.5 Al realizar un estudio en un sector minero se encontr´o un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud p´ublica decidi´o comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relaci´on

P = x^2 + 5x + 6 x^2 + x + 1 , con^ P^ expresado en %. ¿Al menos cu´antos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?

Soluci´on. Como la expresi´on est´a dada en porcentaje, debemos encontrar la soluci´on de x^2 + 5x + 6 x^2 + x + 1 <^2. Note que la expresi´on cuadr´atica x^2 + x + 1 no es factorizable en R (su discriminante es Δ = 1 − 4 < 0), de hecho x^2 + x + 1 > 0 para todo x ∈ R. As´ı, podemos multiplicar la inecuaci´on por esta expresi´on sin que la desigualdad cambie, obteniendo

x^2 + 5x + 6 < 2(x^2 + x + 1).

Una manipulaci´on algebraica de la expresi´on anterior da

0 < x^2 − 3 x − 4 0 < (x − 4)(x + 1)

o, factorizando 0 < (x − 4)(x + 1).

En resumen, haciendo una tabla de variaci´on de signos, obtenemos

x −∞ − 1 0

4

0

+∞ x + 1 x − 4

− −

−

(x + 1)(x − 4) + − +

La soluci´on de la inecuaci´on, considerando el planteamiento verbal es ]4, +∞[. En base a este an´alisis, podemos afirmar que se deben administrar un poco m´as de 4 gramos del medicamento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %. 

2.3 Valor absoluto: Distancia en R

En la secci´on anterior vimos la existencia de un orden en los n´umeros reales. Ahora estamos interesados en medir distancia entre n´umeros reales. El siguiente concepto nos ser´a de gran ayuda para este prop´osito

Definici´on 2.6 El valor absoluto de un n´umero real a, denotado por |a| es

|a| =

a si a  0 −a si a < 0.

Geom´etricamente |a| nos indica la distancia desde el n´umero real a al origen de la recta num´erica.

Por ejemplo, | − 7 | = −(−7) = 7, | 4 | = 4, | 0 | = 0. El valor absoluto se puede utilizar para obtener la distancia entre dos n´umeros cua- lesquiera a y b, mediante la expresi´on

d(a, b) = |a − b|.

Por ejemplo, la distancia entre −3 y 5 es d(− 3 , 5) = | − 3 − 5 | = | − 8 | = 8. A continuaci´on, se listan algunas propiedades del valor absoluto. Para todo a, b, c ∈ R se verifican

• |a|  0
• |a| = 0 si y s´olo si a = 0
• | − a| = |a|
• Si a  0 y |a| = b entonces a = b
• Si a < 0 y |a| = b entonces −a = b
• |a · b| = |a| · |b|
• |a + b|  |a| + |b| (Desigualdad Triangular)

En el contexto del problema pr´actico, la soluci´on es [0, 317 ] ∪ [25, +∞[, esto nos indica que cuando el n´umero de hembras de salm´on esta entre 0 y 4 (aproximadamente) o es al menos 25, el n´umero de cr´ıas que sobreviven hasta la edad madura es mayor que el n´umero de hembras de salm´on. 

2.4 Ejercicios Propuestos

1. En cierta prueba m´edica, dise˜nada para medir la resistencia a los carbohidratos, un adulto bebe 7 ml de una soluci´on de glucosa al 30%. Cuando se le administra la misma prueba a un ni˜no debe disminuirse la concentraci´on de glucosa ¿Qu´e cantidad de una soluci´on al 30% de glucosa y qu´e cantidad de agua deben usarse para preparar 7 ml de una soluci´on al 20% de glucosa?
2. Para preparar la Teofilina, que es un medicamento contra el asma, se usa un exh´ılir con una concentraci´on de f´armaco de 5 mg/ml, y un jarabe con sabor a cereza que se agrega para disimular el sabor de la medicina ¿Qu´e cantidad de ambos debe usarse para preparar 100 ml de soluci´on con una concentraci´on del medicamento de 2 mg/ml?
3. Un qu´ımico tiene 10 ml de una soluci´on que contiene 30% de concentraci´on de ´acido ¿Cu´antos mililitros de ´acido puro deben agregarse para aumentar la concentraci´on a 50%?
4. Una mezcla contiene 8 ml de agua y anticoagulante. Si 49% de la mezcla es anticoagu- lante ¿qu´e cantidad de mezcla debe eliminarse y reemplazarse por anticoagulante para que la mezcla resultante contenga un 60% de anticoagulante?
5. La ley de Dalton de las presiones parciales se aplica con frecuencia en fisiolog´ıa respi- ratoria. La presi´on parcial para un gas seco es Px = PB · F y para un gas h´umedo es Px = (PB − PH 2 O) · F, donde

Px : presi´on parcial del gas (mmHg). PB : presi´on barom´etrica. PH 2 O : presi´on del vapor de agua a 37◦C (47 mmHg). F : concentraci´on fraccional del gas.

Calcule la presi´on parcial de O 2 , PO 2 en el aire inspirado seco (con presi´on barom´etrica de 760 mmHg) y compare ese valor con la PO 2 en el aire traqueo h´umedo a 37◦C, si la concentraci´on fraccional de O 2 en el aire inspirado es de 0,21.

6. Los tres par´ametros siguientes describen la funci´on de los ventr´ıculos
   • Volumen latido (VL): volumen de sangre que el ventr´ıculo puede expulsar en un s´olo latido, esto es VL = volumen al final de la di´astole - volumen final de la s´ıstole
   • Fracci´on de expulsi´on (FE): eficiencia de la expulsi´on, esto es

FE = V olumen latido volumen al f inal de la di´astole

• Gasto Card´ıaco (GC): volumen total que el ventr´ıculo expulsa por unidad de tiempo, esto es GC = (volumen del latido) · (frecuencia cardiaca), donde Volumen del latido: volumen expulsado del ventr´ıculo en un latido (ml). Frecuencia card´ıaca: latidos por minuto.

De acuerdo a lo anterior, determine el volumen del latido, gasto card´ıaco y fracci´on de expulsi´on para un paciente que tiene un di´astolico final de 140 ml, un volumen sist´olico final de 70 ml y una frecuencia card´ıaca de 75 latidos por minuto.

7. El flujo plasm´atico renal (FPR) se obtiene como

F P R =

[U ]P AH · V˙

[RA]P AH − [RV ]P AH^ (2.1)

donde [U ]P AH = [P AH] en la orina, [RA]P AH = [P AH] en la arteria renal, [RV ]P AH = [P AH] en vena renal y V˙ = tasa de flujo urinario. Despejar a partir de (2.1) el [P AH] en vena renal.

8. Encontrar el conjunto soluci´on de las siguientes inecuaciones

(a) 10 − 7 x < 4 + 2x (b) x^ + 1 x^2 − 25  0 x (c) (x − 2)(x + 3) > x(x − 1) (d)

1 − x  8 (e) 1 x − 2

x + 1 (f) x x^ + 1− 4 < 2

(g)

x + 1 −^

x + 2 >^1

(h) − 1 < 3 x^ + 4 x − 7

(i)

x − 2 −^ x x − 1

(j) x^2 − 3 x + 2 x^2 − 3 x ^0

(k) x^2 − 4 x + 3 x^2 − 6 x + 8 ^ −^1

(l) x^2 − 3 x + 2 x^2 + 2x + 6 <^3

Si el intervalo de variaci´on de CI de un grupo de estudiantes de 20 a˜nos de edad es 70  CI  120. Determinar el intervalo de variaci´on de la edad mental del grupo.

15. Un determinado f´armaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta v´ıa intra- muscular. Su efecto (en horas) es dado en funci´on de x (mg de dosis) por E = 74 x 8 x + 3 ¿Qu´e cantidad de dosis se debe inyectar para que el f´armaco tenga efecto m´as de 4 horas y menos de 8 horas?
16. Use la relaci´on C =

9 (F^ −^ 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a 20  C  30.

17. ¿A qu´e rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50  F  95?
18. Para que cualquier medicamento tenga un efecto ben´efico, su concentraci´on en el tor- rente sangu´ıneo debe exceder un cierto valor llamado nivel terap´eutico m´ınimo. Suponga que la concentraci´on C de un f´armaco al transcurrir t horas despu´es de que se ha in- gerido es C = 20 t t^2 + 4

[ (^) mg lto

]

Si el nivel terap´eutico m´ınimo es 4 mg lto , determine cu´ando se ha excedido este nivel.

19. Pasados t minutos despu´es de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el n´umero de bacterias est´a dado por N = (^10000) t (^2) +1 + 2000. Determine el momento en que el n´umero de bacterias est´a por debajo de 4000.
20. Se realizar´a un scaner a enfermos cr´onicos del pulm´on. Para esto se suministra a cada paciente un l´ıquido de contraste, cuyo porcentaje residual en el cuerpo en funci´on del tiempo medido en horas es p = − 2 t^2 + 8t. Se requiere una concentraci´on m´ınima de un 6% para poder realizar el examen. Si se le administra el contraste a las 12:00 horas A.M ¿entre qu´e hora es posible realizar el examen?
21. Un nutricionista recomienda que una dieta balanceada es aquella donde la diferencia entre las calor´ıas aportadas por carbohidratos y prote´ınas, no excede a 5 calor´ıas por d´ıa. Si 1 gramo de prote´ına aporta 4 calor´ıas y 1 gramo de carbohidratos aporta 9 calor´ıas, ¿qu´e cantidad de carbohidratos debe consumir una persona que ya ha consumido 80 gramos de prote´ınas?
22. Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas despu´es de ocurrida la intoxicaci´on es P = 18t − t^2 + 6. Se considera el paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es m´as de un 62% ¿ En qu´e intervalo de tiempo ocurre esta situaci´on?

Cap´ıtulo 3

Funciones de Variable Real

3.1 Definici´on, propiedades y ejemplos

El concepto de funci´on fue formulado en el siglo XVIII por Gottfried Wilhelm Leibniz, es uno de los conceptos m´as b´asicos en matem´aticas y es esencial para el estudio del c´alculo. En muchas situaciones pr´acticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de una o m´as cantidades. Por ejemplo, la reacci´on de un organismo frente a un f´armaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una poblaci´on depende del n´umero de individuos y de depredadores. Con frecuencia tales relaciones pueden representarse mediante funciones. En t´erminos generales, una funci´on relaciona los elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de asociaci´on.

Definici´on 3.1 Sean A y B conjuntos no vac´ıos. Una funci´on de A en B es una corres- pondencia que asocia a cada elemento de A un ´unico elemento en B.

Si A ⊂ R y B ⊂ R diremos que la funci´on es real de variable real. En este texto, trabajaremos s´olo funciones reales de variable real.

Notaci´on: Escribiremos una funci´on f de A ⊂ R en R como

f : A ⊂ R −→ R x → f (x) = y

Observaciones 3.2 1. El conjunto A se denomina dominio de la funci´on f y se denota por Dom(f ) = A.

2. En la igualdad f (x) = y, llamamos a y imagen de x , a x una preimagen de y.