Integrales: Concepto, Propiedades, Métodos, Aplicaciones en Matemáticas y Economía - Prof., Apuntes de Matemática Empresarial

¡Descarga Integrales: Concepto, Propiedades, Métodos, Aplicaciones en Matemáticas y Economía - Prof. y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Tema 3: Integraci´o

Matem`atica 2

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

´Index

1 Integral indefinida: Concepte i propietats

2 M`etodes d’integraci´o

3 Integral definida: Concepte i propietats

4 Aplicacions al calcul d’arees planes

5 Aplicacions econ`omiques

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Definici´o d’integral indefinida

Definici´o: Primitiva Sigui f : [a, b] ⊂ R −→ R una funci´o real de variable real. Diem que f ´es integrable si existeix una funci´o F : [a, b] ⊂ R −→ R derivable tal que F ′(x) = f (x). La funci´o F rep el nom de primitiva d’f.

Observacions: i. No tota funci´o ´es integrable. Es pot demostrar que si una funci´o ´es cont´ınua en l’interval [a, b], aleshores ´es integrable en aquest interval. ii. Si una funci´o f ´es integrable, la funci´o primitiva no ´es ´unica, ja que si F (x) ´es una primitiva de f (x), tamb´e ho ´es F (x) + C , on C ´es una constant qualsevol, donat que (F (x) + C )′^ = F ′(x) + C ′^ = F ′(x) + 0 = f (x).

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Definici´o: Integral indefinida Sigui f : [a, b] ⊂ R −→ R una funci´o integrable. Anomenem integral indefinida d’f al conjunt de totes les primitives de la funci´o f , i ho representem com ∫ f (x) dx = F (x) + C.

Propietats: Si f i g s´on dues funcions integrables, aleshores es compleix: i.

f (x) + g (x) dx =

f (x) dx +

g (x) dx ii.

k · f (x) dx = k ·

f (x) dx, per tot k ∈ R

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

´Index

1 Integral indefinida: Concepte i propietats

2 M`etodes d’integraci´o

3 Integral definida: Concepte i propietats

4 Aplicacions al calcul d’arees planes

5 Aplicacions econ`omiques

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Integraci´o per parts

Obtenci´o de la f´ormula d’integraci´o per parts Sabem que la derivada d’un producte de funcions ve donada per (u · v )′^ = u′^ · v + u · v ′ D’aqu´ı tenim: (^) u · v ′ (^) = (u · v )′ (^) − u′ (^) · v

Integrant tots dos membres d’obt´ ∫ e: u · v ′^ =

(u · v )′^ −

u′^ · v ⇒

u · v ′^ = u · v −

u′^ · v

Finalment, ho escrivim com

∫ u · dv = u · v −

v · du

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Integraci´o per substituci´o / Canvi de variable

Idea general. El metode de canvi de variable (o de substituci´o) ´es una conseq¨uencia de la derivaci´o de funcions compostes. Consisteix en substituir la variable x per una funci´o d’una altra variable t, de manera que la integral que en resulti sigui m´es senzilla de calcular.

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Descripci´o del m`etode Cal seguir els seg¨uents passos: 1 Substituir la variable x per una funci´o d’una altra variable: x = ϕ(t) −derivar−−−→ dx = ϕ′(t) dt,

on ϕ ´es una funci´o bijectiva. Substituint a la integral obtenim: ∫ f (x) dx =

∫ f (ϕ(t)) · ϕ′(t) dt

2 Calcular la integral de la nova funci´o en t: ∫ f (ϕ(t)) · ϕ′(t) dt = G (t) + C

3 Desfer el canvi de variable: G (t) + C = G (ϕ−^1 (x)) + C

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Introducci´o a la integral definida

Problema. Donada una funci´o f : [a, b] ⊂ R −→ R cont´ınua en [a, b], suposem que volem calcular l’`area que tanca f amb l’eix de les x entre a i b:

AREA?`

6

a b

f

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Podem aproximar l’area buscada subdividint l’interval [a, b] en subintervals i aproximant l’area amb rectangles: Aproximaci´o per defecte (Suma inferior):

6

x 0 = a b = xn

f

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

· · ·

· · · xn− 1

m 0

m 1

m 2 m^3 m 4

mn− 1

En cada interval [xi , xi+1], prenem el valor m´ınim de f en l’interval: mi En cada interval [xi , xi+1] constru¨ım un rectangle que t´e per base la longitud de l’interval i per al¸cada, mi Sumem les arees de tots els rectangles i obtenim aix¨ı¿ (^12) una cota inferior del valor de l’area buscada: Sinf = m 0 · (x 1 − x 0 ) + · · · +

• mn− 1 · (xn − xn− 1 )

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Definici´o d’integral definida

Observem que Sinf ≤ Area≤ Ssup Podem repetir aquest procediment prenent un major nombre de subintervals. Quant m´es gran sigui n, el nombre de subintervals, m´es propers seran els valors de la suma inferior i superior, i millor sera l’aproximaci´o obtinguda de l’area buscada. En el l´ımit, l’aproximaci´o sera perfecta quan prenguem infinits intervals.

Definici´o: Integral definida Sigui f : [a, b] ⊂ R −→ R una funci´o cont´ınua en [a, b]. Direm que f ´es integrable quan la suma inferior i superior tendeixin al mateix valor en prendre infinits subintervals. Aquest valor s’anomena integral definida i es representa per ∫ (^) b

a

f (x) dx.

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Funci´o integral

Hem definit la integral definida, per`o ens interessa saber com podem calcular-la. A continuaci´o veurem que la integral definida i la integral indefinida estan estretament relacionades, i aquesta relaci´o ens d´ona la clau per calcular la integral definida d’una funci´o.

Definici´o: Funci´o integral Sigui f : [a, b] ⊂ R → R una funci´o real de variable real cont´ınua en [a, b]. Definim la funci´o integral associada a f com la funci´o real de variable real donada per

F (x) =

∫ (^) x

a

f (x) dx, on x ∈ [a, b]

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Suposem ara que volem calcular l’area d’un tros compres entre x i x + h :

Area =` F (x + h) − F (x)

?

6

a x (^) x + h

f

b

Matem`atica 2 Tema 3

Int. indefinida Metodes d’integraci´o Int. definida Arees Apl. econ`omiques

Si h ´es prou petit, i com que f ´es cont´ınua, aquesta `area es pot aproximar per F (x + h) − F (x) ' h · f (x)

Per tant, F (x + h) − F (x) h ' f (x)

Si prenem el l´ımit quan h → 0 , aleshores l’aproximaci´o esdev´e exacta:

lim h → 0

F (x + h) − F (x) h = f (x) ⇒ F ′(x) = f (x)

Veiem que la funci´o F que mesura l’area sota la corba f ´es derivable i la seva derivada ´es justament f. Aquest resultat es coneix com el teorema fonamental del calcul.