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Integral indefinida y
m´etodos de integraci´on
Departamento de Ciencias B´asicas, Tecnol´ogico Nacional de M´exico
Instituto Tecnol´ogico de Tehuac´an, Libramiento Tecnol´ogico S/N A.P.247, M´exico
2 de marzo de 2020
1. Antiderivada de una funci´on
Definici´on 1. Una funci´on F es una antiderivada de otra funci´on f si F ′^ = f.
Teorema 1. Sea F (x) y G(x) antiderivadas de f (x) y g(x), respectivamente. Entonces
- F (x) + G(x) es una antiderivada de f (x) + g(x).
- cF (x) es una antiderivada de cf (x) para cualquier constante c.
Teorema 2. Si F 1 y F 2 son funciones derivables tales que F 1 ′(x) = F 2 ′(x) para todo x en un intervalo cerrado [a, b], entonces F 2 (x) = F 1 (x) + C para alg´un n´umero C y para todo x en [a, b].
2. Integral indefinida
Definici´on 2. La integral indefinida
f (x)dx de la funci´on f (o de f (x)) se define como ∫ f (x)dx = F (x) + C
donde F es una antiderivada de f y C es una constante arbitraria.
Teorema 3. Si n es un n´umero racional tal que n 6 = − 1 , entonces *Manual de teoremas, definiciones y lista de integrales inmediatas. Si detectas alg´un error, comun´ıcate al correo: antoniofdzm at gmail.com
xndx =
xn+ n + 1
+ C.
A continuaci´on, proporcionamos una lista de integrales inmediatas.
dx = x + C
cf (x)dx = c
f (x)dx
(f ± g)(x)dx =
f (x)dx ±
g(x)dx
xndx = x
n+ n+1 +^ C,^ donde^ n^6 =^ −^1
∫ (^) dv v = ln^ |v|^ +^ C
avdv = a v ln a +^ C
eudu = eu^ + C
sin vdv = − cos v + C
cos vdv = sin v + C
sec^2 vdv = tan v + C
csc^2 vdv = − cot v + C
sec v tan vdv = sec v + C
csc v cot vdv = − csc v + C
tan vdv = − ln | cos v| + C = ln | sec v| + C
cot vdv = ln | sin v| + C
sec vdv = ln | sec v + tan v| + C
csc vdv = − ln | csc v + cot v| + C
∫ (^) dv v^2 +a^2 =^
1 a arctan^
v a +^ C
∫ (^) dv v^2 −a^2 =^
1 2 a ln^
∣v−a v+a
∣ + C
∫ (^) dv a^2 −v^2 =^
1 2 a ln^
∣a+v a−v
∣ + C
∫ (^) dv √ a^2 −v^2 = arcsin^
v a +^ C
Caso 3 Integrales de la forma
secn^ udu o
cscn^ udu, donde n es entero positivo par.
secn^ u = secn−^2 u sec^2 u = (sec^2 u)
n− 2 2 sec^2 u = (tan^2 u + 1)
n− 2 2 sec^2 u. (3)
cscn^ u = cscn−^2 u csc^2 u = (csc^2 u)
n− 2 (^2) csc^2 u = (cot^2 u + 1) n− 2 (^2) csc^2 u. (4)
Caso 4 Integrales de la forma
tanm^ u secn^ udu o
cotm^ udu cscn^ udu.
Subcaso 4.1 Cuando n es un entero positivo par, se procede como en el caso 3.
Subcaso 4.2 Cuando m es un impar positivo, se realizan las transformaciones:
tanm^ u secn^ u = tanm−^1 u secn−^1 u sec u tan u = (tan^2 u)
m− 1 (^2) secn−^1 u sec u tan u (5) = (sec^2 u − 1)
m− 1 (^2) secn−^1 u sec u tan u.
o
cotm^ u cscn^ u = cotm−^1 u cscn−^1 u csc u cot u = (cot^2 u)
m− 1 (^2) cscn−^1 u csc u cot u (6) = (csc^2 u − 1)
m− 1 (^2) cscn−^1 u csc u cot u.
Caso 5 Integrales de la forma
sinm^ u cosn^ udu donde m y n son ambos n´umeros enteros pares positivos. En este caso, se emplean las siguientes identidades:
sin u cos u =
sin 2u, (7)
sin^2 u =
cos 2u, (8)
cos^2 u =
cos 2u. (9)
Estas identidades transforman la funci´on trigonom´etrica sinm^ u cosn^ u a una expresi´on tri- gonom´etrica de las funciones seno y coseno de ´angulos m´ultiplos, que son f´aciles de integrar.
Caso 6. Integrales de la forma
sin mx cos nxdx,
sin mx sin nxdx o
cos mx cos nxdx, cuando m 6 = n. Debemos de hacer uso de las siguientes identidades trigonom´etricas
sin A + sin B = 2 sin
(A + B) cos
(A − B)
cos A − cos B = −2 sin
(A + B) sin
(A − B)
cos A + cos B = 2 cos
(A + B) cos
(A − B)
3.2. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica
La integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica sirve para integrar funciones que contienen expresiones de la forma:
a^2 − x^2 ,
a^2 + x^2 o
x^2 − a^2. Este m´etodo se basa en el uso de tri´angulos rect´angulos, el teorema de Pit´agoras e identidades trigonom´etricas con el prop´osito de eliminar la ra´ız cuadrada.
Caso 1 Si la funci´on por integrar contiene una expresi´on de la forma
a^2 − x^2 , la sustitu- ci´on x = a sin θ (donde a > 0, −π/ 2 ≤ θ ≤ π/2) eliminar´a la ra´ız cuadrada.
Caso 2 Si la funci´on por integrar contiene una expresi´on de la forma
a^2 + x^2 , la sustitu- ci´on x = a tan θ (donde a > 0, −π/ 2 ≤ θ ≤ π/2) eliminar´a la ra´ız cuadrada.
Caso 3 Si la funci´on por integrar contiene una expresi´on de la forma
x^2 − a^2 , la sustitu- ci´on x = a sec θ (donde a > 0, 0 ≤ θ < π/2 o π ≤ θ < 3 π/2) eliminar´a la ra´ız cuadrada.
Si tenemos funciones de la forma
a^2 − b^2 x^2 ,
a^2 + b^2 x^2 o
b^2 x^2 − a^2 , se sugieren las siguientes sustituciones: bx = a sin θ, bx = a tan θ o bx = a sec θ, para el Caso 1, Caso 2 o Caso 3, respectivamente.
3.3. Integraci´on por partes
El m´etodo de integraci´on por partes se utiliza para encontrar la integral de un producto de funciones en t´erminos de la integral de sus derivadas y antiderivadas: ∫ f (x)g′(x)dx = f (x)g(x) −
g(x)f ′(x). (10)
P (x) Q(x)
dx,
se reduce al c´alculo de integrales de la forma ∫ A (x − α)m^
dx
y ∫ Bx + C (x^2 + px + q)m^
dx.
El m´etodo de integraci´on de una funci´on racional P/Q consiste de dos pasos:
- la factorizaci´on de Q en un producto de factores lineales y cuadr´aticos, y
- la escritura de P/Q como una suma de funciones racionales m´as simples, cuya integraci´on puede ser hecha con los m´etodos ya aprendidos. El m´etodo se divide en cuatro casos, que est´an determinados por la forma de los factores del denominador Q.
Caso 1: El denominador Q puede ser factorizado en factores lineales, todos diferentes. Si podemos hacer la descomposici´on
Q(x) = (x − a 1 )(x − a 2 ) · · · (x − ar)
donde ninguno de los factores (x − ai) se repite (los ai son diferentes), entonces podemos descomponer P/Q para que
P (x) Q(x)
A 1
(x − a 1 )
A 2
(x − a 2 )
Ar (x − ar)
donde A 1 , A 2 ,... Ar, son constantes a determinar. Caso 2: El denominador Q(x) puede ser factorizado en factores lineales, algunos de los cuales est´an repetidos. Si podemos hacer la descomposici´on
Q(x) = (x − a 1 )n^1 (x − a 2 )n^2 · · · (x − ar)nr
entonces la descomposici´on en fracciones parciales introduce algunos tipos diferentes de deno- minadores. En general, a cada factor lineal repetido ni veces (x − ai)ni^ le corresponde una suma de fracciones P (x) Q(x)
A 1
(x − ai)
A 2
(x − ai)^2
A 3
(x − ai)^3
Ani (x − ai)ni Caso 3: El denominador Q(x) puede ser factorizado en factores lineales y cuadr´aticos y ninguno de los factores cuadr´aticos se repite.
Si podemos hacer la factorizaci´on
Q(x) = (x − a 1 )n^1 (x − a 2 )n^2 · · · (x − ar)nr^ · · · (x^2 + b 1 x + c 1 )(x^2 + b 2 x + c 2 ) · · · (x^2 + bsx + cs)
⇒ a cada x^2 + bix + ci le corresponde una fracci´on de la forma
Aix + Ai+ (x^2 + bix + ci)
Si por ejemplo:
Q(x) = (x − a 1 )(x − a 2 )(x − a 3 )(x^2 + b 1 x + c 1 )(x^2 + b 2 x + c 2 )
⇒ P (x) Q(x)
A 1
x − a 1
A 2
x − a 2
A 3
x − a 3
A 4 x + A 5 x^2 + b 1 x + c 1
A 6 x + A 7 x^2 + b 2 x + c 2
Caso 4: El denominador Q(x) puede ser factorizado en factores lineales y cuadr´aticos, y algunos de los factores cuadr´aticos est´an repetidos. Si podemos hacer la factorizaci´on
Q(x) = (x−a 1 )m^1 (x−a 2 )m^2 · · · (x−ar)mr^ · · · (x^2 +b 1 x+c 1 )n^1 (x^2 +b 2 x+c 2 )n^2 · · · (x^2 +bsx+cs)ns
entonces, en general, a cada factor cuadr´atico x^2 + bix + ci repetido ni veces le corresponde una suma de fracciones de la forma
A 1 x + A 2 x^2 + bix + ci
A 3 x + A 4 (x^2 + bix + ci)^2
A 2 ni− 1 x + A 2 ni (x^2 + bix + ci)ni^
Algunas veces, para poder llevar a cabo la integraci´on, se necesita la f´ormula de reducci´on ∫ du (u^2 + a^2 )n^
2(n − 1)a^2
[
u (u^2 + a^2 )n−^1
du (u^2 + a^2 )n−^1
]
Si n > 2, es necesario repetir la aplicaci´on de la f´ormula de reducci´on. Si p 6 = 0, completamos el cuadrado
x^2 + px + q =
x +
p
(4q − p^2 ) = u^2 + a^2.
- Integraci´on por sustituci´on de una variable: raciona-
lizaci´on
El m´etodo de integraci´on de una funci´on no racional que consiste en reemplazar una va- riable por otra, de manera que la funci´on resultante sea racional, se denomina integraci´on por racionalizaci´on. Este es uno de los m´etodos de integraci´on m´as importantes. Estudiamos cuatro casos.
- Integraci´on por sustituci´on rec´ıproca
Existe un gran n´umero de casos en los que el uso de una substituci´on adecuada permite la integraci´on de la funci´on irracional sin racionalizarla. Una substituci´on de este tipo es
x =
u
, ⇒ dx = −
du u^2
que se denomina substituci´on rec´ıproca.
