¡Descarga Tablas de integrales: Integrales inmediatas y propiedades y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Taules d’integrals:
Integrals immediates
a)
x
n dx =
x
n+
n + 1
a
x dx =
a
x
ln a
+ C
c)
e
x dx = e
x
x
dx = ln |x| + C
e)
sin x dx = − cos x + C f)
cos x dx = sin x + C
g)
dx
cos 2 x
= tan x + C h)
dx
sin
2 x
= − cotan x + C
i)
dx √ a 2 − x 2
= arcsin
x
a
dx √ a 2 − x 2
= arccos
x
a
k)
dx
a 2
a
arctan
x
a
sinh x dx = cosh x + C
m)
cosh x dx = sinh x + C
Integrals immediates racionals
a)
x + r
dx = ln |x + r| + C
b)
(x + r) k
dx = −
(k − 1)(x + r) k− 1
c)
Ax + B
ax 2
dx, essent ax 2
- bx + c un polinomi sense arrels reals.
Completant quadrats es transforma la integral en una integral de la forma:
Ax + B
(x + r) 2
dx
Aquesta integral d´ona lloc a una integral del tipus Logaritme + Arctangent, concretament ∫ Ax + B
(x + r) 2
dx =
A
ln
(x + r)
2
2
B − Ar
s
arctan
x + r
s
+ C
d)
Ax + B
(ax 2
dx, essent ax
2
- bx + c un polinomi sense arrels reals i k ∈ N, k 6 = 1.
Aquest tipus no el veurem.
Altres integrals
a)
dx
x 2 − a 2
2 a
ln
x − a
x + a
b)
dx
a 2 − x 2
2 a
ln
a + x
a − x
c)
dx
(x 2
x
2 a 2 (x 2
2 a 3
arctan
x
a
d)
dx
(x 2 − a 2 ) 2
−x
2 a 2 (x 2 − a 2 )
4 a 3
ln
x − a
x + a
e)
a^2 − x^2 dx =
x
a^2 − x^2 +
a
2
arcsin
x
a
f)
a 2
x
a 2
a
2
ln
x +
a 2
g)
x 2 − a 2 dx =
x
x 2 − a 2 −
a 2
ln
∣x +
x 2 − a 2
∣ (^) + C (a 6 = 0)
h)
dx √ x^2 ± a^2
= ln |x +
x 2 ± a 2 | + C (a 6 = 0)
Propietats de les integrals
λf (x) dx = λ
f (x) dx per a tot λ ∈ R
f (x) ± g(x) dx =
f (x) dx ±
g(x) dx
- Sigui
f (x) dx = F (x) + C, llavors
f (u(x)) u
′ (x) dx = F (u(x)) + C.
- F´ormula d’integraci´o per parts:
f (x) · g
′ (x) dx = f (x) · g(x) −
g(x) · f
′ (x) dx.
Prenent u = f (x) i dv = g ′ (x) dx, aquesta f´ormula s’expressa com
u dv = u v −
v du,
on du = u ′ dx = f ′ (x) dx i dv = v ′ dx = g ′ (x) dx
Algunes f´ormules trigonometriques que s’utilitzen a l’hora de resoldre integrals de funcions trigonometriques
- tan x =
sin x
cos x
- sin
2 x + cos
2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos 2 x − sin
2 x = 1 − 2 sin
2 x = 2 cos 2 x − 1
- tan 2x =
2 tan x
1 − tan
2 x
- sin
2 x =
1 2 (1 − cos 2x)
- cos 2 x =
1 2
(1 + cos 2x)
- sin (mx) cos (nx) =
1 2
[sin ((m + n)x) + sin ((m − n)x)]
Integrals que es resolen per canvi de variable
A la taula seg¨uent R denota una funci´o racional.
Integrand (^) Canvi de variable Informaci´o addicional
R(sin x, cos x) t = tan
x 2 amb −π < x < π
sin x =
2 t
1 + t 2
, cos x =
1 − t
2
1 + t 2
dx =
2 dt
1 + t 2
R(sin x, cos x)
R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
t = tan x amb −
π 2 < x <
π 2
sin x =
t √ 1 + t 2
, cos x =
1 + t 2
dx =
dt
1 + t 2
R(sin x, cos x)
R(sin x, cos x) = −R(sin x, − cos x)
t = sin x amb −
π 2
6 x 6
π 2
R(sin x, cos x)
R(sin x, cos x) = −R(− sin x, cos x)
t = cos x amb 0 6 x 6 π
R
x,
n 1
ax + b
cx + d
)m 1
,... ,
nk
ax + b
cx + d
)m k
z n =
ax + b
cx + d
(n ´es el m`axim com´u m´ultiple de
(n 1 ,... , nk))
R(x,
a 2 − x 2 )
Canvi trigonom`etric:
x = a sin t amb −
π 2
6 t 6
π 2
a 2 − x 2 = a cos t
Canvi hiperb`olic:
x = a tanh t
a 2 − x 2 = a sech t
R(x,
x 2
Canvi trigonom`etric:
x = a tan t amb −
π 2
< t <
π 2
x 2
Canvi hiperb`olic:
x = a sinh t
x 2
R(x,
x 2 − a 2 )
Canvi trigonom`etric:
x = a sec t amb t ∈
[
π 2
π 2 , π
]
x 2 − a 2 = a| tan t|
Canvi hiperb`olic:
x = a cosh t amb t > 0
x 2 − a 2 = a sinh t
