Álgebra Lineal: Espacios vectoriales, combinaciones y dependencia lineal, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Álgebra Lineal: Espacios vectoriales, combinaciones y dependencia lineal y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Tema 1: L’espai vectorial Rn

Matem`atica 1

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

´Index

1 Concepte

2 Combinaci´o lineal de vectors

3 Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

5 Base de l’espai vectorial

6 Subespai vectorial

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Definici´o d’Rn

Definici´o: Rn Rn^ ´es el conjunt d’elements formats per una seq¨u`encia ordenada de n nombres reals:

Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) | x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}

Per exemple, R^2 = {(x 1 , x 2 ) | x 1 , x 2 ∈ R}

R^3 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 , x 2 , x 3 ∈ R}

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Operacions a Rn: Suma

Suma: (x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn)

La suma ´es una operaci´o interna, ja que opera amb dos elements de Rn^ i els fa correspondre un element que tamb´e pertany a Rn. Propietats de la suma: Per tot ~u, ~v , ~w ∈ Rn^ es compleix:

1 Propietat associativa ~u + (~v + w~ ) = (~u + ~v ) + w~ 2 Propietat commutativa: ~u + ~v = ~v + ~u 3 Element neutre: L’element ~0 = (0, 0 ,... , 0) ´es l’element neutre de la suma, ´es a dir, compleix: ~u + ~0 = ~u 4 Element simetric: Tot element ~u = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn t´e un element simetric, −~u = (−x 1 , −x 2 ,... , −xn), que compleix: ~u + (−~u) = ~ 0

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Definici´o d’espai vectorial

Definici´o: Espai vectorial Un espai vectorial sobre R ´es un conjunt on es poden definir una operaci´o interna que compleixi les propietats commutativa, associativa, existencia d’element neutre i d’element simetric, i una operaci´o externa que compleixi les propietats ’associativa’, ’distributiva’ i exist`encia d”element unitat’.

Rn, amb les operacions suma i producte per escalar, ´es un espai vectorial sobre R, ja que verifica totes les condicions de la definici´o.

Definici´o: Vector, escalar Els elements d’un espai vectorial reben el nom de vectors. Els elements d’R els anomenarem escalars.

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

´Index

1 Concepte

2 Combinaci´o lineal de vectors

3 Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

5 Base de l’espai vectorial

6 Subespai vectorial

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

M`etode per estudiar si un vector ´es combinaci´o lineal d’un conjunt de vectors Per a veure si un vector ~v ∈ Rn^ ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ∈ Rn^ : 1 Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk 2 Construir la matriu (A|b) afegint a la matriu A una columna addicional donada pel vector ~v 3 Calcular el rang de les dues matrius: Si rang(A) = rang (A|b) ⇒ Sistema compatible ⇒ ~v ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk Si rang(A) 6 = rang (A|b) ⇒ Sistema incompatible ⇒ ~v NO ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

´Index

1 Concepte

2 Combinaci´o lineal de vectors

3 Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

5 Base de l’espai vectorial

6 Subespai vectorial

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Condici´o alternativa de depend`encia lineal [Criteri 2]

Teorema: Condici´o alternativa de dependencia/independencia lineal Un conjunt de vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ´es linealment dependent si, i nom´es si, existeixen k escalars no tots nuls λ 1 , λ 2 ,... , λk tals que λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk~uk = ~ 0

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

Demostraci´o: ⇒) Suposem que ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment dependents. Aleshores almenys un dels vectors - posem per cas ~u 1 - ´es combinaci´o lineal de la resta de vectors: ~u 1 = λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk ⇒ −~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk = ~ 0

Acabem de trobar una combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk que d´ona ~0 i on no tots els coeficients s´on nuls (per exemple, el coeficient d’~u 1 ´es -1.) ⇐) Suposem que existeixen k escalars λ 1 , λ 2 ,... , λk no tots nuls tals que λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk = ~ 0

Suposem que λ 1 6 = 0. Aleshores ´es possible aillar ~u 1 : λ 1 ~u 1 = −λ 2 ~u 2 −... − λk ~uk ⇒ ~u 1 = − λ λ^2 1

~u 2 −... − λ λk 1

~uk

Veiem que aleshores ~u 1 es pot expressar com a combinaci´o lineal de la resta de vectors del conjunt, i per tant compleixen la definici´o de vectors linealment dependents.

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

M`etode addicional [Criteri 3]

M`etode per estudiar si un conjunt de vectors ´es linealment dependent o independent Per a veure si un conjunt de vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ∈ Rn^ ´es linealment dependent o independent podem seguir els seg¨uents passos: 1 Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk 2 Calcular el rang de la matriu: Si rang(A) = no^ vectors ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment independents Si rang(A) < no^ vectors ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment dependents

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

´Index

1 Concepte

2 Combinaci´o lineal de vectors

3 Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

5 Base de l’espai vectorial

6 Subespai vectorial

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

M`etode addicional [Criteri 2]

M`etode per estudiar si un conjunt de vectors ´es un sistema de generadors Per a veure si un conjunt de vectors {~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk } ´es un sistema de generadors d’Rn^ podem seguir els seg¨uents passos: 1 Comprovar que els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk pertanyin a Rn 2 Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk 3 Calcular el rang de la matriu: Si rang(A) = dim(Rn) ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on un sistema de generadors d’Rn Si rang(A) < dim(Rn) ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk NO s´on un sistema de generadors d’Rn

Propietat: dim(Rn) = n.

Matem`atica 1

Tema 1

Concepte Comb. lineal Dep. lineal Sist. generadors Base Sub. vectorial

´Index

1 Concepte

2 Combinaci´o lineal de vectors

3 Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

5 Base de l’espai vectorial

6 Subespai vectorial