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La conceptación de parametrización de curvas en el espacio tridimensional, así como el cálculo de integrales de línea, superficie y trajectoria. Se incluyen ejemplos de curvas y funciones de variables, así como el concepto de campos conservativos y potenciales. Además, se presenta el teorema de green y su aplicación a la integral de superficie.
Tipo: Apuntes
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Corbes
Camps conservatius
Green
Int. superficie
10
Integrals sobre corbes
Parametritzacions de corbes i superf´
ıcies
Integrals de traject`
oria
Integrals de l´
ınia. Circulaci´
o d’un camp
11
Camps conservatius
12
Teorema de Green
13
Integral de superf´
ıcie
Gisela Pujol
Funcions de varies variables
Corbes
Camps conservatius
Green
Int. superficie
Parametritzacions
Int. traject.
Int.l´
ınia
Sigui
2
una corba donada per una equaci´
o
f
x
y
Definici´
o:
Una parametritzaci´
o de
´es una aplicaci´
o diferenciable
α
a
b
2
, donada per dues funcions
α
t
x
t
y
t
)) tals
que
f
x
t
y
t
Exemple 0:
x
2
y
2
circumfer`
encia de radi 1. Parametritzaci´
o
α
π
t
(cos
t
sin
t
) ja que cos
2
t
2
t
Exemple 1:
x
2
y
2
2
circumfer`
encia de radi
. Podem
reescriure l’equaci´
o com
x R
2
y R
2
= 1 i parametritzar
per
α
t
cos
t
sin
t
Exemple 1 general:
x a
2
y b
2
el
lipse de semieixos
a
b
Parametritzaci´
o
α
t
π
a
cos
t
b
sin
t
Exemple 2:
y
x
2
par`
abola. Parametritzaci´
o
α
α
t
t
t
2
Exemple 2 general:
y
f
x
gr`
afica. Parametritzaci´
o
α
t
t
f
t
Gisela Pujol
Funcions de varies variables
Corbes
Camps conservatius
Green
Int. superficie
Parametritzacions
Int. traject.
Int.l´
ınia
Si
t
a
b
α
t
es una parametritzaci´
o d’una corba
3
i
3
3
´es un camp vectorial aleshores definim
diferencial (vectorial) de despla¸
cament
com
d
α
′
t
dt
vector tangent unitari
t
α
′
(
t
)
‖
α
′
(
t
)
‖
la integral de l´
ınia
de
sobre
mitjan¸
cant
B
A
dL
b
a
α
t
α
′
t
dt
B
A
t
dL
(“suma” de les parts tangents
t
t
de
al llarg de
Es defineix el
treball
efectuat per una
for¸
ca
sobre
com la difer`
encia
d’
energia cin`
etica
12
mv
2
entre els extrems de
b
a
d dt
α
t
dt
b
a
α
t
α
′
t
dt
B
A
dL
d
dt
α
t
m
d
dt
α
′
t
α
′
t
m
α
′′
t
α
′
t
α
t
α
′
t
Gisela Pujol
Funcions de varies variables
Corbes
Camps conservatius
Green
Int. superficie
Si
´es una corba tancada i orientada, l’integral de l´
ınia
C
dL
s’anomena la
circulaci´
o
de
al llarg de
Un camp de forces
es diu
conservatiu
o
potencial
quan el treball
realitzat sobre un cam´
ı qualsevol nom´
es dep`
en dels seus extrems.
Equivalentment,
tancada
C
dL
Si
f
llavors
α
t
α
′
t
d
dt
f
α
t
)) i per tant
B
A
dL
b
a
d
dt
f
α
t
dt
f
f
i el camp
´es conservatiu.
Si
f
llavors la quantitat
f
(l’energia total) ´
es
constant al llarg de la traject`
oria. Definim (l’energia) potencial de
com
f
de manera que
Teorema:
conservatiu
rot
Gisela Pujol
Funcions de varies variables
Corbes
Camps conservatius
Green
Int. superficie
Volem calcular el fluxe que produeix un l´
ıquid que es mou a velocitat
t
), en travessar una superf´
ıce
S
t
−→ ds
on
−→ ds
ds
, sent
el vector normal a la superf´
ıcie.
alcul de la int. de superf´
ıcie
Camp vectorial
x
y
z
Superf´
ıcie
definida per
z
f
x
y
), amb (
x
y
, domini de
2
Pas 1.
Calcular el vector normal a la superficie
z
f
x
y
g
x
y
z
z
f
x
y
g
x
f
y
f
Pas 2.
S
t
−→ ds
D
x
y
f
x
y
N dA
, amb
dA
dx dy
Gisela Pujol
Funcions de varies variables
