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Teoría de números
Mariam Cobalea
Universidad de Málaga
Dpto. de Matemática Aplicada
Curso 14/
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 14/15 Teoría de números. Aritmética entera 1 / 76
Aritmética entera
Los números enteros
Z = {... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,... }
Para cualesquiera a , b , c 2 Z, se verifican las siguientes propiedades:
1 Clausura: a + b 2 Z, a · b 2 Z
2 Conmutativa: a + b = b + a , a · b = b · a
3 Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
(^4) Elemento neutro: 9 0 , 1 2 Z, a + 0 = a , a · 1 = a
5 Elemento opuesto: 8 a 2 Z, 9 ( a ) 2 Z, a + ( a ) = 0
La diferencia de dos enteros se define como a b = a + ( b )
6 Cancelación: Si a 6 = 0 , y a · b = a · c , entonces b = c
7 Distributiva: a · ( b + c ) = a · b + a · c
Los números enteros
Definición 1 (Ordenación de los enteros)
Las relaciones < , y en Z se definen:
a < b () 9 0 6 = n 2 N, b = a + n
a b () a < b ó bien a = b
a b () b a
Teorema 1 (Propiedades de )
Para cualesquiera a , b , c 2 Z se verifican:
1 Reflexiva: a a
2 Antisimétrica: Si a b y b a , entonces a = b
3 Transitiva: Si a b y b c , entonces a c
4 Monotonía de la suma: Si a b , entonces a + c b + c
5 Monotonía del producto: Si a b y 0 c , entonces a · c b · c
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Aritmética entera
Los números enteros
Definición 2 ( Valor absoluto)
El valor absoluto de a 2 Z, denotado | a | se define:
| a | =
a si a 0
a si a < 0
Teorema 2 (Propiedades del valor absoluto)
Para cualesquiera a , b , c 2 Z, se verifican:
1 | a | 0
(^2) | a | = 0 () a = 0
3 | a · b | = | a | · | b |
4 | a + b | | a | + | b |
Algoritmo de la división
Podemos dar una versión más general del algoritmo de la división, para
enteros a , b 2 Z, con b 6 = 0.
Teorema 4 (Algoritmo de la división)
Sean a , b 2 Z, con b 6 = 0. Entonces existen únicos q , r 2 Z tales que
a = b · q + r y 0 r < | b |
Demostración: Análoga a la anterior.
- Aunque los números divididos pueden ser negativos, el resto siempre es
no negativo : 0 r < | b |.
- El cociente y el resto en el caso general se determinarán a partir de la
división de los correspondientes valores absolutos, añadiendo los signos
y corrigiendo el resto de forma adecuada.
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Aritmética entera
Algoritmo de la división
Ejemplo 2
Para a = 17 , b = 3 , dividiendo 17 entre 3 obtenemos:
Por lo tanto: 17 = 3 · 5 2
De forma análoga, podemos deducir las siguientes:
a = 17 , b = 3 , =) 17 = ( 3 ) · ( 5 ) + 2
a = 17 , b = 3 , =) 17 = ( 3 ) · 6 + 1
Representación de enteros
Sistema de numeración es el conjunto de reglas mediante las cuales se
pueden representar todas las cantidades utilizando signos diversos.
Usualmente representamos los números en notación decimal.
Escribimos los números usando dígitos que representan múltiplos de
potencias de diez. Por ejemplo, cuando escribimos el entero 34765
queremos decir
4
3
2
1
0
Otras civilizaciones han usado diferentes bases, los babilonios usaron
base seis y los mayas usaron base veinte.
En informática se usa base dos para la representación interna de
enteros. También se usa ocho o dieciséis.
En el siguiente teorema se demuestra que cada entero positivo mayor
que uno se puede usar como base.
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Aritmética entera
Representación de enteros
Teorema 5
Sea b un entero positivo, b > 1. Entonces cada entero positivo n se
puede escribir de forma única como suma de potencias de b
n = a k · b
k
k 1
1
0
donde k es un entero no negativo, a j
es un entero 0 a j
b 1 para
j = 0 , 1 , ..., k y el coeficiente inicial a k
2 Se expresa n = ( a k a k 1
... a 1 a 0
b
2 Si b > 10 , los dígitos a j
pueden ser mayores o iguales a 10. Para
mayor claridad, también podemos usar letras A = 10 , B = 11 , ...
Para demostrar este teorema usamos sucesivamente el algoritmo de la
división, reemplazando el dividendo en cada paso por el cociente anterior y
paramos cuando llegamos a un cociente cero.
Divisibilidad
Definición 3 (Divisibilidad)
Sean a , b 2 Z, con b 6 = 0. Se dice que el entero b divide al entero a
si existe un q 2 Z tal que a = b · q. Se denota b | a.
También se dice que a es un múltiplo de b y se denota a =
b.
Ejemplos 4
6 | 192 , ya que 6 · 32 = 192
11 | 2310 , ya que 11 · 210 = 2310
8 | 24 , ya que 8 · ( 3 ) = 24
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Aritmética entera
Divisibilidad. Propiedades básicas
Teorema 6 (Propiedades de la divisibilidad I )
Sean a , b , c 2 Z. Entonces:
1 1 | a y 1 | a
2 a | -a , para todo 0 6 = a 2 Z
Teorema 7 (Propiedades de la divisibilidad II )
Sean a , b , c 2 Z. Entonces:
3 a | a.
4 Si a | b y b | a , entonces a = b ó bien a = -b.
(^5) Si a | b y b | c , entonces a | c.
La relación de divisibilidad en N es una relación de orden parcial.
Además, si a | b , entonces a b.
Divisibilidad. Propiedades básicas
Teorema 8 (Propiedades de la divisibilidad III )
Sean a , b , c 2 Z. Entonces:
6 Si c | a y c | b , entonces c | a + b y c | a b.
Corolario 9
Sean a , b , c 2 Z. Entonces:
7 Si a | b , entonces a | m · b , para todo m 2 Z
8 Si c | a y c | b , entonces c | s · a + t · b , para todo s , t 2 Z.
9 Para 1 i n , sea b i 2 Z. Si c divide a cada b i , entonces
c | t 1
· b 1
· b 2
- · · · + t n · b n , para todo t 1
,... , t n
2 Z
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Aritmética entera
Divisibilidad. Propiedades básicas
Ejercicio
Da un ejemplo para cada una de las propiedades de la divisibilidad
enunciadas en el teorema y corolario anterior.
Demuestra cada una de las propiedades enunciadas en el teorema y
corolario anterior.
Números primos
En algunas aplicaciones es importante saber si un entero dado es primo
o compuesto.
Por ejemplo, en algunos métodos de criptografía se utilizan primos
grandes para construir mensajes secretos.
Un procedimiento para determinar si un entero es primo se basa en el
siguiente resultado:
Lema 2
Sea n 2 Z
. Si n es compuesto, entonces podemos encontrar un divisor
primo p tal que p
p
n.
Consecuencia:
Un entero es primo si no es divisible por ningún primo menor o igual que su
raíz cuadrada.
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Aritmética entera
Números primos
Ejercicio
Demuestra que 101 es primo.
Solución
„ Los únicos primos menores o iguales que
p
101 son 2 , 3 , 5 y 7.
„ Como 101 no es divisible por ninguno de ellos, se puede deducir que
101 es primo.
Ejercicio
Estudia si son primos los siguientes números:
a ) 2051 b ) 1343 c ) 571
Números primos
Mediante el procedimiento conocido como criba de Eratóstenes se
obtienen los primos menor que un entero n.
2 Los primos menores que 100 son:
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Aritmética entera
Máximo Común Divisor
Definición 5 (Máximo común divisor)
Sean a y b enteros no nulos. El máximo común divisor de a y b es un
entero d 2 Z
tal que:
(^1) d | a y d | b ; es decir, d es un divisor común de a y b.
2 si c es cualquier divisor común de a y b , entonces c | d.
El máximo común divisor de a y b se denota mcd ( a , b ).
Ejemplos 6
El conjunto de divisores comunes de 36 y 24 es { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }.
Así, mcd ( 36 , 24 ) = 12.
El conjunto de divisores comunes de 70 y 42 es { 1 , 2 , 7 , 14 }.
Así, mcd ( 70 , 42 ) = 14.
Máximo Común Divisor
Ahora sabemos que para cualesquiera a , b 2 Z
, el mcd ( a , b )
existe y es único.
Además se verifican:
I mcd ( a , b ) = mcd ( b , a )
I mcd ( a , b ) = mcd ( a , b ) = mcd ( a , b ) = mcd ( a , b )
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Aritmética entera
Máximo Común Divisor: Algoritmo de Euclides
Por la demostración del teorema anterior sabemos que el máximo común
divisor de a y b es el menor entero positivo d que se puede expresar
como combinación lineal de a y b
d = a · s + b · t , s , t 2 Z
A continuación, estudiamos cómo se pueden encontrar el máximo común
divisor d y estos enteros s , t.
Máximo Común Divisor: Algoritmo de Euclides
Lema 3
Sean a y b enteros tales que b > 0 y b | a. Entonces el conjunto de
los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores
de b.
Lema 4
Sean a y b enteros tales que a > b > 0 y a = b · q + r. Entonces el
conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de
los divisores comunes de b y r ; en particular, mcd ( a , b ) = mcd ( b , r ).
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Aritmética entera
Máximo Común Divisor: Algoritmo de Euclides
Teorema 12 (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b enteros positivos. Aplicando repetidamente el algoritmo de
la división, se tiene
a = b · q 1
b = r 1 · q 2
r 1 = r 2 · q 3
r 2 = r 3 · q 4
r k 2
= r k 1
· q k
0 < r k
< r k 1
r k 1 = r k · q k + 1
Entonces r k es el máximo común divisor de a y b.
Algoritmo de Euclides
Ejemplo 8
Halla el mcd ( 36 , 24 )
24 = 12 · 2 + 0 , r 2
Por tanto, mcd ( 36 , 24 ) = 12 , ya que 12 es el último resto distinto de cero.
Ejemplo 9
Halla el mcd ( 136 , 26 )
6 = 2 · 3 + 0 r 3
Por tanto, mcd ( 136 , 26 ) = 2 , ya que 2 es el último resto distinto de cero.
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Aritmética entera
Algoritmo extendido de Euclides. Identidad de Bezout
Teorema 13 (Bezout)
Si a , b 2 Z
, entonces existen s , t 2 Z tales que mcd ( a , b ) = a · s + b · t
Demostración: La secuencia de igualdades obtenida en el algoritmo de
Euclides se puede escribir
r 1 = a b · q 1
r 2 = b r 1 · q 2
r 3 = r 1 r 2 · q 3
r k 1 = r k 3 r k 2 · q k 1
r k = r k 2 r k 1 · q k
Ahora partiendo de la igualdad d = mcd ( a , b ) = r k , sustituimos
sucesivamente cada resto r i
. Así hallaremos la combinación lineal buscada
d = a · s + b · t
Algoritmo extendido de Euclides. Identidad de Bezout
Ejemplo 10
Dados los enteros a = 136 y b = 26 , aplicamos el algoritmo de Euclides
136 = 26 · 5 + 6 ( ii )
26 = 6 · 4 + 2 ( i )
A continuación, sustituimos regresivamente cada uno de los restos hasta
llegar a una combinación lineal de 136 y 26 :
( i )
( ii )
Así, obtenemos 2 = 136 · ( 4 ) + 26 · 21
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Aritmética entera
Algoritmo extendido de Euclides. Identidad de Bezout
Ejemplo 11
Dados los enteros a = 250 y b = 111 , aplicamos el algoritmo de Euclides
250 = 111 · 2 + 28 =) 28 = 250 + 111 · ( 2 ) ( iii )
111 = 28 · 3 + 27 =) 27 = 111 + 28 · ( 3 ) ( ii )
28 = 27 · 1 + 1 =) 1 = 28 + 27 · ( 1 ) ( i )
A continuación, sustituimos regresivamente cada uno de los restos hasta
llegar a una combinación lineal de 250 y 111 :
( i )
( ii )
( iii )
Así, obtenemos 1 = 250 · ( 4 ) + 111 · ( 9 )
Algoritmo extendido de Euclides: Forma matricial
Ejemplo 12
En la transparencia 33 determinamos que mcd( 136 , 26 ) = 2 y que la
secuencia de cocientes es q 1 = 5 , q 2 = 4 y q 3
En forma matricial se puede expresar:
Por lo tanto, mcd( 136 , 26 ) = 2 = 136 · ( 4 ) + 26 · 21
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Aritmética entera
Algoritmo extendido de Euclides: Forma matricial
Ejemplo 13
En la transparencia 34 determinamos que mcd( 250 , 111 ) = 1 y que la
secuencia de cocientes es q 1 = 2 , q 2 = 3 , q 3 = 1 y q 4
En forma matricial se puede expresar:
Por lo tanto: mcd( 250 , 111 ) = 1 = 250 · 4 + 111 ( 9 )
Números Coprimos
Definición 6 (Primos relativos)
Se dice que los enteros a y b son primos relativos o coprimos si
mcd ( a , b ) = 1
Ejemplo 14
9 y 22 son coprimos, ya que mcd ( 22 , 9 ) = 1.
Definición 7 (Primos relativos dos a dos)
Los enteros a 1 , a 2 ,... , a n son primos relativos dos a dos si
mcd ( a i
, a j
) = 1 para 1 i < j n.
Ejemplo 15
Los enteros 9 , 22 y 35 son coprimos dos a dos, ya que
mcd ( 9 , 22 ) = mcd ( 9 , 35 ) = mcd ( 22 , 35 ) = 1
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Aritmética entera
Números Coprimos
El recíproco del teorema de Bezout NO se verifica.
En general, NO ES CIERTO que si a · s + b · t = c , entonces
c = mcd( a , b ).
Pueden existir enteros s y t tales que a · s + b · t = c , aunque
c 6 = mcd ( a , b ).
Por ejemplo, 2 · 2 + 3 · 2 = 10 , pero mcd( 2 , 3 ) 6 = 10 6 = mcd( 2 , 2 ).
Sin embargo, si podemos encontrar una combinación lineal de a y b
igual a 1 , tenemos el siguiente resultado.
