Teoría general de números II, Diapositivas de Lógica Matemática

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Tema 2 (Segunda parte):

Teor´ıa de n´umeros

Mar´ıa In´es Fern´andez Camacho

MATEM

´

ATICA DISCRETA Y L

´

OGICA MATEM

´

ATICA

(GRUPO B)

UCM Curso 15/

Divisibilidad

Def:

Dados dos n´umeros enteros aaa,,, bbb ∈∈∈ ZZZ se dice que aaa es divisible por bbb

(o tambi´en que b

b b es divisor o factor de a

a a, o que a

a a es m´ultiplo de b

b b)

cuando existe alg´un entero ccc ∈∈∈ ZZZ tal que aaa === cbcbcb

Notaci´on:

bbb|||aaa denota que bbb es divisor de aaa.

b 6 |a

b 6 |a b 6 |a denota que b

b b no es divisor de a

a a.

a =

a = b

a = b

b denota que aaa es m´ultiplo de bbb.

Ejs:

Def:

Dados DDD,,, ddd ∈∈∈ ZZZ,,, ddd 6 = 0 6 = 0 6 = 0,,, si existe un unico´ ccc ∈∈∈ ZZZ tal que DDD === ccc ··· ddd,

entonces decimos que c

c c es el cociente exacto de la divisi´on de D

D

D

(dividendo) entre ddd (divisor), se escribe c =

D

d

c =

D

d

c =

D

d

y a la operaci´on realizada

para calcular el cociente exacto se la llama divisi´on exacta.

Algunas propiedades m´as de la divisibilidad de n´umeros enteros

Si aaa,,, bbb,,, ccc,,, ddd ∈∈∈ ZZZ, entonces

(1) a| 0 , (0 = ˙a)

a| 0 , (0 = ˙a) a| 0 , (0 = ˙a) (El 0 es m´ultiplo de cualquier entero)

(2) 111 |||aaa (El 1 es divisor de cualquier entero)

(3) aaa||| 11 1 si y s´olo si aaa === ±±± 111

(4) Si aaa|||bbb y ccc|||ddd, entonces acacac|||bdbdbd

(5) aaa|||aaa

(6) Si aaa|||bbb y bbb|||aaa, entonces aaa === ±±±bbb

Divisi´on entera o eucl´ıdea

Si DDD,,, ddd ∈∈∈ ZZZ,,, ddd 6 = 0 6 = 0 6 = 0, en general DDD no ser´a m´ultiplo de ddd pero existen dos

m´ultiplos consecutivos de ddd entre los que se encuentra DDD, ya que la

distancia entre dos m´ultiplos consecutivos de ddd es |||ddd|||

-3d -2d -d 0 d 2d 3d

)

|d|

Divisi´on entera o eucl´ıdea

Def:

1. Dados D, d ∈ Z, d > 0 ,

D, d ∈ Z, d > 0 , D, d ∈ Z, d > 0 , sea c ∈ Z

c ∈ Z c ∈ Z tal que c · d ≤ D ≤ (c + 1) · d

c · d ≤ D ≤ (c + 1) · d c · d ≤ D ≤ (c + 1) · d,

entonces

c

c c y c + 1

c + 1 c + 1 reciben los nombres respectivos de cociente enteros por

defecto y por exceso de la divisi´on de DDD (dividendo) por ddd (divisor)

los n´umeros r , r

′

r , r ∈ N

′

r , r ∈ N

′

∈ N definidos por las igualdades

r = D − c · d, r

′

r = D − c · d, r = (c + 1) · d − D = d − r

′

r = D − c · d, r = (c + 1) · d − D = d − r

′

= (c + 1) · d − D = d − r reciben los nombres

respectivos de restos enteros por defecto y por exceso.

2. Dados D, d ∈ Z, d < 0 ,

D, d ∈ Z, d < 0 , D, d ∈ Z, d < 0 , el cociente y el resto enteros por defecto/

exceso de la divisi´on de DDD entre ddd se define como el cociente y el resto

enteros por defecto/exceso de (−D)

(−D)

(−D) entre (−d)

(−d) (−d)

Divisi´on entera o eucl´ıdea

Si ccc ··· ddd === DDD entonces rrr = 0= 0= 0 y c =

D

d

c =

D

d

c =

D

d

es el cociente exacto de DDD

entre ddd

Si DDD >>> 00 0 y DDD <<< ddd entonces ccc = 0= 0= 0 y rrr === DDD (de lo contrario rrr 6 ∈ 6 ∈ 6 ∈ NNN)

r

r r es la distancia entre c · d

c · d c · d y D

D

D en cualquier caso.

Ej:

D d c r c + 1 r ’

18 5 3 3 4 2

-18 5 -4 2 -3 3

18 -5 -4 2 -3 3

-18 -5 3 3 4 2

18 6 3 0 4 6

-18 6 -3 0 -2 6

18 -6 -3 0 -2 6

-18 -6 3 0 4 6

“Algoritmo” de la divisi´on

Teorema de la divisi´on

Dados DDD,,, ddd ∈∈∈ ZZZ,,, ddd 6 = 0 6 = 0 6 = 0,,, existen dos enteros ccc y rrr

un´ıvocamente determinados tales que DDD === ccc ··· ddd +++ rrr y 0 00 ≤≤≤ rrr <<< |||ddd|||.

Los n´umeros ccc y rrr se llaman cociente y resto de la divisi´on entera

(eucl´ıdea) con dividendo DDD y divisor ddd

Notaci´on: c ≡ not

D div d r ≡ not

D mod d

c ≡

not

D div d r ≡

not

D mod d c ≡ not

D div d r ≡ not

D mod d

Dem: ...

“Algoritmo” de la divisi´on

Obs:

Fijado el divisor b s´olo hay |b| posibles restos: 0,1,2, · · · , |b| − 1 lo

que nos permite clasificar los infinitos n´umeros enteros en una

cantidad finita de clases, seg´un los restos que producen al dividirlos

por b.

Puede ser ´util “leer el teorema de atr´as hacia adelante”: la expresi´on

D = c · d + r , 0 ≤ r < |d| puede ser leida como “al dividir DDD entre

ddd queda resto rrr ”.

“Algoritmo” de la divisi´on

Ejemplo: Dem´uestrese que el cuadrado de cualquier n´umero entero es de

la forma 333 ··· kkk o 333 ··· kkk + 1+ 1+ 1 para alg´un kkk ∈∈∈ ZZZ

“Leyendo de atr´as hacia adelante el teorema” demostrar que “dado n ∈ Z

entonces n

2

= 3 · k o n

2

= 3 · k + 1 para alg´un k ∈ Z ” es equivalente a

demostrar que “al dividir n

2

entre 3 queda resto 0 o 1”.

El teorema de la divisi´on garantiza que los posibles restos de dividir nnn por

3

3 3 son 0 , 1

0 , 1 0 , 1 o 2

2 2 , y que existe un ´unico c ∈ Z

c ∈ Z c ∈ Z tal que

n = 3 · c, n = 3 · c + 1

n = 3 · c, n = 3 · c + 1 n = 3 · c, n = 3 · c + 1 o n = 3 · c + 2

n = 3 · c + 2 n = 3 · c + 2

Luego:

Si nnn = 3= 3= 3 ··· ccc entonces n

2

= 3 · (3 · c

2

n ) = 3 · k

2

= 3 · (3 · c

2

n ) = 3 · k

2

= 3 · (3 · c

2

) = 3 · k con k = 3 · c

2

k = 3 · c ∈ Z

2

k = 3 · c ∈ Z

2

∈ Z

Si nnn = 3= 3= 3 ··· ccc + 1+ 1+ 1 entonces n

2

= 3 · (3 · c

2

n + 2 · c) + 1 = 3 · k + 1

2

= 3 · (3 · c

2

n + 2 · c) + 1 = 3 · k + 1

2

= 3 · (3 · c

2

• 2 · c) + 1 = 3 · k + 1 con

k = (3 · c

2

k = (3 · c + 2 · c) ∈ Z

2

k = (3 · c + 2 · c) ∈ Z

2

• 2 · c) ∈ Z

Si n = 3 · c + 2

n = 3 · c + 2 n = 3 · c + 2 entonces n

2

= 3 · (3 · c

2

• 4 · c + 1) + 1 = 3 · k + 1

n

2

= 3 · (3 · c

2

• 4 · c + 1) + 1 = 3 · k + 1 n

2

= 3 · (3 · c

2

• 4 · c + 1) + 1 = 3 · k + 1 con

k = (3 · c

2

• 4 · c + 1) ∈ Z

k = (3 · c

2

• 4 · c + 1) ∈ Z k = (3 · c

2

• 4 · c + 1) ∈ Z

M´aximo com´un divisor

Propiedades:

(1) No existe m.c.d.(0No existe m.c.d.(0No existe m.c.d.(0,,, 0)0)0)

(2) ∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, a)

∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, a) ∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, a)

(3) ∀∀∀aaa ∈∈∈ ZZZ,,, aaa 6 = 0 se cumple m.c.d.( 6 = 0 se cumple m.c.d.( 6 = 0 se cumple m.c.d.(aaa,,, 0) = m.c.d.(00) = m.c.d.(00) = m.c.d.(0,,, aaa) =) =) = |||aaa|||

(4) ∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(|a|, |b|)

∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(|a|, |b|) ∀a, b ∈ Z, a 6 = 0 o b 6 = 0, se cumple m.c.d.(a, b) = m.c.d.(|a|, |b|)

Teorema:

∀∀∀aaa,,, bbb ∈∈∈ ZZZ,,, aaa 6 = 0 o 6 = 0 o 6 = 0 o bbb 6 = 0 6 = 0 6 = 0,,, existe el m´existe el m´existe el m´aximo com´aximo com´aximo com´un divisor deun divisor deun divisor de aaa yyy bbb

y es ´unico

Dem: Por la prop. (4) es suficiente demostrarlo para a, b ∈ N, a > b.

Como ∀n ∈ Z, 1 |n y ∀n ∈ Z, n 6 = 0, |n| es el mayor divisor de n; el conjunto

de los divisores positivos comunes de a y b es un subconjunto finito, no vac´ıo, de

N y por lo tanto tiene un m´aximo ´unico.

Lema de reducci´on de Euclides

Lema de reducci´on de Euclides

Dados a, b ∈ Z 1

a, b ∈ Z, a ≥ b, 1

a, b ∈ Z, a ≥ b, 1

, a ≥ b, y c, r ∈ Z 1

c, r ∈ Z 1

c, r ∈ Z 1

tales que aaa === ccc ··· bbb +++ rrr y 0 00 ≤≤≤ rrr <<< bbb

entonces m.c.d.(m.c.d.(m.c.d.(aaa,,, bbb) = m.c.d.() = m.c.d.() = m.c.d.(bbb,,, rrr )))

Basta demostrar que los divisores comunes de a y b coinciden con los de b y r.

=⇒) (m|a y m|b) → (m|b y m|r )

(m|a y m|b ) ∼ (∃k, l ∈ Z, a = k · m y b = l · m)

(m|a y m|b ) → (∃k, l ∈ Z,

b = l · m

r=a−c·b=k·m− c· l·m=(k− c·l

︸ ︷︷ ︸

∈Z

)· m )

→ (m|b y m|r )

⇐=) (m|b y m|r ) → (m|a y m|b)

An´alogo

Algoritmo de Euclides

Ej: m.c.d.(272,18) = 2

i a i

b i

r i

c i

0 272 18 2 15

1 18 2 0 9

2 2 0

Teorema de B´ezout

Teorema de B´ezout

Sean aaa,,, bbb ∈∈∈ ZZZ,,, (((aaa 6 = 0) o 6 = 0) o 6 = 0) o (((bbb 6 = 0) 6 = 0) 6 = 0) yyy ddd = m.c.d.(= m.c.d.(= m.c.d.(aaa,,, bbb))). entonces

∃∃∃ mmm,,, nnn ∈∈∈ ZZZ,,, tales que ddd === mmm ··· aaa +++ nnn ··· bbb

Dem: Sea C = {a · x + b · y /a · x + b · y > 0 , x, y ∈ Z}

C es un subconjunto no vac´ıo de N, ya que (a · a + b · b) ∈ C , y por el principio

de buena ordenaci´on tiene un m´ınimo d = m · a + n · b con m, n ∈ Z.

Veamos que d = m.c.d.(a, b)

d|a En efecto: por el teorema de la divisi´on ∃ c, r ∈ Z ´unicos tales que

r = a − c · d y 0 ≤ r < d. (|d| = d porque d ∈ C )

Luego r puede ponerse como combinaci´on lineal entera de a y b ya que

r = a − c · (m · a + n · b) = a · (1 − c · m)

︸ ︷︷ ︸

∈Z

+b ·(−c · n)

︸ ︷︷ ︸

∈Z

para ciertos m, n ∈ Z.

Por lo tanto, como 0 ≤ r < d necesariamente r = 0 ya que d es el m´ınimo

en C , concluy´endose a = c · d.