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Técnicas de Recuento
Mariam Cobalea
Universidad de Málaga Dpto. de Matemática Aplicada
Curso 13/
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 1 / 100
Tema 4: Técnicas de Recuento
4.0 Introducción.
4.1 Recuento Elemental.
4.2 Principio de Dirichlet.
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión.
4.4 Recuento recursivo.
4.5 Ecuaciones de recurrencia lineales.
Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
Con el fin de comparar, evaluar o predecir , frecuentemente debemos
contar los objetos de un conjunto finito.
Por ejemplo, una manera de comparar el coste de aplicar dos
algoritmos es determinar (o al menos, estimar) el número de
operaciones que ejecuta cada uno al resolver un problema.
Esto se hace a menudo contando solo ciertas clases de operaciones que
son ejecutadas por los algoritmos.
Así pues, el coste de un método directo para resolver un sistema de
ecuaciones simultáneas se puede estimar contando el número de
multiplicaciones y divisiones realizadas.
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Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
El coste de algunos algoritmos de ordenación (clasificación) se puede
estimar contando el número de comparaciones hechas entre los datos.
El coste de utilizar una particular estructura de datos se puede estimar
determinando las longitudes de búsqueda media y máxima para los
items almacenados en dicha estructura de datos.
Problemas tales como estos requieren contar los elementos de un
conjunto o enumerar los elementos de un conjunto que tienen una
propiedad común.
Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
Para contar los elementos de un conjunto usaremos distintas
estrategias. Una de estas estrategias consiste en usar la analogía ,
reconociendo que el conjunto que se quiere contar tiene el mismo
número de elementos que algún otro conjunto que es más fácil de
contar.
Estudiaremos diferentes ‘modelos’ teóricos que describen conjuntos
cuyos elementos sabemos contar.
Para contar los elementos de un conjunto deberemos buscar el modelo
que se ajuste a nuestro conjunto.
Tanto en la descripción de los modelos, como en el análisis mediante el
que buscamos un modelo, son fundamentales las operaciones entre
conjuntos que aprendimos en el primer tema.
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Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
Ejemplo 1
¿Cuántos partidos se necesita programar para determinar el campeón de un
torneo de tenis en el que hay 64 participantes?
Solución 1
El problema se resuelve fácilmente:
Empezamos con las 32 partidas de los 32-avos de final 32
Proseguimos con las 16 de los dieciseisavos de final 16
Después los 8 octavos de final 8
Los 4 cuartos de final 4
Las 2 semifinales 2
Y la final 1
Total : 32 +16 + 8 +4 +2 + 1= 63
Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
Ejemplo 1
¿Cuántos partidos se necesita programar para determinar el campeón de un
torneo de tenis en el que hay 64 participantes?
Solución 2
Si observamos que
cada partido determina un perdedor y
sólo hay un campeón al final del torneo,
podemos deducir que se necesitan exactamente 63 partidos (uno menos que
el número de participantes).
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Tema 4: Técnicas de Recuento
Introducción
Hemos calculado el número de elementos de un conjunto y además de una
manera inteligente y más fácil de generalizar a un número cualquiera de
participantes.
„ En general, para determinar el campeón de un torneo de tenis en el que
hay n participantes serán necesarios n 1 partidos.
Si ahora aplicamos la primera fórmula a 512 jugadores, por ejemplo,
obtenemos:
Con la segunda fórmula es sencillamente:
4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Principio de la Suma ( Recuento caso por caso )
Si un procedimiento se puede separar en t casos, cuyos conjuntos de
resultados son mutuamente excluyentes, con
s 1 posibles resultados para el primer caso,
s 2 posibles resultados para el segundo caso,... y
st posibles resultados para el caso t ,
entonces el número total de resultados del procedimiento es
s 1 + · · · + st
Ejemplo 4
Un estudiante puede elegir un proyecto fin de carrera entre tres listas.
Cada una de las listas tiene, respectivamente, 23 , 15 y 19 propuestas.
El número de posibles proyectos que puede elegir el estudiante es
23 + 15 + 19
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4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
El principio de la suma se puede expresar en términos de conjuntos.
Teorema 1
Si A y B son conjuntos finitos disjuntos , entonces A [ B es finito y
| A [ B | = | A | + | B |
Corolario 2
Si A 1 ,... , Ak son conjuntos finitos y disjuntos dos a dos , entonces
[^ k
i = 1
Ai es finito y |
[^ k
i = 1
Ai | = | A 1 | + · · · + | Ak |
4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Ejemplo 5
¿Cuántos números enteros hay que son mayores que 1 y menores que 123 o
mayores que 230 y menores que 451?
Solución: Se consideran los conjuntos
A 1 = { x 2 Z| 1 < x < 123 } y A 2 = { x 2 Z| 230 < x < 451 }
Para contestar a la pregunta que nos hacen, debemos hallar el cardinal de la
unión A 1 [ A 2.
Como no tienen elementos comunes, podemos aplicar el teorema anterior
(conocido también como regla de la suma )
| A 1 [ A 2 | = | A 1 | + | A 2 |
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4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Ejemplo 5
¿Cuántos números enteros hay que son mayores que 1 y menores que 123 o mayores
que 230 y menores que 451?
Solución: (cont.) Teniendo en cuenta que
A 1 = { x 2 Z | 1 < x < 123 } = { x 2 Z | 2 x 122 }
A 2 = { x 2 Z | 230 < x < 451 } = { x 2 Z | 231 x 450 }
y que el número de enteros que se hallan entre dos dados m n , ambos
inclusive, es igual a m n + 1 ,
| A 1 | = 122 2 + 1 = 121 , | A 2 | = 450 231 + 1 = 220
tenemos que,
| A 1 [ A 2 | = | A 1 | + | A 2 | = 121 + 220 = 341
4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Principio de Multiplicación ( Recuento secuencial )
Si una actividad se puede realizar en t pasos sucesivos y
el paso 1 puede realizarse de r 1 formas,
el paso 2 puede realizarse de r 2 formas,... y
el paso t puede realizarse de rt formas,
entones el número total de formas posibles de realizar esa actividad es
r 1 · r 2 · · · rt
Ejemplo 6
La producción de una pieza consta de cuatro etapas. Hay seis líneas de
montaje disponibles para la primera etapa, cuatro para la segunda, cinco
para la tercera y tres para la última. El número de maneras diferentes en
que se puede fabricar la pieza en este proceso es 6 · 4 · 5 · 3
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4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Ejemplo 7
Se quieren etiquetar la butacas de un auditorio con una letra y un número
entero positivo menor que 100. ¿Cuál es el máximo número de butacas a
las que se puede asignar una etiqueta diferente?
Solución: El proceso de etiquetado es una actividad que se puede realizar
en dos pasos sucesivos: asignar una de las 27 letras del alfabeto y luego
asignar uno de los 100 posibles números.
Según el principio del producto, hay 27 · 100 formas diferentes de
etiquetar una butaca.
Por lo tanto, el número máximo de butacas que puede haber con etiquetas
distintas es 2700.
4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
El principio del producto también se puede expresar en términos de
conjuntos.
Teorema 3
Sean A y B conjuntos finitos. Entonces A ⇥ B es finito y
| A ⇥ B | = | A | · | B |
Corolario 4
Sean A 1 ,... , Ak conjuntos finitos. Entonces A 1 ⇥ · · · ⇥ Ak es finito y
| A 1 ⇥ · · · ⇥ Ak | = | A 1 | · · · | Ak |
Ejemplo 8
El número de palabras clave de longitud 4 que se pueden formar con los
símbolos del alfabeto { 0 , 1 , · · · , 9 } es 10
4 .
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4.1 Recuento elemental
Principios básicos de Recuento
Ejemplo 9
(^1) El número de formas en que se puede responder a un cuestionario de
diez preguntas del tipo V ó F basándose tan sólo en la conjetura es 210.
(^2) Idem si cada pregunta tiene 4 respuestas posibles, hay 410 formas de
responder.
Ejercicio
Una llave se fabrica realizando incisiones de profundidad variable en ciertas
posiciones de una pieza matriz. Si hay 10 niveles de profundidad, ¿cuántas
posiciones se necesitan para fabricar un millón de llaves diferentes?
4.1 Recuento elemental
Permutaciones
Definición 2 (Permutaciones)
Sea X un conjunto de n elementos distintos y r n. Se llama
r - permutación de X a cada secuencia de r elementos de X.
También se llaman permutaciones ó variaciones de n elementos
tomados de r en r.
Ejemplo 10
Si X = { a , b , c , d , e }, entonces algunas de las 4 -permutaciones de X son
acbe , cade , bedc , ...
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4.1 Recuento elemental
Permutaciones
Teorema 7
Sea X un conjunto de n elementos distintos y r n. Entonces el
número total de las r -permutaciones de X , denotado P ( n , r ), es
n · ( n 1 ) · ( n 2 ) · · · ( n r + 1 )
Demostración: Usando el principio del producto, un objeto de X se puede
elegir de n maneras y, habiendo elegido éste, un segundo objeto se puede
elegir de n 1 maneras y así hasta que los r objetos se hayan elegido.
Por lo tanto, P ( n , r ) = n · ( n 1 ) · ( n 2 ) · · · ( n r + 1 )
Si r = n , se llama una permutación de X y el número P ( n , n ) de
permutaciones de X es
P ( n , n ) = n · ( n 1 ) · · · 2 · 1 = n!
4.1 Recuento elemental
Permutaciones
Permutaciones y el Problema de Asignación
Consideramos un conjunto de n posiciones distintas colocadas en un orden
definido y se nos pide asignar r objetos distintos a estas posiciones de
manera que ninguna posición pueda recibir más de un objeto. Entonces, el
número de maneras de asignar estos r objetos es también P ( n , r ).
3 Usando el principio del producto, cualquier objeto arbitrario se puede
asignar a una de las posiciones de n maneras y, consecuentemente, el
siguiente se puede asignar de n 1 maneras y así sucesivamente.
El número de funciones inyectivas que se pueden definir de un conjunto A
de r elementos en un conjunto B de n elementos es P ( n , r ), si r n.
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4.1 Recuento elemental
Permutaciones
Ejemplo 11
Se quiere nombrar un presidente, un secretario y un tesorero de un comité
de seis personas A , B , C , D , E , F. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Solución: P ( 6 , 3 ) = 6 · 5 · 4 = 120
Ejercicio
Un comité de seis personas A , B , C , D , E , F debe escoger un presidente, un
secretario y un tesorero.
¿De cuántas maneras se puede hacer la elección si el presidente debe
ser A ó B?
¿De cuántas si E debe ocupar uno de los cargos?
¿De cuántas si A y F deben ocupar un cargo?
4.1 Recuento elemental
Combinaciones
Definición 3 (Combinaciones)
Si X es un conjunto de n elementos distintos y r n , se llama
r - combinación de X a cualquier subconjunto de r elementos de X.
Ejemplo 12
Sea X = { a , b , c , d , e }. Entonces, { b , a , d } es una 3-combinación de X.
El número de r -combinaciones de n elementos se denota C ( n , r ).
También se denota
n
r
y se denomina coeficiente binomial.
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4.1 Recuento elemental
Combinaciones
El número de combinaciones se puede calcular usando la fórmula para hallar
el número de permutaciones.
Teorema 8
Si X es un conjunto de n elementos distintos y r n , entonces el
número de subconjuntos de X de r elementos es
C ( n , r ) =
P ( n , r )
r!
Demostración: Basta tener en cuenta que C ( n , r ) · r! = P ( n , r )
Corolario 9
Para todo entero no negativo k n se verifica: C ( n , k ) = C ( n , n k )
Es decir, (^) ✓ n
k
n
n k
4.1 Recuento elemental
Combinaciones
Ejemplo 13
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 jugadores de un grupo de 10?
Solución: El número de maneras coincide con el de 5-combinaciones de un
conjunto de 10. Este número es
C ( 10 , 5 ) =
Ejercicio
¿Cuántas cadenas binarias de longitud n tienen exactamente r unos?
Solución: Hay tantas cadenas binarias de longitud n con r unos
exactamente como maneras de seleccionar las posiciones de los r unos
entre las n posiciones disponibles. Por lo tanto, hay C ( n , r ) cadenas
binarias de longitud n que tienen exactamente r unos.
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4.1 Recuento elemental
Combinaciones. El teorema del binomio
Teorema 10
Sean x e y variables y n un entero no negativo. Entonces,
( x + y )
n
X^ n
r = 0
n
r
x
n r y
r
n
0
x
n y
0
n
1
x
n 1 y
1
n
2
x
n 2 y
2
n
n 1
x
1 y
n 1
n
n
x
0 y
n
4.1 Recuento elemental
Combinaciones
Combinaciones y el Problema de Asignación
Sea X un conjunto de n posiciones distintas colocadas en un orden
definido y se nos pide asignar r objetos idénticos a estas posiciones de
manera que ninguna posición reciba más de un objeto. Entonces el número
de maneras de asignar estos r objetos es C ( n , r ).
Demostración:
3 Sea t el número total de maneras de asignar estos r objetos.
3 Si todos los objetos fuesen distintos, cada una de estas asignaciones
daría lugar a r! asignaciones.
3 En este caso, el número total de asignaciones habría sido t · r !.
3 Pero si los objetos fuesen distintos, P ( n , r ) es el número de
asignaciones.
3 Por lo tanto, t =
P ( n , r )
r!
= C ( n , r ).
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 37 / 100
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Combinaciones con repetición
Sea X es un conjunto de n elementos. Se llama combinación con
repetición de r elementos de X a cada colección de r elementos
de X.
Ejemplo 14
En el conjunto X = { a , b , c }, posibles elecciones de siete elementos son:
{ b , a , b , c , b , a , b }; { a , a , b , c , c , b , a } = { a , a , b , a , b , c , c } = { a , a , a , b , b , c , c }...
El número de combinaciones con repetición de r elementos, elegidos
en un conjunto de n elementos, se denota CR ( n , r )
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Teorema 14 (Combinaciones con repetición)
Si X es un conjunto de cardinalidad n , entonces el número de maneras
de elegir r elementos de X (permitiendo la repetición) es
CR ( n , r ) = C ( r + n 1 , r ) =
r + n 1
r
Demostración:
„ Cada elección se puede identificar con una cadena binaria de longitud
r + n 1 , con r unos exactamente.
„ Por tanto, el número pedido coincide con el número de estas cadenas,
que es
C ( r + n 1 , r ) =
r + n 1
r
r + n 1
n 1
= C ( r + n 1 , n 1 )
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4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Ejemplo 15
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar cinco billetes de una caja
registradora que contiene billetes de 5 , 10 , 20 , 50 , 100 , 200 y 500
euros?
(Se supone que el orden en que se seleccionan no se tiene en cuenta, que
los billetes de la misma cantidad no se pueden distinguir y que hay al menos
cinco billetes de cada tipo.)
Solución: n = 7 , r = 5 ,
CR ( 7 , 5 ) =
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Una versión equivalente del teorema anterior es:
Teorema 15
El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación
x 1 + x 2 + ... + xn = r
es
CR ( n , r ) = C ( r + n 1 , r ) =
r + n 1
r
Ejercicio
En una empresa se adquieren 20 equipos informáticos. ¿De cuántas formas
se pueden distribuir a sus cuatro oficinas?
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 41 / 100
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Ejemplo 16
Halla el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 27
Solución:
El conjunto de soluciones enteras no negativas de esta ecuación es
A = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 2 N
4 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 27 }
El número de soluciones enteras no negativas de esta ecuación es el
cardinal del conjunto A
Aplicando el teorema anterior,
| A | = C ( 27 + 4 1 , 4 1 ) =
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Ejemplo 17
Halla el número de soluciones enteras de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 27
tales que x 1 0 , x 2 > 4 , x 3 1 , x 4 > 0
Solución: El conjunto de todas las soluciones enteras no negativas es
A = {( x 1 , ..., x 4 ) 2 N
4 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 27 }
El conjunto de soluciones con las restricciones dadas será
A 1 ={( x 1 , ..., x 4 ) 2 A : x 1 0 , x 2 5 , x 3 1 , x 4 1 }
={( y 1 , ..., y 4 ) 2 N
4 : y 1 + ( 5 + y 2 ) + ( 1 + y 3 ) + ( 1 + y 4 ) = 27 , yj 0 , j : 1 , ..., 4 }
={( y 1 , ..., y 4 ) 2 N
4 : y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 27 7 ^ yj 0 , j : 1 , ..., 4 }
El número de estas soluciones es
| A 1 | = C ( 27 7 + 4 1 , 4 1 ) =
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 43 / 100
4.1 Recuento elemental
Combinaciones con repetición
Ejercicio
El número de soluciones enteras de la ecuación x 1 + x 2 + x 3 = 21 ,
con x 1 > 1 , x 2 > 4 , x 3 > 5 es:
i) 120 , ii) 45 , iii) 231.
Ejercicio
(^1) Una clase de 43 estudiantes vota para elegir la fecha de un examen.
Cada uno vota por uno de los cinco posibles días. Determina cuántos
resultados se pueden obtener en la votación.
(^2) Halla cuántos números naturales entre mil y cien mil tienen la
propiedad de que la suma de sus dígitos es 9 y son todos distintos de
cero.
(^3) Se dispone de una gran cantidad de bolas rojas, azules y verdes.
¿De cuántas formas se pueden seleccionar nueve bolas?
4.1 Recuento elemental
Permutaciones Generalizadas
Ejercicio
(^1) ¿En cuántas ordenaciones de la palabra PERIÓDICO aparecen la E y la D
juntas?
(^2) ¿En cuántas están todas las vocales juntas?
(^3) ¿En cuántas no hay dos letras consecutivas iguales?
Ejercicio
(^1) Determina el número de palabras distintas que se pueden formar con
todas las letras de PROGRAMACIÓN tales que no tienen dos letras
consecutivas iguales.
(^2) Determina el número de palabras distintas que se pueden formar con
todas las letras de IMPRIMIR tales que
1 tengan las tres I-es juntas.
(^2) no tengan las I-es adyacentes.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 49 / 100
4.1 Recuento elemental
Combinaciones Generalizadas
El Problema de Asignación y Combinaciones Generalizadas
Se considera una colección X de n objetos de k tipos diferentes (los
objetos de cada tipo son indistinguibles y un objeto de un tipo no es idéntico
a ningún objeto de otro tipo).
Si nj es el número de objetos del tipo j para cada j = 1... k ,
3 los n 1 objetos idénticos del tipo 1 se pueden asignar a n posiciones
(de tal forma que ninguna posición reciba más de un objeto) de
C ( n , n 1 ) maneras.
3 Después, los n 2 objetos del tipo 2 serán colocados de C ( n n 1 , n 2 )
maneras.
4.1 Recuento elemental
Combinaciones Generalizadas
3 Procedemos de esta manera hasta que todos los sitios están ocupados.
3 Por el principio del producto, el número de maneras en que los n
objetos se pueden situar es
C ( n , n 1 ) · C ( n n 1 , n 2 ) · C ( n n 1 n 2 , n 3 ) · · · C ( n n 1 n 2 · · · nk 1 , nk )
3 Y este número se denota C ( n ; n 1 , n 2 ,... , nk ).
El siguiente resultado conecta las permutaciones generalizadas y las
combinaciones.
Teorema 17
P ( n ; n 1 , n 2 ,... , nk ) = C ( n ; n 1 , n 2 ,... , nk )
donde n 1 + n 2 + ... + nk n.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 51 / 100
4.1 Recuento elemental
Combinaciones Generalizadas: El teorema multinomial
Teorema 18 (El teorema multinomial)
En cada término de la expansión de ( x 1 + x 2 + ... + xk ) n , la variable
xi ( i : 1 , 2 , ..., k ) aparece ni veces (donde n 1 + n 2 + ... + nk = n ) y el
coeficiente de este término es C ( n ; n 1 , n 2 , ..., nk ).
Es decir,
( x 1 + x 2 + ... + xk )
n
n 1 + n 2 +...+ nk = n X
n 1 + n 2 +...+ nk = 0
C ( n ; n 1 , n 2 , ..., nk ) x
n 1 1 x
n 2 2 ... x
nk k
4.1 Recuento elemental
El modelo de selección
El número de maneras de seleccionar r elementos de un conjunto de n
es:
(^1) P ( n , r ) si los elementos seleccionados son distintos y el orden en que
se seleccionan es importante.
(^2) C ( n , r ) si los elementos seleccionados son distintos y el orden en que
se seleccionan no es importante.
(^3) nr^ si los elementos seleccionados no son necesariamente distintos y el
orden en que se seleccionan es importante.
(^4) C ( r + n 1 , r ) si los elementos seleccionados no son necesariamente
distintos y el orden en que se seleccionan no es importante.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 53 / 100
4.1 Recuento elemental
El modelo de asignación
El número de maneras de asignar r objetos a n posiciones distintas es:
(^1) P ( n , r ) si los objetos son distintos y ninguna posición puede acoger a
más de un objeto.
(^2) C ( n , r ) si los objetos son idénticos y ninguna posición puede acoger a
más de un objeto.
(^3) nr^ si los objetos son distintos y no hay restricción sobre el número de
objetos asignados a cada posición.
(^4) C ( r + n 1 , r ) si los objetos son idénticos y no hay restricción sobre el
número de objetos asignados a cada posición.
4.1 Recuento elemental
Ejercicio
Se ha recibido un paquete de 100 discos compactos con cinco discos
defectuosos. ¿De cuántas maneras se puede elegir una muestra de cuatro
discos que contenga más discos defectuosos que no defectuosos?
Ejercicio
Se consideran los siguientes números: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4.
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar cuatro números de modo que su
producto sea positivo?
Ejercicio
De un total de 20 personas se deben elegir tres comisiones de 4, 5 y 6
personas respectívamente.
(^1) ¿De cuántas maneras es posible formar las comisiones?
(^2) Idem si cada persona solo puede pertenecer a una comisión.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 55 / 100
4.1 Recuento elemental
Ejercicio
Se ha producido un robo y la policía interroga a dos testigos sobre la
matrícula del vehículo utilizado para la huida. (Cada matrícula está formada
por cuatro dígitos y tres letras consonantes, excepto las letras Ñ y Q)
El primer testigo asegura que el primer dígito era un 3 ó un 8 y la
segunda letra era una P ó una F.
El segundo testigo asegura que el último dígito era con seguridad un 7
y la primera letra era una C ó una G.
(^1) ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
(^2) En investigaciones posteriores la policía descubre además que la
matrícula no acaba en 57 ni empieza por 82. ¿Cuántas comprobaciones
se tendrán que hacer en este caso?
4.2 Principio de Dirichlet
Ejercicio
Sea n un entero positivo. En el conjunto A = { 1 , 2 ,... , 2 n } se considera
un subconjunto S tal que | S | = n + 1. Demuestra que:
(^1) S contiene dos números que son coprimos.
(^2) S contiene dos números tales que uno divide al otro.
Solución:
1 I (^) Tomaremos como cajas los subconjuntos
{ 1 , 2 }, { 3 , 4 }, { 5 , 6 },... { 2 n 1 , 2 n }
I (^) Ya que solo hay n cajas y se eligen n + 1 números,
necesariamente tendremos que elegir dos de la misma caja;
I (^) esos dos números son consecutivos y, en consecuencia, son
coprimos.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 61 / 100
4.2 Principio de Dirichlet
Ejercicio
Demuestra que:
(^1) Si se eligen 5 puntos cualesquiera en el interior de un triángulo
equilátero de lado 1, entonces al menos dos de ellos distan entre sí
menos de
(^2) Si se eligen diez puntos cualesquiera en el interior de un triángulo
equilátero de lado 1, entonces al menos dos de ellos se encuentran a
una distancia no superior a
(^3) Si se eligen cinco puntos P 1 , P 2 , ..., P 5 en el interior de un cuadrado S
de lado 1, entonces al menos una de las distancias di , j = d ( Pi , Pj ) es
menor que
p 2
2
4.2 Principio de Dirichlet
Ejercicio
(^1) ¿Cuántas veces debemos tirar un dado para obtener el mismo resultado
al menos dos veces?
(^2) Idem al menos tres veces.
(^3) Idem al menos n veces, para n 4.
Ejercicio
Una red de ordenadores está formada por seis equipos. Cada ordenador
puede estar conectado a varios equipos o estar desconectado. Demuestra
que en la red hay al menos dos ordenadores que tienen el mismo número de
conexiones.
Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 13/14 Técnicas de Recuento 63 / 100
4.2 Principio de Dirichlet
Principio de Dirichlet generalizado
Principio de las cajas generalizado
Sean r y n enteros positivos tales que r = n · k + m , 0 < m < k.
Si se quieren repartir r objetos distintos en n cajas distintas, entonces
en alguna caja debemos poner más de k objetos.
Ejemplo 21
En un grupo de 25 personas hay tres que han nacido el mismo mes, ya que
4.2 Principio de Dirichlet
Principio de Dirichlet generalizado
Teorema 20 (Principio de Dirichlet generalizado)
Sean A y B conjuntos finitos tales que | A | > | B | · k y sea la función
f : A! B. Entonces la preimagen de algún b 2 B tiene más de k
elementos: | f
1 ( b )| > k
Ejemplo 22
En un grupo de 22 personas hay cuatro que han nacido el mismo día de la
semana.
Solución:
Se consideran los conjuntos A de las 22 personas y B de los 7 días
de la semana y se define la función f : A! B , asignando a cada
persona el día de la semana en que ha nacido.
Ya que 22 = 7 · 3 + 1 , habrá algún elemento de B que sea imagen de
más de 3 elementos de A.
Es decir, habrá algún día de la semana en el que han nacido 4 personas.
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Tema 4: Técnicas de Recuento
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Principio de Inclusión-Exclusión (I) : | A 1 [ · · · [ An |
Principio de Inclusión-Exclusión (II) : | A 1 \ · · · \ An |
Simetría en el Principio de Inclusión-Exclusión:
I (^) Permutaciones completas (Desarreglos).
I (^) Funciones Sobreyectivas.
I (^) Relaciones de equivalencia: Números de Stirling y Números de Bell.
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Teorema 21 (Principio de Inclusión-Exclusión (I) )
Sean A 1 , A 2 ,... , Ak conjuntos finitos no vacíos. Entonces
[^ k
j = 1
Aj
X^ k
j = 1
j + 1
X
1 i 1 <···< ij k
Ai 1 ^ · · ·^ ^ Aij
(^1 )
Para cada j 2 { 1 ,... , k }, el sumatorio
X
1 i 1 <···< ij k
recorre todas las
intersecciones de exactamente j conjuntos, es decir, tiene
k
j
sumandos.
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4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Antes de abordar la demostración general analizaremos ejemplos
pequeños, con 2 y 3 conjuntos.
Para k = 2 : | A 1 [ A 2 | = | A 1 | + | A 2 | | {z } j = 1
| A 1 \ A 2 |
| {z } j = 2
Al sumar el número de elementos de cada conjunto en ( j = 1 ), los
elementos de la intersección se ‘cuentan’ dos veces, por esa razón,
debemos descontarlos en ( j = 2 ).
Para k = 3 : | A 1 [ A 2 [ A 3 | =
| A 1 | + | A 2 | + | A 3 | | {z } j = 1
| A 1 \ A 2 | | A 1 \ A 3 | | A 2 \ A 3 |
| {z } j = 2
+| A 1 \ A 2 \ A 3 |
| {z } j = 3
Si un elemento está en la intersección de exactamente dos conjuntos,
el análisis sería similar al del apartado anterior. Si está en la
intersección de los 3, se contaría 3 veces en ( j = 1 ), se descontarían 3
veces en ( j = 2 ) y se volvería a contar una vez en ( j = 3 ).
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Ejemplo 25
Halla el número de soluciones enteras de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 = 11 tales que
0 x 1 3 , 0 x 2 4 , 0 x 3 6
Solución : (cont.) Aplicando el Principio de Inclusión-Exclusión,
| A 1 \ A 2 \ A 3 | = | A | | A 1 [ A 2 [ A 3 |
= | A |
| A 1 | + | A 2 | + | A 3 |
| A 1 \ A 2 | + | A 1 \ A 3 | + | A 2 \ A 3 |
| A 1 \ A 2 \ A 3 |
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4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Ejemplo 25
Halla el número de soluciones enteras de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 = 11 tales que 0 x 1 3 , 0 x 2 4 , 0 x 3 6
Solución : (cont.)
A = {( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 N
3 : x 1 + x 2 + x 3 = 11 }
A 1 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 1 > 3 } = {( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 1 4 } ) | A 1 | =
11 4 + 3 1
3 1
!
= 36
A 2 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 2 > 4 } = {( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 2 5 } ) | A 2 | =
11 5 + 3 1
3 1
!
A 3 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 3 > 6 } = {( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 3 7 } ) | A 3 | =
11 7 + 3 1
3 1
!
= 15
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Ejemplo 25
Halla el número de soluciones enteras de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 = 11 tales que 0 x 1 3 , 0 x 2 4 , 0 x 3 6
Solución : (cont.)
A 1 \ A 2 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 1 4 ^ x 2 5 } ) | A 1 \ A 2 | =
2 + 3 1
3 1
!
= 6
A 1 \ A 3 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 1 4 ^ x 3 7 } ) | A 1 \ A 3 | =
0 + 3 1
3 1
!
= 1
A 2 \ A 3 ={( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 A | x 2 5 ^ x 3 7 } =? ) A 1 \ A 2 \ A 3 =?
) | A 2 \ A 3 | = 0 = | A 1 \ A 2 \ A 3 |
Por lo tanto, | A 1 \ A 2 \ A 3 | = 78 ( 36 + 28 + 15 ) + ( 6 + 1 + 0 ) 0 = 6
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4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Ejercicio
(^1) Halla el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 29
tales que
0 x 1 6 0 x 2 8 0 x 3 9 0 x 4 7
(^2) Un examen que consta de 12 preguntas se califica con 200 puntos.
¿De cuántas maneras se pueden asignar los 200 puntos si cada pregunta
debe valer al menos 10 puntos pero no más de 25 y las puntuaciones
deben ser múltiplos de 5?
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Permutaciones Completas
Podemos usar el Principio de Inclusión-Exclusión para contar el número de
permutaciones de n objetos que no dejan a ninguno en su posición inicial.
Ejemplo 26
Dados los elementos { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, una permutación que no deja a ningún
elemento en su posición original es
Definición 4
Se llama permutación completa de n elementos a toda función biyectiva
f : { 1 , 2 , ..., n }! { 1 , 2 , ..., n } tal que f ( i ) 6 = i para todo i : 1 , ..., n
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4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Permutaciones Completas
Teorema 23
El número de permutaciones completas de un conjunto de n elementos es
D n = n!
n^1
n!
= n!
X^ n
k = 0
( 1 ) k
k!
Demostración:
3 Sea P el conjunto de todas las permutaciones de n elementos.
3 Se denota Pi el conjunto de las permutaciones que dejan fijo al
elemento i , para i : 1 , ..., n.
3 Entonces D n = | P 1 \ P 2 \ ... \ Pn |
4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Permutaciones Completas
Demostración: (cont.)
3 Usando el Principio de Inclusión-Exclusión,
D n = | P 1 \ P 2 \ ... \ Pn | = | P | | P 1 [ P 2 [ ... [ Pn |
= n!
⇣ (^) X n
i = 1
| Pi |
X
1 i < j n
| Pi \ Pj | + ... + ( 1 )
n + 1 | P 1 \ P 2 \ ... \ Pn |
3 Para calcular
P n i = 1 | Pi |^ tenemos en cuenta que
| P 1 | = ( n 1 )! = | P 2 | = | P 3 | = ... = | Pn |
Ya que hay C ( n , 1 ) =
n
1
maneras de elegir 1 elemento de un
conjunto de n , obtenemos
X^ n
i = 1
| Pi | =
n
1
( n 1 )!
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4.3 Principio de Inclusión-Exclusión
Permutaciones Completas
Demostración: (cont.)
3 Análogamente calculamos
X
1 i < j n
| Pi \ Pj |, teniendo en cuenta que
| P 1 \ P 2 | = ( n 2 )! = | P 1 \ P 3 | = ... = | Pn 1 \ Pn |
Ya que hay C ( n , 2 ) =
n
2
maneras de elegir 2 elementos de un
conjunto de n , tenemos
X
1 i < j n
| Pi \ Pj | =
n
2
( n 2 )!
