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Por favor, entiende estadística
José C. Chacón Facultad de Psicología, Universidad Complutense de Madrid
Existe una necesidad imperiosa de que se entiendan las decisiones estadísticas de for- ma similar y por razones parecidas a como hoy por hoy, en ciencia, necesitamos en- tender la información en inglés. El objetivo de este texto es mostrar todo el proceso de un contraste de hipótesis a tra- vés de un ejemplo simple. Si se consigue un pleno entendimiento, podremos aludir a él durante las clases para ilustrar cualquier elemento estadístico y facilitar su entendi- miento.
A partir de resultados (estadísticos) se crean conceptos y teorías, y se toman decisio- nes. Con el adecuado entendimiento, esa información es de indudable utilidad. No obstante, sin ese entendimiento, hay problemas. En el mejor de los casos, esa información no se utilizará. Pero en no pocas ocasiones se construyen ideas, procedimientos y decisiones sobre información esencialmente erró- nea. Y es errónea porque para que una idea sobre algo se transforme en conocimiento (esto es, verdadera capacidad de hacer) debe incluir cabalmente su origen, sus componen- tes (con sus puntos fuertes y débiles) y, sobre todo, los límites donde esos resultados tienen sentido. Intentaremos tratar paso a paso todo lo enumerado.
1. El ejemplo
El ejemplo es deliberadamente simple; por eso consta de los siguientes elementos:
Una moneda, porque a todo el mundo le resulta familiar y cómodo. Más técnica- mente: todo el mundo posee una adecuada representación probabilística de una moneda, y hay que aprovecharlo. Un (supuesto) adivino, porque el objetivo es fácil de entender y formalizar, y porque libera de conceptos técnicos de cualquier tipo, dando todo el espacio a la estadística. Una tarea, determinar si el adivino es tal, que posee todos los componentes inter- vinientes en un proceso de toma de decisión estadística. Si se entienden aquí pueden extrapolarse con relativa facilidad a cualquier otra situación.
1.1. La cuestión a resolver
¿Cómo determinar si alguien puede realmente adivinar el resultado al lanzar una moneda?
1.2. La situación de partida
El supuesto adivino dice que puede adivinar qué va a salir en una moneda (cara o cruz). Quede claro que NO se afirma en ningún momento un poder de adivinación perfecto (esto es, con 100 % de aciertos). Tan sólo se habla de un cierto poder adivina- torio.
1.3. El experimento
Es fácil: se somete al adivino a una prueba consistente en lanzar 10 veces una mo- neda y adivinar qué va a salir. Más formalmente, estaríamos hablando de realizar 10 ensayos donde, para cada uno de ellos,
previamente, el adivino dice cuál será el resultado; se lanza la moneda, se registra el resultado como acierto o error.
Realizado el experimento, obtiene 6 aciertos. ¿Qué decidimos?
1.4. Lo claro y lo difuso
Tenemos claro:
que si se aciertan las 10 veces, parece que hay que considerar la cuestión; y que si no se tiene capacidad de adivinación se acertarán alrededor de 5.
Lo que tenemos difuso:
¿Cuánto vale ese alrededor de 5?
1.5. La matemática puede ayudar
Resulta que la matemática (la probabilidad, en particular) tiene un modelo que se ajusta perfectamente a esta situación. Así que hacemos lo habitual en estos casos:
Localizamos el modelo: distribución de probabilidad binomial; lo adaptamos a nuestros propósitos: B(n, p) = B(10, 0,5), y le preguntamos cosas.
El modelo binomial sirve para aquellos casos en que se realizan n ensayos dife- rentes con dos características: (1) la probabilidad de “éxito”, p, en los n ensayos es la misma, y (2) son independientes. Al adaptarlo hemos indicado un valor n = 10, y sabemos que los ensayos son inde- pendientes (las monedas no tienen memoria). Respecto a la probabilidad del “éxito”, hemos indicado que p = ,5, lo que es cierto tanto si definimo “éxito” como:
obtener cara, obtener cruz, o acertar (elijas lo que elijas, hay una probabilidad de ,5 de que salga lo elegido).
Y algo fundamental : de los dos resultados posibles (sí/no se puede adivinar), he- mos elegido modelizar la situación donde no se puede acertar; por eso, la probabilidad indicada es de ,5. Modelizar la otra opción es difícil; para empezar, ¿en qué valor esta- bleceríamos la probabilidad de acierto, p?^1 :
(^1) Esto llevará a una situación un tanto extraña de forma sistemática de aquí en adelante: para ver si ha ocurrido algo (si existe algún efecto, relación o diferencia), la estadística modelizará la situación en que no ha ocurrido nada (donde no existe efecto, relación o diferencia) y la comparará con los resultados obtenidos.
1.6. El criterio de decisión
Lo curioso de la situación es que poner el límite donde a uno le da la gana es perfectamente adecuado, y, de hecho, es lo único que se puede hacer. Y si no, mira la distribución de Aciertos de la figura anterior y a ver qué se te ocurre. No hay mucho donde elegir:
Somos superestrictos: 10 aciertos o nada. Eso sólo pasa 98 veces de cada 100. (aprox. una vez de cada 1000), o sea, casi imposible por azar si se hace a la prime- ra. Parece una buena prueba, pero sólo para adivinos perfectos (que proclamen un 100 % de aciertos). Para el resto, como es nuestro caso, no sirve. Somos estrictos: al menos, 9 aciertos. Esto es, 9 ó 10 aciertos (porque si aceptamos 9 aciertos, cómo no vamos a aceptar 10 como prueba). Sumo 0.0098 + 0.00098 y obtenemos ua probabilidad de 0.01078. Es una prueba exigente; poco más del 1 % de las veces ocurre por azar. Me convence (pero podría ser demasiado exigente, si la capacidad de adivinación fuese baja). Somos permisivos, por eso pedimos un mínimo de ocho aciertos. La probabilidad de acertar 8 (ó 9 ó 10, por lo mismo de antes) suma 0.044 + 0.0098 + 0. = 0.05478. Qué menos que exigir que se muestre algo con una probabilidad de ocurrir baja: alrededor de un 5 % de las ocasiones. Y menos garantías no es muy razonable, dado el caso a tratar (esto es: a afirmacio- nes extraordinarias, pruebas extraordinarias). Todo lo anterior (menos los adjetivos) es lo que ofrece la probabilidad. Pero decidir si somos superestrictos, estrictos, o permisivos es asunto nuestro. Y es normal tener dudas, sobre todo si el beneficio puede ser grande (piénsese en una terapia frente a un problema no tratable hasta ahora):
si somos demasiado estrictos, el efecto puede existir pero no lo detectaríamos, pero si somos demasiado laxos, podría no existir el efecto, y equivocarnos al detectar simplemente un efecto del azar.
1.7. ¿Cómo se expresa entonces la decisión?
Pues sencillamente, contando lo ocurrido. El investigador debe indicar el límite que está dispuesto a aceptar antes de comen- zar todo el proceso, hacer la prueba y mostrar cómo (en nuestro caso) esos 6 aciertos están muy por debajo del límite establecido. Una forma de expresarlo sería:
Se exigió una cantidad de aciertos con un nivel mínimo de probabilidad por azar de aproximadamente 0.01 (9 aciertos o más). El resultado obteni- do mostró sólo 6 aciertos, y sabemos que un número de aciertos igual –o superior– se da un 38.478 % de las ocasiones por puro azar; esto es, casi 4 de cada 10 veces. Luego no parece haber evidencias de tal capacidad adivi- natoria. En otros términos: En las condiciones indicadas, un resultado de 6 aciertos en 10 ensayos es plenamente compatible con los resultados esperables por azar.
2. El ejemplo 2.
2.1. El adivino insiste
Dice que sí y que sí. Que no acierta mucho, pero que algo acierta. Y que lo repita- mos. Por alguna razón no fácilmente explicable, sabemos que si aumentamos el número de ensayos (repeticiones), es más fácil detectar el fenómeno en caso de existir, o la ilu- sión, en caso de no existir. La probabilidad nos muestra visual y numéricamente un procedimiento con 20 lanzamientos de moneda y con aciertos al azar, esto es, B(20, ,5):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Probabilidad de acertar en 20 tiradas
Aciertos
Probabilidad
9.5e−071.9e−050.000180.0011 0.
0.0046 0.0011 0.000181.9e−059.5e−
Para hacer las cosas bien, vamos a empezar poniendo el límite. Es arbitrario, así que ¿por qué no dejarlo en el 1 % anterior? Bien, ahora hay que buscar en este nuevo modelo dónde está (a qué número de aciertos corresponde) ese porcentaje de aciertos por azar. Si vamos sumando de dere- cha a izquierda, acumulando los valores, obtendremos lo que aparece en la columna de probabilidades acumuladas, a la derecha:
Aciertos Probabilidad Ac. Acum Prob. Acum. 1 17 0.001087 17 o más 0. 2 16 0.004621 16 o más 0. 3 15 0.014786 15 o más 0. 4 14 0.036964 14 o más 0. 5 13 0.073929 13 o más 0. 6 12 0.120134 12 o más 0.
Cuadro 1: El menú que ofrece B(20, ,5). Elija Vd.
Se observa que no podemos mantener el límite del 1 %. Si exigimos al menos 16 aciertos (esto es, 16 o más), esto ocurre por azar el 0.59 % de las ocasiones. Si exigimos 15 (o más), ocurre el 2 % de las ocasiones. Como podemos elegir, establecemos el límite en el 2 %, esto es, exigimos 15 o más aciertos para tener garantías (iniciales) de capacidad adivinatoria. Así que repetimos el experimento, esta vez con 20 lanzamientos. El adivino obtiene 12 aciertos. ¿Conclusión? Ahora ya, por fin, podemos acabar:
A: A mí sí. I: En tanto Los límites son arbitrarios, vamos a hacer la prueba definitiva.
2.3. La prueba definitiva
Se acabaron las facilidades: 300 lanzamientos de moneda. La distribución B(300, 0,5) se muestra a continuación.
0 12 26 40 54 68 82 96 112 130 148 166 184 202 220 238 256 274 292
Probabilidad de acertar en 300 tiradas
Aciertos
Probabilidad
Ampliamos la zona de interés:
Aciertos Probabilidad Ac. Acum Prob. Acum. 1 180 0.000112 180 o más, 0. 2 179 0.000166 179 o más, 0. 3 178 0.000244 178 o más, 0. 4 177 0.000353 177 o más, 0. 5 176 0.000504 176 o más, 0. 6 175 0.000710 175 o más, 0. 7 174 0.000986 174 o más, 0. 8 173 0.001351 173 o más, 0. 9 172 0.001825 172 o más, 0. 10 171 0.002434 171 o más, 0. 11 170 0.003201 170 o más, 0.
Cuadro 3: Opciones ofrecidas por B(300, .5).
Y, tras 300 tediosas repeticiones, obtiene 180 aciertos. ¿Conclusión? Pues resulta que la probabilidad de obtener 180 aciertos (o más), es de 0.000317, o sea, unas tres veces por cada 10000. No parece azar (sobre todo viendo los resultados anteriores). No hace falta mirar los límites para el 1 % (en concreto, 1.2 % para 170 aciertos o más), o para el 5 % (que no aparece en la tabla). El resultado, a partir de los datos, parece claro: puede adivinar.
3. ¿Tiene esto algo que ver con la realidad psicológica?
El contenido, nada. La estructura del problema, todo.
Imagina una dolencia que, en un período de tiempo, remite para el 50 % de los casos. Se plantea una terapia nueva, que no llega a curar todos los casos, pero dice que puede aumentar la tasa de recuperación. En tal caso estaríamos ante un estudio donde el número de ensayos se correspon- dería con el número de participantes. Si el efecto es pequeño (un 60 % de recuperación, esto es, un 10 % más del esperado), éste sólo será detectable en un estudio con muchos participantes. En otras palabras: la estructura estadística del problema coincide al 100 % con la estructura de otros problemas que se dan en psicología. Y en términos generales, la es- tructura de su resolución coincide con el núcleo de la gran mayoría de técnicas básicas vistas en estadística inferencial. El único interés del adivino es su sencillez y la facilidad de recordarlo.
4. Componentes del proceso
4.1. Los ingredientes básicos
Otra forma de verlo sería como la mezcla de azar y efecto sistemático que suele presentar la naturaleza:
El azar, las variaciones, son omnipresentes; todas las mediciones fluctúan: entre miembros de una población, en mediciones en la misma persona, en los diferen- tes efectos que produce un mismo factor,... Y el objetivo último del investigador es siempre el mismo: detectar variaciones sistemáticas entre un montón de variaciones aleatorias.
La investigación y el análisis estadístico buscan separar esa mezcla orden–azar en términos de la variabilidad de las mediciones obtenidas en un estudio, de forma que:
Var. Total = Var. Sistematica + Var. Error
Donde pone error debería poner azar pero, desde el punto de vista del investigador, es razonable que todo lo que no sea un efecto sistemático de interés no será más que error: ruido que interfiere con su detección.
