PROBABILITAT
Tema 1: Experiments aleatoris i probabilitat
Carmen Iñiguez i Carmen Armero
Departament d’Estadística i Investigació Operativa. Facultat de Matemàtiques
Grau en Matemàtiques de la Universitat de València. Curs 2019-20
Photo: Victor Roda
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Probabilidad tema 1 tercero de carrera matematicas uv
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Asignatura Probabilidad Matematica y más Apuntes en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
PROBABILITAT
Tema 1: Experiments aleatoris i probabilitat
Carmen Iñiguez i Carmen Armero
Departament d’Estadística i Investigació Operativa. Facultat de Matemàtiques
Grau en Matemàtiques de la Universitat de València. Curs 2019-
Photo: Victor Roda
DETERMINISME versus ALEATORIETAT, I 1
I (^) Pensem en tres proves, totes relacionades amb el llançament d’una moneda, però de naturalesa ben diferent. I (^) Es llança cap amunt una moneda equilibrada a una velocitat de 6m/s
a) La moneda es llança en condicions de laboratori (no vent, no fregament, moviment rectilini vertical) i volem saber quants metres puja abans de caure. b) El meu fill llança la moneda a la porta de casa i volem saber quant puja abans de caure. c) Es llança la moneda a l’aire. Independentment de les condicions del llançament voldriem saber si en arribar al sòl cau del costat de la cara o de la creu.
DETERMINISME versus ALEATORIETAT, III 3
I (^) Matemàtiques exactes (Àlgebra, Anàlisi, Geometria, etc) i Matemàtiques no exactes. I (^) Probabilitat: I (^) Matemàtiques de la incertesa. Defineix i construeix models per a caracteritzar el comportament de fenomens aleatoris i quantificar la seua incertesa. I (^) Eina fonamental per a totes les disciplines científiques que continguin elements amb incertesa. I (^) És el llenguatge de l’Estadistica. Els models probabilístics són els elements bàsics de l’aprenentatge estadístic.
- ÍNDEX
ESDEVENIMENT ALEATORI 6
I (^) Esdeveniment aleatori: és qualsevol subconjunt A de l’espai mostral (A ⊂ Ω). Direm que l’esdeveniment aleatori A ha ocorregut quan el resultat experimental ω pertany a A (ω ∈ A). I (^) Totes les operacions de l’àlgebra d’esdeveniments són aplicables als esdeveniments aleatoris. El resultat de cada operació donarà lloc a un nou succés amb un significat concret.
Exemple 2: Esdeveniments aleatoris
- Resultat: ha eixit sol una cara, A = {C+, +C}.
- Resultat: la persona triada és calba, A = { 0 }.
- Resultat: menys de 3 albiraments, A = { 0 , 1 , 2 }.
- Resultat: bola amb el nombre 00079, A = { 00079 }
- Resultat: el punt triat és menor que el mitjà de l’interval, A = {ω, 0 ≤ ω < 0. 5 }.
- Resultat: el tret s’ha quedat a 10 cm de la diana, A = {ω ∈ R^2 , ‖ ω ‖< 0. 1 }.
OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS,I 7
Totes les operacions de l’àlgebra d’esdeveniments són aplicables als esdeveniments aleatoris. El resultat de cada operació donarà lloc a un nou succés amb un significat concret.
I (^) Intersecció dels esdeveniments A i B,
A ∩ B, ocorre quan el resultat pertany tant a A com a B.
I (^) Unió dels esdeveniments A i B, A ∪ B,
ocorre quan el resultat pertany a A o a B o a tots dos.
I (^) Diferència entre els esdeveniments A i
B, A − B, ocurre quan el resultat pertany a A però no a B.
I (^) Complement de l’esdeveniment A, Ac
(A¯), ocorre quan el resultat no pertany a A, A − B = A ∩ Bc
I (^) Unió exclusiva o diferència simètrica dels esdeveniments A i B, A ⊕ B, ocorre quan el resultat pertany a A o a B però no a tots dos. A ⊕ B = A ∪ B − (A ∩ B).
A B
A ∩ B
A B
A ∪ B
A B
B − A
A B
A ⊕ B
RECORDEM ALGUNES PROPIETATS DE LES OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS 9
- Idempotència de la unió i de la intersecció. A ∪ A = A A ∩ A = A
- Propietat conmutativa de la unió i de la intersecció.
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
- Propietat associativa de la unió i de la intersecció.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
- Propietat distributiva de la unió i de la intersecció.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Lleis de Morgan (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc
EXEMPLE AMD DIAGRAMES DE VENN 10
Exemple 3: Diagrames de Venn
Descriu en termes dels esdeveniments E, F , i G els esdeveniments representats en el diagrama de Venn adjunt mitjançant els números romans del I al VII.
σ-ÀLGEBRA D’ESDEVENIMENTS 12
I (^) L’estabilitat de les operacions algebraiques pròpia d’un espai mesurable propícia la introducció d’algunes definicions addicionals referides a col·leccions de successos. I (^) Una col.lecció finita de successos {Ai }n i= 1 és una partició d’Ω^ si ∪ni= 1 Ai = Ω; ∩ni= 1 Ai = ∅.
I (^) Una col.lecció de successos {Ai }i≥ 1 és monòtona creixent si
Ai ⊂ Ai+ 1 , ∀i ≥ 1.
I (^) Una col.lecció de successos {Ai }i≥ 1 és monòtona decreixent si
Ai+ 1 ⊂ Ai , ∀i ≥ 1.
I (^) L’ esdeveniment A es l’ esdeveniment límit d’una col.lecció monòtona creixent, {Ai }i≥ 1 , si
i= 1 Ai^ =^ A. Notació:^ Ai^ ↑^ A. I (^) L’ esdeveniment A es l’ esdeveniment límit d’una col.lecció monòtona decreixent {Ai }i≥ 1 si
i= 1 Ai^ =^ A. Notació:^ Ai^ ↓^ A.
UNA MIQUETA D’HISTÒRIA 13
I (^) En els seus orígens, el concepte de probabilitat apareix lligat als jocs d’atzar. I (^) Allà pel 6000 A. de C., sumeris i sirians ja usaven astràgals o tabes a manera de daus. I (^) L’ història escrita de la probabilitat comença en el segle XVII, a partir de la correspondència entre els matemàtics francesos B. Pascal i P. Fermat suscitada pels dubtes del cavaller De Méré (jugador empedreït). I (^) Alguns científics probabilístics, dates i contribucions destacables: I (^) J. Bernouilli (1713): distribució binomial. I (^) A. De Moivre (1738): teorema central del límite. I (^) P. S. Laplace (1812): definició clássica de la probabilidad. I (^) A. N. Kolmogorov (1933) (a la foto): teoría axiomàtica de la probabilitat.
DEFINICIÓ AXIMÀTICA DE LA PROBABILITAT 15
I (^) Kolmogorov proposa en 1933 una definició matemàtica de la probabilitat associada a successos aleatoris.
Definició axiomàtica de la probabilitat
Siga (Ω, A) un espai mesurable. Una mesura de probabilitat és una funció
P : A → R
- P(Ω) ≥ 0
- P(Ω) = 1
- Aditivitat numerable. Si {Ai }∞ i= 1 és una una successió de successos disjunts d’ A, aleshores:
P(
⋃^ ∞
i= 1
Ai ) =
∑^ ∞
i= 1
P(Ai )
.
I (^) A la terna (Ω, A, P) se’n diu espai de probabilitat (associat a un cert experiment aleatori)
PROPIETATS DE LA PROBABILITAT, I 16
1. P(∅) = 0.
- Aditivitat finita. {Ai }ni= 1 col.lecció d’esdeveniments incompatibles ⇒ P(
⋃n i= 1 Ai^ ) =^
∑n i= 1 P(Ai^ )
- Probabilitat del complementari. A ∈ A ⇒ P(Ac^ ) = 1 − P(A).
- Monotonia. A, B ∈ A i A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B). A = B ⇒ P(A) = P(B)
- A ∈ A ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Llei d’inclusió i exclusió. {Ai }ni= 1 , Ai ∈ A ⇒
P(
⋃^ n
i= 1
Ai ) =
∑^ n
i= 1
P(Ai ) −
i<j
P(Ai ∩ Aj ) +... + (− 1 )n+^1 P(A 1 ∩... ∩ An)
- Continuitat de la probabilitat “des de baix". {Ai , Ai ∈ A}i≥ 1 col.lecció monòtona creixent amb límit A, Ai ↑ A, ⇒ P(A) = lim i→∞
P(Ai )
Anàlogament es defineix la continuïtat “des de dalt", a partir d’una successió monòtona decreixent amb límit A,An ↓ A.
- Subaditivitat o desigualtat de Boole. {Ai , Ai ∈ A}i≥ 1 ⇒
P(
⋃^ ∞
i= 1
Ai ) ≤
∑^ ∞
i= 1
P(Ai )
PROPIETATS DE LA PROBABILITAT, III 18
Exemple 5: Els amants
Un trosset de la poesia Els amants del Llibre de meravelles del nostre gran poeta VICENT ANDRÉS ESTELLÈS:
El nostre amor és un amor brusc i salvatge i tenim l’enyorança amarga de la terra, d’anar a rebolcons entre besos i arraps
Triem un paraula a l’atzar que tinga tres o més lletres i definim l’esdeveniment {~} : la paraula seleccionada té la lletra ~. Calcula les següents probabilitats: P({a}), P({m}), P({a}c^ ), P({a} ∪ {m}), P({a} ∩ {m}), P({a}c^ ∩ {m}), P({a}c^ ∩ {m}c^ ), P(({a}c^ ∩ {m}) ∪ {r }), P(({a}c^ ∪ {m}) ∩ {r }), P(({a}c^ ∪ {m})c^ ∩ {r }).
PROPIETATS DE LA PROBABILITAT, IV 19
Exercici 1. Siga (Ω, A, P) un espai probabilístic i A, B ∈ A. Demostra que P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1
Exercici 2. Siga (Ω, A, P) un espai probabilístic i {Ai , Ai ∈ A}ni= 1. Utilitza la desigualtat de Boole i les lleis de Morgan per a demostrar que
P(
⋂^ n
i= 1
Ai ) ≥
∑^ n
i= 1
P(Ai ) − (n − 1 ).
Exercici 3. Siga (Ω, A, P) un espai probabilístic i {Ai , Ai ∈ A}ni= 1 tals que P(Ai ) = 1. Demostra que tambè P(∩ni= 1 Ai ) = 1.