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FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Primer Examen Final Colegiado Soluciones Semestre: 2003-1 Duración: 2.5 h 1.- Se eligen cuatro estudiantes de entre 12 para asistir a un congreso pero entre los doce hay un matrimonio. Determinar la probabilidad de que el matrimonio asista al congreso. 15 puntos Resolución n(s)=| 2] = 405 4 ata) 19] [1 2]= 45 2 2 Pía) - 244) - 45 - 0091 n(S) 495 2 La probabilidad de controlar la contaminación por vehículos de combustión interna es 0,75 y por la industria 0.60 (principales fuentes). Si sólo se controla una fuente de contaminación, la probabilidad de controlar la contaminación es de 0.8. Considerando independencia entre la contaminación por vehiculos y la contaminación por industria: a) Determinar la probabilidad de controlar la contaminación. b) Si la contaminación no se controla, determinar la probabilidad de que sea a causa exclusivamente de un mal control vehicular. 20 puntos Resolución a) Sean los eventos Y a Controlar la contaminación por vehículos de combustión T a Controlar la contaminación por la industria C a Controlar la contaminación Del enunciado P(V) = 0.75, P(1) = 06 y por independencia P(VANI) = (0.75)(0.6) = 0.45 P(Y NT) = (0.75)(0.4) = 0.3 P(PN 1) = (0.25)(0.6) = 0.15 P(PNT7) = (0.25)(0.4) = 0.1 Utilizando el teorema de la probabilidad total P(0)= PON) + elcnlrnT) + +P(cn ron): rlentr n7) - =PPODP(CI NI) + elo Tele] nT) + «PÍPODP(C| 0 rPlenielc | vr) = (0.45)(1) + (0,3)(0.8) + (0.15)(0.8) + (0.1)(0) = 0.81 5 »prn1 3) 2ENdetc yn) P(c) - [0.15)(0.2) 1 - 0.81 = 0.15789 3 Determinar la probabilidad de que ninguna de las tres lámparas de un semáforo tenga que cambiarse durante las primeras 1200 horas de operación, si el tiempo de vida X, en miles de horas, de cada lámpara es una variable aleatoria con función de densidad 610,25 - (x - 15), l [ y] 0 , enotro caso 15 puntos Resolución Para que una lámpara no tenga que cambiarse, significa que dura más de 1200 horas P(X> 12) = f 60.25 — (x - 1.5)2] dx =[15x - 2(x - 159] = 0.896 Sea Y la v.a. que representa el número de lámparas del semáforo que duran más de 1200 horas, entonces P(Y = 3) = (0.896)? = 0.7193 PROBABILIDAD 2 4- Dada la función de densidad conjunta klx2+y2) sidsxs1,0 , 0 en cualquier otro caso a) Determinar la probabilidad de que X' sea mayor a z si se sabe que Y toma el valor de > b) Determinar la variancia de W = 02.X + 0.4 Y 20 puntos Resolución a) Se pide px>l | Y - l 4 2 Para determinarlo, primero se obtiene el valor de K 1= f Ja ax ay o do De donde = 5 Calculando la marginal de Y 13. 2 13,2 = 2 + dx=24+2 Si») [ G le? y Ada + y La condicional de X dado y es: Lur(%,30) CS o es el sana 190)" E) 1) 21.2 43)_.B2.2,3 ay (avr) 7 5 b) Var(W) = Var(0.2X + 0.4 Y) = 0.04 Var(X) + 0.16 Var(F) + 2(0.08)Cov(X, Y) By= Pasinas = Pz + 3») dy - Var(Y) = E(Y?) - 13 73 960 De forma análoga (Por simetría) ne veta) = E Por otro lado sf PRA ax ay o do 2 23 8 Por lo que Cov(X, Y) = Finalmente var(w) = 00 B| +016| 2] + 2(008)/ 960 960 54 = £L . 0012708 4800 
