Probabilidad I.Parte I, Apuntes de Probabilidad

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VERSION 17 de octubre de 2008

A. Conceptos b´asicos en probabilidad

4 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

1.2. Resultados y sucesos

Usamos la letra E para nombrar un cierto experimento cuyo resultado es incierto. La primera cosa que hacemos es una lista de todos los posibles resultados de E; el conjunto de esos resultados se llama el espacio muestral de E y se denota habitualmente como Ω. La letra griega ω designa un elemento cualquiera de Ω, y llamamos a cada tal elemento ω de Ω un suceso elemental. Si por ejemplo el experimento E consiste en tirar un dado equilibrado una vez, entonces Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Hay muchas cosas que podemos preguntar acerca del resultado que tenga este experimento (preguntas como ‘¿fue el resultado un n´umero primo?’ ), y todas ellas pueden reformularse en t´erminos de subconjuntos de Ω (la pregunta anterior se reduce a ‘¿est´a el resultado en el subconjunto { 2 , 3 , 5 } de Ω?’ ). La segunda cosa que hacemos es una lista de todos los sucesos que puedan interesarnos; esa lista toma la forma de una colecci´on de subconjuntos de Ω, en la que cada subconjunto A representa al suceso ‘el resultado de E est´a en A’. De modo que nos preguntamos cu´ales de estos sucesos pueden interesarnos, y hacemos una lista de los correspondientes subconjuntos de Ω. Esta relaci´on entre sucesos y subconjuntos es muy natural, sobre todo porque dos o m´as sucesos se combinan entre s´ı en la misma forma que los correspondientes subconjuntos; por ejemplo, si A y B son subconjuntos de Ω, entonces

el subconjunto A ∪ B corresponde al suceso ‘ocurri´o A o B’, el subconjunto A ∩ B corresponde al suceso ‘ocurrieron ambos: A y B’, el subconjunto Ω \ A corresponde^1 al suceso ‘A no ocurre’,

donde decimos que un subconjunto C de Ω ocurre si el resultado de E est´a en C. De ese modo, cada combinaci´on o enunciado que se haga con subconjuntos de Ω tiene su traducci´on en t´erminos de sucesos; por ejemplo, la f´ormula

Ω \ (A ∩ B) = (Ω \ A) ∪ (Ω \ B)

se puede leer como: ‘si A y B no ocurren a la vez, es porque, o bien A no ocurre, o bien B no ocurre’. Del mismo modo, si A 1 , A 2 ,... son sucesos, entonces el conjunto

i=1 A^ i^ y el conjunto^

i=1 A^ i^ representan respectivamente los sucesos ‘A (^) i ocurre, para alg´un i ’ y ‘A (^) i ocurre, para cada i ’. De forma que escribimos una colecci´on F = {A (^) i : i ∈ I} de subconjuntos de Ω que nos interesan y llamamos suceso a cada A ∈ F. En casos simples, como el mencionado de tirar el dado, solemos tomar como F el conjunto de todos los subconjuntos de Ω (el llamado conjunto de partes de Ω), pero por razones que se entender´an m´as tarde, hay muchos casos en los que se usa como F una colecci´on mucho m´as peque˜na que el conjunto total de partes.

(^1) Para cada subconjunto A de Ω, el complementario de A es el conjunto de elementos de Ω que no est´an en A. Llamamos a ese conjunto, o bien Ω \ A, o bien Ac^ , seg´un el contexto.

1.2. Resultados y sucesos 5

En todo caso, exigimos que esa selecci´on tenga una cierta consistencia, en el sentido siguiente: si A, B, C, · · · ∈ F, cabe esperar que estemos interesados tambi´en en los sucesos ‘A no ocurre’ y ‘de los sucesos A, B, C,... , ocurre al menos uno’. Con esa idea, exigimos que F cumpla la definici´on siguiente. Una colecci´on F de subconjuntos del espacio muestral Ω se llama un espacio de sucesos si

(1) F es no vac´ıo,

(2) si A ∈ F, entonces Ω \ A ∈ F,

(3) si A 1 , A 2 , · · · ∈ F, entonces

i=1 A^ i^ ∈^ F.

Resumimos lo anterior diciendo que un espacio de sucesos F es cerrado por las operaciones de tomar complementarios y uniones numerables. Una consecuencia elemental de los axiomas (1)–(3) es que en un espacio de sucesos F tienen que estar el conjunto vac´ıo ∅ y el total Ω. Esto es cierto porque alg´un conjunto A debe estar en F (por (1)), y en consecuencia tambi´en su complementario Ω \ A (por (2)), y por fin la uni´on de ambos, Ω = A ∪ (Ω \ A), junto con el complementario Ω \ Ω = ∅ de ´esta ´ultima. He aqu´ı algunos ejemplos de pares (Ω, F) de espacios muestrales y espacios de sucesos.

Ejemplo 4 Ω es cualquier conjunto y F es el conjunto de partes de Ω.!

Ejemplo 5 Ω es cualquier conjunto y F = {∅, A, Ω \ A, Ω}, donde A es un cierto subconjunto de Ω.!

Ejemplo 6 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y F es la siguiente colecci´on de subconjuntos de Ω: ∅, { 1 , 2 }, { 3 , 4 }, { 5 , 6 }, { 1 , 2 , 3 , 4 }, { 3 , 4 , 5 , 6 }, { 5 , 6 , 1 , 2 }, Ω. No es probable que este espacio de sucesos aparezca de manera natural en la pr´actica.! Ejercicios En estos ejercicios, Ω es un conjunto y F es un espacio de sucesos formado por subconjuntos de Ω.

1. Si A, B ∈ F, probar que A ∩ B ∈ F.
2. La diferencia A \ B de dos subconjuntos A y B de Ω se define como el conjunto A ∩ (Ω \ B) de los puntos de Ω que est´an en A pero no en B. Si A, B ∈ F, probar que A \ B ∈ F.
3. La diferencia sim´etrica A#B de dos subconjuntos A y B de Ω se define como el conjunto de los puntos de Ω que est´an en A o en B pero no en ambos. Si A, B ∈ F, probar que A#B ∈ F.

1.4. Espacios de probabilidad 7

Ejemplo 10 Sea Ω un conjunto y A un subconjunto propio de Ω (es decir, A &= Ω, ∅). Si F es el espacio de sucesos {∅, A, Ω \ A, Ω} , entoces cada medida de probabilidad P sobre (Ω, F) tiene la forma P(∅) = 0, P(A) = p, P(Ω \ A) = 1 − p, P(Ω) = 1, para alg´un p que cumpla 0 ≤ p ≤ 1.!

Ejemplo 11 Sea Ω = {ω 1 , ω 2 ,... , ω (^) N } un conjunto finito de exactamente N puntos y sea F el conjunto de partes de Ω. Es f´acil comprobar que es una medida de probabilidad sobre (Ω, F) la funci´on P definida por^3

P(A) =

N

|A|. !

Ejercicios

1. Sean p 1 , p 2 ,... , p (^) N n´umeros no negativos tales que p 1 + p 2 + · · · + pN = 1, y sea Ω = {ω 1 , ω 2 ,... , ω (^) N }, con F el conjunto de partes de Ω, como en el Ejemplo 11. Probar que la funci´on Q dada por Q(A) =

P ωi ∈A pi^ ,^ para^ A^ ∈^ F, es una medida de probabilidad sobre (Ω, F). ¿Es Q una medida de probabilidad si F no es el conjunto de partes de Ω, sino s´olo un cierto espacio de sucesos formado por subconjuntos de Ω?

1.4. Espacios de probabilidad

Combinamos ahora las ideas anteriores y definimos un espacio de probabilidad como una terna (Ω, F, P) en la que (i) Ω es un conjunto, (ii) F es un espacio de sucesos formado por subconjuntos de Ω, (iii) P es una medida de probabilidad sobre (Ω, F). Hay muchas consecuencias elementales de los axiomas que esta definici´on engloba, y pasamos ahora a mencionar algunas de ellas. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad.

(12) Si A, B ∈ F, entonces 4 A \ B ∈ F.

Prueba El complementario de A \ B coincide con (Ω \ A) ∪ B, que es uni´on de dos sucesos y por lo tanto un suceso. Luego tambi´en lo es A \ B, por (2).! (^3) El cardinal |A| de un conjunto A es el n´umero de sus elementos. (^4) A \ B es el conjunto de puntos de A que no est´an en B.

8 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

(13) Si A 1 , A 2 , · · · ∈ F, entonces

i=1 A^ i^ ∈^ F. Prueba El complementario de

i=1 A^ i^ coincide con la^

i=1 (Ω^ ^ A^ i^ ), que es un suceso por ser uni´on numerable de complementarios de sucesos. Luego la intersecci´on de los A (^) i es tambi´en un suceso.!

(14) Si A ∈ F, entonces P(A) + P(Ω \ A) = 1. Prueba A, Ω \ A son sucesos disjuntos con uni´on Ω , luego 1 = P(Ω) = P(A) + P(Ω \ A).!

(15) Si A, B ∈ F, entonces P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B). Prueba El conjunto A es la uni´on disjunta de los conjuntos A \ B, A ∩ B, luego P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B) , por (9). Lo mismo se puede decir de B, resultando en total P(A) + P(B) = P(A \ B) + 2 P(A ∩ B) + P(B \ A) = P( (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A) ) + P(A ∩ B) , por (9) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B). (^)!

(16) Si A, B ∈ F y A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B). Prueba Como A y B \ A son disjuntos, P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).!

Suele ser ´util dibujar diagramas de Venn al trabajar con probabilidades. Por ejemplo, para ilustrar la igualdad (15) podemos dibujar el de la Figura 1.1 y observar que la probabilidad de A ∪ B es P(A) + P(B) − P(A ∩ B) porque esta ´ultima se cuenta dos veces en la suma P(A) + P(B).

p(0)

p(0)+p(1)

p(0)+p(1)+p(2)

FX(x)

x

A B

x x+! x

y

y+! y

Fig. 1.1 Diagrama de Venn que ilustra la igualdad P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

10 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

Ejemplo 18 Enteros aleatorios. Hay afirmaciones que son “intuitivamente claras” pero que no tienen sen- tido en teor´ıa de probabilidades, como ´esta por ejemplo: si escogemos un entero positivo al azar, habr´a probabilidad 1/2 de que sea par. Si interpretamos “al azar” como la afirmaci´on de que cada uno de ellos tiene igual probabilidad de ser escogido, y llamamos p a esa probabilidad, el espacio de probabilidad (Ω, F, P) del experimento ser´a (i) Ω = { 1 , 2 ,... }, (ii) F es el conjunto de partes de Ω, (iii) si A ⊆ Ω, entonces P(A) =

i∈A P(i) =^ p|A|. Pero entonces si p = 0, se tendr´a P(Ω) =

i=1 0 = 0, si p > 0, se tendr´a P(Ω) =

i=1 p^ =^ ∞, y ninguna de esas posibilidades respeta la regla de que P(Ω) = 1. Una posible forma de dar sentido a la afirmaci´on citada ser´ıa la siguiente: fijado un entero positivo N , sea EN el experimento de escoger al azar un elemento del conjunto de enteros ΩN = { 1 , 2 ,... , N }. La probabilidad de que el resultado de EN sea par es

1/2 si N es par,

N

) si N es impar,

de modo que, al tomar N → ∞, esa probabilidad tiende a 1/2. Pese a esta versi´on plausible del contenido de la frase, insistimos en que, en la forma dada, es una afirmaci´on sin sentido, que cualquier probabilista serio deber´ıa evitar.!

Ejercicios Los problemas m´as elementales en teor´ıa de probabilidades se basan en experi- mentos como barajar un mazo de cartas o tirar un dado, en los que suele darse el caso de que todos los posibles resultados sean igualmente probables, como en el Ejemplo 17. Esos problemas se suelen reducir al problema de contar el n´umero de maneras en las que un determinado suceso puede darse; los que siguen son ejercicios de ese tipo.

1. Probar que si se tira una moneda n veces, hay exactamente

n k

!

n! k! (n − k)!

secuencias posibles de resultados en las que aparezcan exactamente k caras. Si la moneda est´a equilibrada (de modo que cara y cruz son igual de probables en cada tirada), probar que la probabilidad de que salgan al menos r caras es

1 2 n

Xn

k=r

n k

!

1.5. Espacios muestrales discretos 11

1. Se distribuyen al azar r bolas distinguibles (por ejemplo, numeradas) en n cajas, que permiten poner cualquier n´umero de bolas en cada una. Probar que (i) hay nr^ maneras posibles de hacerlo, (ii) hay

` (^) r k

´ (n − 1)r−k^ de ellas en las que la primera caja recibe exactamente k bolas, (iii) si cada bola va a parar con igual probabilidad a cualquiera de las cajas, la probabilidad de que la primera caja reciba exactamente k bolas es

r k

! (1/n)k^ (1 − 1 /n)r−k

1. Probar que la probabilidad de que reciba un as cada uno de los cuatro jugadores en un juego de bridge 5 es

24 · 48! 13^4 52! = 0.

1. Fijados dos de esos cuatro jugadores, probar que la probabilidad de que reciban entre los dos exactamente k ases es

4 k

! 48 26 − k

!. 52 26

!

1. Probar que la probabilidad de que uno determinado de esos cuatro jugadores reciba 6 picas, 3 corazones, 2 diamantes y 2 tr´eboles es

13 6

! 13 3

! 13 2

! (^2). 52 13

!

1. Explicar cu´al de las siguientes cosas es m´as probable: (i) sacar al menos un seis en 4 tiradas de un dado, o (ii) sacar al menos un doble-seis en 24 tiradas de dos dados. Esto se conoce como la paradoja de de M´er´e; Antoine Gombaud, Chevalier de M´er´e (1607-84) fue un ensayista y experto jugador que hab´ıa llegado a observar la mayor frecuencia de uno de estos sucesos, pese a creer que debieran tener igual probabilidad; plante´o esa contradicci´on al fil´osofo y matem´atico Blaise Pascal.

(^5) Nota del traductor. Poco hay que saber sobre el bridge para este ejercicio y los siguien- tes: las 52 cartas (13 por palo) se reparten al comienzo entre los 4 jugadores; y en cada uno de los palos (corazones, diamantes, picas, tr´eboles) hay un as.

1.7. Sucesos independientes 13

1. Consid´erese el experimento de tirar 7 veces una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de que el n´umero de caras resulte ser primo, si sabemos que ha salido cara en al menos 6 de las tiradas.

1.7. Sucesos independientes

Llamamos independientes a dos sucesos A, B si el que ocurra uno de ellos no cambia la probabilidad de que ocurra el otro; dicho m´as formalmente, esto significa que si P(A), P(B) > 0, entonces

(20) P(A|B) = P(A) , P(B|A) = P(B)

y al escribir P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), descubrimos que la siguiente definici´on es la adecuada: Se dice que los sucesos A, B de un espacio de probabilidad (Ω, F, P) son independientes si

(21) P(A ∩ B) = P(A) P(B)

y dependientes en caso contrario. Esta definici´on es ligeramente m´as general que (20) porque permite que A y B tengan probabilidad nula. Se generaliza sin dificultad a m´as de dos sucesos: Los sucesos de una familia A = {A (^) i : i ∈ I} se llaman independientes si

(22) P(

i∈J A^ i^ ) =^

i∈J P(A^ i^ ) , para cada subconjunto finito^ J^ de^ I, y se llaman independientes dos a dos si (22) se cumple siempre que sea |J| = 2. De modo que tres sucesos A, B, C son independientes si y s´olo si se cumplen todas las igualdades siguientes:

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C) , P(A ∩ B) = P(A) P(B) P(B ∩ C) = P(B) P(C) , P(A ∩ C) = P(A) P(C)

Hay familias de sucesos que no son independientes, pero s´ı independientes dos a dos.

Ejemplo 23 Suponer que tiramos un dado equilibrado con cuatro caras (que podemos pensar como un cuadrado-dado en un universo 2-dimensional). Podemos tomar entonces Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 } con cada ω ∈ Ω igualmente probable. Los sucesos A = { 1 , 2 }, B = { 1 , 3 }, C = { 1 , 4 }, son independientes dos a dos, pero no independientes.!

Ejercicios

1. Sean A, B sucesos que cumplen P(A), P(B) > 0, y tales que P(A|B) = P(A). Probar que tambi´en P(B|A) = P(B).

14 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

1. Si los sucesos A, B son disjuntos e independientes, ¿qu´e podemos decir sobre la probabilidad de cada uno?
2. Probar que los sucesos A, B son independientes si y s´olo si los sucesos A, Ω \ B son independientes.
3. Probar que los sucesos A 1 , A 2 ,... , A (^) m son independientes si y s´olo si son inde- pendientes los sucesos Ω \ A 1 , Ω \ A 2 ,... , Ω \ Am.
4. Si A 1 , A 2 ,... , A (^) m son independientes y P(Ai ) = p para i = 1, 2 ,... , m, hallar la probabilidad de que (i) ninguno de los Ai ocurra; (ii) un n´umero par de los Ai ocurran.
5. Tenemos sobre la mesa un dado muy peculiar, con un n´umero primo de caras equiprobables, y lo tiramos una sola vez. Probar que no puede haber dos sucesos A, B que sean independientes, salvo si uno de ellos es el suceso vac´ıo o el espacio muestral completo.

1.8. Particiones: la f´ormula de la probabilidad

total

Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad. Una partici´on es una colecci´on {Bi : i ∈ I} de sucesos disjuntos (es decir, Bi ∩ Bj = ∅ si i &= j) con uni´on

i Bi^ =^ Ω. La siguiente f´ormula de la probabilidad total es extremadamente ´util:

Teorema 1B Si {Bi : i ∈ I} es una partici´on de Ω tal que P(Bi ) > 0 para cada i, P(A) =

i P(A|Bi^ )P(Bi^ ), para cada^ A^ ∈^ F. Esta igualdad est´a estrechamente relacionada con la que suele llamarse f´ormula de Bayes.

Prueba P(A) = P(A ∩ (

i Bi^ )) =^ P(

i (A^ ∩^ Bi^ ))

i P(A^ ∩^ Bi^ ) ,^ por (9)

i P(A|Bi^ )P(Bi^ ) ,^ por (19).^!

He aqu´ı un ejemplo de este teorema en acci´on.

Ejemplo 24 Ma˜nana habr´a lluvia o nieve, pero no ambas; la probabilidad de lluvia es 2/5 y la de nieve 3/5. Si llueve, mi probabilidad de llegar tarde a clase es 1/5, pero esa probabilidad es 3/5 en el caso de que nieve. ¿Qu´e probabilidad tengo de llegar tarde?

16 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

Una prueba de esto es como sigue. Sea A (^) n el suceso de que en las primeras n tiradas sale cara al menos una vez. Claramente A (^) n ⊂ A (^) n+1 para n = 1, 2 ,... , es decir, los A (^) n forman una sucesi´on creciente; el conjunto l´ımite A es el suceso de que aparezca m´as pronto o m´as tarde alguna cara. Seg´un el Teorema 1C, P(A) = l´ım (^) n→∞ P(A (^) n ); pero P(A (^) n ) = 1−(1/2)n^ , de modo que se tiene P(A (^) n ) → 1 cuando n → ∞. Por lo tanto P(A) = 1, de donde la probabilidad de que nunca salga una cara es P(Ω \ A) = 0.!

Prueba del Teorema Sea Bi = A (^) i \ A (^) i− 1 para i = 2, 3 ,... Entonces A es la uni´on A = A 1 ∪ B 2 ∪ B 3... de sucesos disjuntos de F (esto se ve claramente con un diagrama de Venn). Por (9), P(A) = P(A 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) + · · · = P(A 1 ) + l´ım (^) n→∞

∑n k=2 P(Bk^ ) Pero por otro lado, P(Bi ) = P(A (^) i ) − P(A (^) i− 1 ) para i = 2, 3 ,... , luego P(A) = P(A 1 ) + l´ım (^) n→∞

∑n k=2 [P(Ak^ )^ −^ P(A^ k−^1 )] = l´ım^ n→∞^ P(A^ n^ ) porque la ´ultima suma se reduce a P(A (^) n ) − P(A 1 ).!

La conclusi´on del Teorema 1C se expresa en t´erminos de sucesiones crecientes de sucesos, pero el correspondiente resultado para sucesiones decrecientes es igual de cierto: si B 1 , B 2 ,... es una sucesi´on de sucesos de F que cumplen Bi ⊆ Bi− 1 para i = 2, 3 ,... , entonces P(Bn ) → P(B) cuando n → ∞, donde B =

n=1 Bn es el l´ımite de los Bn cuando n → ∞. La forma m´as clara de ver esto es tomar A (^) i = Ω \ Bi en el Teorema 1C.

1.10. Problemas resueltos

Ejemplo 26 Se tira dos veces un dado equilibrado de seis caras (cuando se aplica a objetos como dados o monedas, el adjetivo ‘equilibrado’ o ‘no sesgado’ significa que cada posible resultado tiene igual probabilidad). (a) Describa el espacio de probabilidad de este experimento. (b) Llamemos B al suceso de que el primer n´umero que sale es menor o igual que 3 y C al suceso de que la suma de los dos n´umeros sea 6. Halle las probabilidades de B y C, la probabilidad de C condicionada a B y la de B condicionada a C.

1.10. Problemas resueltos 17

Soluci´on El espacio de probabilidad de este experimento es la terna (Ω, F, P), donde (i) Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2 ,... , 6 } es el conjunto de los pares ordenados de enteros del 1 al 6, (ii) F es el conjunto de partes de Ω, (iii) cada punto de Ω tiene igual probabilidad, de modo que P((i, j)) = 1/36 para i, j = 1, 2 ,... , 6, y m´as en general P(A) = |A|/36 para cada A ⊆ Ω. Los sucesos B y C son los subconjuntos siguientes de Ω: B = {(i, j) : i = 1, 2 , 3 y j = 1, 2 ,... , 6 }, C = {(i, j) : i + j = 6 , con i, j = 1, 2 ,... , 6 }. B contiene 3 × 6 = 18 pares ordenados y C, 5 pares ordenados, luego P(B) = 18/36 = 1/2, P(C) = 5/36. Por ´ultimo, B ∩ C contiene s´olo 3 pares: B ∩ C = {(1, 5), (2, 4), (3, 3)}, de modo que P(C|B) =

P(B ∩ C)

P(B)

y P(B|C) =

P(B ∩ C)

P(C)

Ejemplo 27 Viaja usted en el tren acompa˜nado de su hermana, ambos sin billete, y el revisor les ha descubierto. Y resulta que est´a autorizado a administrar un castigo inmediato por esta falta: les presenta una caja con nueve chocola- tinas aparentemente id´enticas, pero tres de las cuales contienen un veneno mort´ıfero. El revisor les conmina a que, uno tras otro, escojan una de las cholatinas y se la coman. (a) Si escoge usted antes que su hermana, ¿qu´e probabilidad tiene de so- brevivir? (b) Si escoge usted primero y sobrevive, ¿qu´e probabilidad de sobrevivir tiene su hermana? (c) Si escoge usted primero y muere, ¿qu´e probabilidad de sobrevivir tiene su hermana? (d) ¿Le interesa convencer a su hermana de que elija ella primero? (e) Si elige usted primero, ¿qu´e probabilidad tiene de sobrevivir, suponien- do que su hermana sobrevive?

1.11. Problemas 19

1. La Urna I contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y la Urna II contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Se escoge al azar una de las dos Urnas y se extrae una bola de ella. ¿Cu´al es la probabilidad de que esa bola sea negra? Si la bola resulta ser blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que haya sido escogida la Urna I?
2. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas^6. De entre las restantes, se sacan dos al azar y resultan ser picas. ¿Cu´al es la probabilidad de que la carta anteriormente extra´ıda fuese de ese mismo palo?
3. Dos personas tiran una moneda equilibrada, cada una de ellas n veces. Pruebe que la probabilidad de que ambas saquen el mismo n´umero de caras es

2 n n

! (1/2)^2 n^.

1. En los circuitos de la Fig. 1.2, cada interruptor est´a cerrado con probabilidad p, independientemente de todos los dem´as. Para cada circuito, halle la probabilidad de que pueda circular la corriente entre A y B.
2. Si es u (^) n la probabilidad de que no salgan 4 caras seguidas en una serie de n tiradas de una moneda equilibrada, pruebe que para n ≥ 4 se tiene u (^) n = 12 u (^) n− 1 + 14 u (^) n− 2 + 18 u (^) n− 3 + 161 u (^) n− 4. Usando esta ecuaci´on, pruebe que en 8 tiradas esa probabilidad es 208/256. *10. Cada n´umero ω ∈ [0, 1] tiene un desarrollo decimal ω = 0. x 1 x 2... y vamos a llamar fk (ω, n) a la proporci´on de veces que el d´ıgito k aparece en los primeros n lugares de ese desarrollo. Llamamos a ω un n´umero normal si fk (ω, n) → 101 cuando n → ∞, para k = 0, 1 , 2 ,... , 9. Intuitivamente cabe esperar que la mayor parte de los n´umeros ω ∈ [0, 1] sean normales, y Borel prob´o que en efecto eso es cierto. Pero muy otra cosa es probar que un n´umero dado es normal. Se sabe que es normal el n´umero 0.... Pru´ebelo. Es a´un un problema abierto el probar que sean normales (o no lo sean) los n´umeros e − 2 y π − 3.

A B A B

Fig. 1.2 Dos circuitos el´ectricos con interruptores.

(^6) Ver nota al ejercicio 13, Secci´on 1.5.

20 Cap´ıtulo 1. Sucesos y probabilidades

1. Se divide un tablero cuadrado en 16 casillas cuadradas iguales mediante lineas paralelas a sus lados. En una de esas casillas, escogida al azar, se coloca una ficha que a continuaci´on es desplazada n veces. En cada desplazamiento, la ficha puede trasladarse, con igual probabilidad, a cualquiera de las casillas vecinas, ya sea horizontal, vertical o diagonalmente. Sea cn la probabilidad de que la casilla de una determinada esquina est´e, tras los n movimientos, ocupada por la ficha, y sean sn , m (^) n respectivamente, las correspondientes probabilidades para una de las casillas centrales de un borde y para una de las centrales del tablero. Pruebe que 4 cn + 8sn + 4m (^) n = 1, para n = 0, 1 , 2 ,... , y que (^) c n =^25 sn− 1 +^18 m^ n− 1 ,^ para^ n^ = 1,^2 ,...^. Encuentre otras ecuaciones para sn y m (^) n en t´erminos de cn− 1 , sn− 1 y m (^) n− 1. Deduzca de ellas los valores de cn , sn y m (^) n. (Oxford 1974M)
2. (a) Pruebe que, para sucesos A 1 , A 2 ,... , A (^) n dados, sus probabilidades cumplen

P(

[

1 ≤i≤n

Ai ) =

X

1 ≤i≤n

P(Ai ) −

X

1 ≤i