¡Descarga Ejercicios y resoluciones sobre asímptotas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Resolució dels exercicis d’asímptotes
Exercici 5.
Escriu l’expressió d’una funció que tingui una asímptota vertical per l’esquerra en x=
però no en tingui a la dreta. Suggeriment: pensa en una funció expressada a trossos.
Exemple
f ( x )=
x− 1
si x < 1
2 si x> 1
Exercici 5.
Escriu l’expressió d’una funció que tingui una asímptota horitzontal per la dreta en y=
i una d’horitzontal per l’esquerra en y=–2. Suggeriment: pensa en una funció
expressada a trossos.
Exemple
f ( x )=
{
x
x
− 2 si x < 1
Exercici 5.
Siguin P(x) i Q(x) polinomis.
Per què si el grau de P(x)≤grau de Q(x) les funcions racionals del tipus f(x)=
P( x )
Q(x)
presenten una asímptota horitzontal?
Perquè
lim
x→ ±∞
P (x)
Q(x )
0 si grau P<grau Q
k ≠ 0 si grau P=grau Q
En qualsevol dels quatre casos el límit a l’infinit és un nombre real, per tant, aquestes
funcions racionals presenten asímptota horitzontal tant a la dreta com a l’esquerra.
Exercici 5.
Escriu l’expressió d’una funció racional que tingui una asímptota obliqua.
Només cal escriure una funció racional (és a dir, una funció que sigui una fracció de
polinomis) en la qual el grau del polinomi del numerador menys el grau del polinomi
del denominador sigui 1.
Exemple: f(x)=
x
3
x
2
Exercici 5.
Determina l’equació de l’asímptota obliqua de la funció f(x)=
x
3
x
2
Com que una asímptota obliqua és una recta de pendent diferent de 0 i no infinit, la
seva equació es podrà escriure així: y=mx+n on m és el pendent de la recta i n és
l’ordenada a l’origen.
m= lim
x→+ ∞
x
3
x
2
x
= lim
x→+ ∞
x
3
x
3
n= lim
x →+∞
x
3
x
2
−x
= lim
x →+∞
x
3
x
2
x
3
x
2
= lim
x→+∞
x
3
−x
3
−x
x
2
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és y=x.
Si una funció racional té una asímptota a la dreta, tindrà la mateixa asímptota a
l’esquerra. En aquest cas, ho veiem clar si fem el límit a
Exercici 5.
a) És possible que una mateixa funció tingui una asímptota horitzontal i una
asímptota obliqua?
Sí, sempre que les tinguin una a la dreta i l’altra a l’esquerra. Per exemple:
f
x
x
2
x + 3
si x>− 1
x
− 2 si x ≤− 1
Aquesta funció té una asímptota obliqua a la dreta i una asímptota horitzontal
a l’esquerra.
b) És possible que una funció talli una seva asímptota horitzontal?
Sí perquè les rectes són infinites i, per exemple, la funció
f ( x )=
x si x> 0
x
té aquesta gràfica:
en la qual es pot observar que l’asímptota horitzontal y=2 és tallada per la
funció.
c) És possible que una funció talli una seva asímptota vertical?
lim
x→ 0
±
x
2
x
2
− 2 x
= lim
x→ 0
±
x
2
x ( x− 2 )
±
±
lim
x→ 2
±
x
2
x
2
− 2 x
= lim
x → 2
±
x
2
x (x− 2 )
±
±
Exercicis p.
16a) Troba les asímptotes de la funció
f ( x )=
x
x
2
a l’infinit i situa’n la corba.
lim
x→ ±∞
x
x
2
Per tant, y=0 és una asímptota horitzontal tant a l’esquerra com a la dreta.
Atès que si substituïm la x per un nombre molt gran el resultat és positiu, la branca va
per sobre de l’asímptota a la dreta. En canvi, si substituïm la x per un nombre molt
gran però negatiu, el resultat és negatiu i la branca va per sota de l’asímptota a
l’esquerra:
16b) Troba les asímptotes de la funció
f ( x )=
x
3
x
2
a l’infinit i situa’n la corba.
Atès que el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador,
tindrà una asímptota obliqua.
m= lim
x→ ± ∞
x
3
x
2
x
lim
x →± ∞
x
3
x
3
+x
n= lim
x →+∞
(
x
3
x
2
−x
)
= lim
x →+∞
(
x
3
x
2
x
3
x
2
)
= lim
x→+∞
x
3
−x
3
−x
x
2
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és y=x.
Si una funció racional té una asímptota a la dreta, tindrà la mateixa asímptota a
l’esquerra. En aquest cas, ho veiem clar si fem el límit a
Pel que fa a la situació de la corba respecte a l’asímptota, ens plantegem quin signe té
f(x) – (mx+n) que, en aquest cas seria:
x
3
x
2
−x=
−x
x
2
Si substituïm la x per un nombre molt gran el resultat és negatiu, la branca va per sota
de l’asímptota a la dreta. En canvi, si substituïm la x per un nombre molt gran però
negatiu, el resultat és positiu i la branca va per sobre de l’asímptota a l’esquerra:
17a) Troba les asímptotes de la funció
f ( x )=
x
2
x
2
− 2 x
a l’infinit i situa’n la corba.
lim
x→ ±∞
x
2
x
2
− 2 x
Per tant, y=1 és una asímptota horitzontal tant a l’esquerra com a la dreta.
Atès que si substituïm la x per un nombre molt gran el numerador és una mica més
gran que el denominador, el resultat és més gran que 1 i la branca va per sobre de
l’asímptota. Si substituïm la x per un nombre molt gran però negatiu, el resultat és més
petit que 1 i la branca va per sota de l’asímptota. Per tant,
Exercicis p.
20b) Troba les asímptotes de la funció
f ( x )=
x
x
2
a l’infinit i situa’n la corba.
Resolt ja a l’exercici 16a)
