¡Descarga AUTOCORRELACION y más Apuntes en PDF de Contabilidad Financiera solo en Docsity!
Tema 6: Autocorrelacion
Econometra Curso 2015-
Naturaleza de la Autocorrelacion
Cuando se introdujo el modelo de regresion lineal multiple, !y = X
- !u , se supona que el termino perturbacion veri caba que E [ !u ] =
0 y var[ !u ] = E [ !u !u t^ ] = ^2 In. Como consecuencia se tena: ✠ E [ut ] = 0, 8 t 2 1 ; : : : ; n ✠ E [u t^2 ] = ^2 , 8 t 2 1 ; : : : ; n, es decir, la var[ut ] se mantiene constante (Homocesdasticidad) ✠ E [ui ; uj ] = Cov[ui ; uj ] = 0, 8 i 6 = j 2 1 ; : : : ; n. Como consecuencia, se supone que las perturbaciones en distintos instantes son estan correlacionadas. Cuando se veri ca que Cov[ui ; uj ] 6 = 0 diremos que las perturbaciones estan correlacionadas entre s, o equivalentemente, si Cov[ut ; ut k ] 6 = 0 8 k > 0 nos encontraremos ante un problema de Autocorrelaci´on. Debido a la relacion existente entre ut y ut k la matriz de varianzas-covarianzas del termino perturbacion tendra al menos un elemento distinto de cero por debajo, y como consecuencia, por encima de la diagonal principal. As que, a lo largo del tema supondremos que ut viene descrita como ut = ut 1 + "t donde "t veri ca que es un ruido blanco (E ["t ] = 0, var["t ] = "^2 , Cov["t ; "t k ] = 0 y "t N (0; ^2 ), 8 t 2 1 ; : : : ; n y k > 0).
Causas de la Autocorrelacion
El problema de la existencia de Autocorrelacion viene principalmente provo- cado por: ✠ Error en la especi cacion del modelo, es decir, se han omitido en la construccion del modelo variables exogenas que son relevantes con el n de estudiar el comportamiento de la variable endogena. ✠ Existencia de ciclos y tendencias. Si la variable endogena presenta ciclos, y estos no estan correctamente explicados por el conjunto de las variables exogenas, entonces el termino de perturbacion presentara autocorrelacion. ✠ Existencia de relaciones no lineales. ✠ Existencia de relaciones dinamicas.
Consecuencias de la Autocorrelacion
Con autocorrelacion, y suponiendo que se cumple el resto de hipotesis del modelo de regresion lineal, se veri ca que los estimadores que se obtienen por el metodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO) siguen siendo ins- esgados pero no conservan la propiedad de optimalidad. Ante esta situacion solo se cumple que el estimador obtenido por el metodo de los Mnimos Cuadrados Generalizados (MCG) !
b MCG =
X t^ ^1 X
X t^ ^1 !y
cuya matriz de varianzas-covarianzas viene dada por
var
b MCG
= ^2
X t^ ^1 X
es optimo.
Ejemplo
Consideremos los datos para ajustar un modelo que analice el consumo de energa electrica (en miles de TEP) a partir del PIB a precios constantes (millones de euros). Dada la naturaleza del problema (serie temporal), tal y como se ha indicado, sospechamos la posible presencia de autocorrelacion en el modelo. Por tal motivo, en primer lugar usaremos los metodos gra cos para intentar detectarla. Usaremos con tal objetivo los residuos de la estimacion por MCO del modelo:
C^ bt = 62340 54 + 0^00426873 PIBt ;
R^2 = 0^0992408
A~no Consumo PIB 1987 9427 355312 1988 9876 373412 1989 10410 391443 1990 10974 406252 1991 11372 416582 1992 11488 420462 1993 11569 416126 1994 11999 426041 1995 12462 437787 1996 12827 448457 1997 13331 466513 1998 14290 486785 1999 15364 507346 2000 16309 528714 2001 17282 543746 2002 17756 554852
Ejemplo
0
100
200
300
400
500
1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
e
Tiempo
Figure: Gra co temporal de los residuos
Ejemplo
−
−
−
−
0
100
200
300
400
−300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
e
e 1
e con respecto a e 1 (con ajuste mínimo−cuadrático) Y = −22,3 + 0,521X
Figure: Gra co de dispersion
Ejemplo
En el gra co de la gura 1 observamos rachas de residuos por encima y por debajo de la media (cero), mientras que en el de la gura 2 observamos una tendencia claramente creciente. Por tanto, podemos pensar que hay presencia de autocorrelacion positiva en el modelo. Para con rmar este hecho recurriremos a los procedimientos analticos del contraste de Durbin-Watson y de Ljung-Box.
Contrastes de Durbin-Watson
Las tablas estadsticas nos proporcionan una cota inferior, dL, y otra cota superior, dU. Si: ✠ 0 < DW < dL, se mantiene la hipotesis > 0, autocorrelacion positiva. ✠ dL < DW < dU , test no concluyente. ✠ dU < DW < 4 dU , se mantiene que = 0, residuos incorrelados. ✠ 4 dU < DW < 4 dL, test no concluyente. ✠ 4 dL < DW < 4, mantenemos que < 0, autocorrelacion negativa.
k∗^ corresponde al n´Estad´umero de regresores del modelo excluido el t´ıstico de Durbin-Watson - Puntos cr´ıticos deermino independiente (es decir,^ dL^ y^ du^ al nivel de significaci´ kon del 5 %∗^ = k − 1) n 6 0.610dL^ k ∗^ = 11.400d^ u dLk ∗^ = 2d^ u dLk ∗^ = 3d^ u dLk ∗^ = 4d^ u dLk ∗^ = 5d^ u dLk ∗^ = 6du 789 0.7000.7630.824 1.3561.3321.320 0.4670.5590.629 1.8961.7771.699 0.3680.455 2.2872.128 0.296 2. 101112 0.8790.9270.971 1.3201.3241.331 0.6970.6580.812 1.6411.6041.579 0.5250.5950.658 2.0161.9281.864 0.3760.4440.512 2.4142.2832.177 0.2430.3160.379 2.8222.6452.506 0.2030.268 3.0052. 131415 1.0101.0451.077 1.3401.3501.361 0.8610.9050.946 1.5621.5511.543 0.7150.7670.814 1.8161.7791.750 0.5740.6320.685 2.0942.0301.977 0.4450.5050.562 2.3902.2962.220 0.3280.3890.447 2.6922.5722. 161718 1.1061.1331.158 1.3711.3811.391 0.9821.0151.046 1.5391.5361.535 0.8570.8970.933 1.7281.7101.696 0.7340.7790.820 1.9351.9001.872 0.6150.6640.710 2.1572.1042.060 0.5020.5540.603 2.3882.3182. 192021 1.1801.2011.221 1.4011.4111.420 1.0741.1001.125 1.5361.5371.538 0.9670.9981.026 1.6851.6761.669 0.8590.8940.927 1.8481.8281.812 0.7520.7920.829 2.0231.9911.964 0.6490.6920.732 2.2062.1622. 222324 1.2391.2571.273 1.4291.4371.446 1.1471.1681.188 1.5411.5431.546 1.0531.0781.101 1.6641.6601.656 0.9580.9861.013 1.7971.7851.775 0.8630.8950.925 1.9401.9201.902 0.7690.8040.837 2.0902.0612. 252627 1.2881.3021.316 1.4541.4611.469 1.2061.2241.240 1.5501.5531.556 1.1231.1431.162 1.6541.6521.651 1.0381.0621.084 1.7671.7591.753 0.9530.9791.004 1.8861.8731.861 0.8680.8970.925 2.0121.9921. 282930 1.3281.3411.352 1.4761.4831.489 1.2551.2701.284 1.5601.5631.567 1.1811.1981.214 1.6501.6501.650 1.1041.1241.143 1.7471.7431.739 1.0281.0501.071 1.8501.8411.833 0.9510.9750.998 1.9581.9441. 313233 1.3631.3731.383 1.4961.5021.508 1.2971.3091.321 1.5701.5741.577 1.2291.2441.258 1.6501.6501.651 1.1601.1771.193 1.7351.7321.730 1.0901.1091.127 1.8251.8191.813 1.0201.0411.061 1.9201.9091. 343536 1.3931.4021.411 1.5141.5191.525 1.3331.3431.354 1.5801.5841.587 1.2711.2831.295 1.6521.6531.654 1.2081.2221.236 1.7281.7261.724 1.1441.1601.175 1.8081.8031.799 1.0801.0971.114 1.8911.8841. 373839 1.4191.4271.435 1.5301.5351.540 1.3641.3731.382 1.5901.5941.597 1.3071.3181.328 1.6551.6561.658 1.2491.2611.273 1.7231.7221.722 1.1901.2041.218 1.7951.7921.789 1.1311.1461.161 1.8701.8641. 404550 1.4421.4751.503 1.5441.5661.585 1.3911.4301.462 1.6001.6151.628 1.3381.3831.421 1.6591.6661.674 1.2851.3361.378 1.7211.7201.721 1.2301.2871.335 1.7861.7761.771 1.1751.2381.291 1.8541.8351. 556065 1.5281.5491.567 1.6011.6161.629 1.4901.5141.536 1.6411.6521.662 1.4521.4801.503 1.6811.6891.696 1.4141.4441.471 1.7241.7271.731 1.3741.4081.438 1.7681.7671.767 1.3341.3721.404 1.8141.8081. 707580 1.5831.5981.611 1.6411.6521.662 1.5541.5711.586 1.6721.6801.688 1.5251.5431.560 1.7031.7091.715 1.4941.5151.534 1.7351.7391.743 1.4641.4871.507 1.7681.7701.772 1.4331.4581.480 1.8021.8011. 859095 1.6241.6351.645 1.6711.6791.687 1.6001.6121.623 1.6961.7031.709 1.5751.5891.602 1.7211.7261.732 1.5501.5661.579 1.7471.7511.755 1.5251.5421.557 1.7741.7761.778 1.5001.5181.535 1.8011.8011. 100150200 1.6541.7201.758 1.6941.7461.778 1.6341.7061.748 1.7151.7601.789 1.6131.6931.738 1.7361.7741.799 1.5921.6791.728 1.7581.7881.810 1.5711.6651.718 1.7801.8021.820 1.5501.6511.707 1.8031.8171.
H de Durbin
El contraste de Durbin-Watson es valido cuando la autocorrelacion de los errores es autorregresiva de orden 1 y cuando la regresion no incluye entre las variables explicativas algun retardo de la variable dependiente. En este segundo caso se recurre al contraste h de Durbin. Esto es, en modelos del tipo
Yt = Yt 1 + 1 + 2 X 2 t + + (^) k Xkt + ut ;
donde ut = ut 1 + vt , para contrastar
H 0 : = 0 (incorrelacion) H 1 : 6 = 0 (correlacion)
utilizaremos el estadstico h =
q n
1 nVar̂ (b)
N (0; 1); de forma que se
rechazara la hipotesis nula si jhj > Z 1 2.
Ejemplo
Existe autocorrelacion en el siguiente modelo estimado por MCO?
Y^ bt = 1'3 + 0'97 Yt 1 + 2'31 Xt n = 21 d = 1^021
A partir de la h de Durbin:
h = 0^0394
r
= 0^0395 40 83826 = 1^0911113 ;
donde ' 1 d 2 = 1 1
(^021) 2 = 0
(^0) 395 y var = 0 (^0072) = 0 (^0) 0049, se tiene que no se rechaza la hipotesis nula de incorrelacion ya que jhj 6 > 10 96. Luego no existe autocorrelacion en el modelo.
Contraste de Ljung-Box
Si los residuos son independientes, sus primeras m autocorrelaciones son cero, para cualquier valor de m. El test de Ljung-Box contrasta la hipotesis nula de que las primeras m autocorrelaciones, m , son cero. Esto es:
H 0 : 1 = 2 = = m = 0 H 1 : 9 i 2 f 1 ; 2 ; : : : ; mg tal que i 6 = 0
Se rechaza la hipotesis nula (de incorrelacion) si QLB = n(n + 2)
P^ m
s=
r (s)^2 n s > ^2 m 1 (1 ) donde
r (s) =
P^ n
t=s+
et et s
Pn
t=
e t^2
es el coe ciente de autocorrelacion muestral de orden k. Si las observaciones son independientes (incorrelacion), los coe cientes r (s) seran proximos a cero, por lo que no se rechazara la hipotesis nula. Por otro lado, el valor de m puede ser jado arbitrariamente aunque no debe de ser grande.
Ejemplo
De forma que:
QLB = n(n + 2)
X^ m
s=
r (s)^2 n s
r (1)^2 15
r (2)^2 14
r (3)^2 13
= 288 (0^0 01452 + 0^0 000028 + 0^0 0053) = 288 0001983
Como QLB = 5^07115 ≯ 50 991 = ^22 (0^0 95), no rechazo la hipotesis nula de incorrelacion. Adviertase que para m = 2, se tiene que QLB = 4^01885 > 30 841 = ^21 (0^0 95). Por tanto, en tal caso si se rechazara la hipotesis nula de incor- relacion.
Estimacion bajo Autocorrelacion
!y = X !^ + !u
con: ✠ E [ !u ] =
✠ E [ui uj ] 6 = 0 (i 6 = j con i; j 2 f 1 ; : : : ; ng) y ✠ var[ !u ] = ^2. (no se veri can los supuestos de MCO) Por el metodo de Mnimos Cuadrados Generalizado: necesitamos calcular P tal que ^1 = Pt^ P. Suponemos que ut viene determinada por un proceso autorregresivo de or- den 1, AR(1): ut = ut 1 + "t ("t un ruido blanco) y el coe ciente de autocorrelacion con 1 < < 1.
Estimacion bajo Autocorrelacion
ut ut 1 = (ut 1 + "t ) ut 1 = u t^2 1 + "t ut 1 ) E [ut ut 1 ] = ^2
De la misma forma:
E [ut ut 2 ] = E [(ut 1 + "t ) ut 2 ] = E [ut 1 ut 2 ] = (^2 ) = ^2 ^2
E [ut ut 3 ] = E [(ut 1 + "t ) ut 3 ] = E [ut 1 ut 3 ] = (^2 ^2 ) = ^3 ^2
E [ut ut k ] = k^ ^2
0 B B B B @
1 ^2 ^3 n ^1 1 ^2 n ^2 ^2 1 n ^3
.. . n ^1 n ^2 ^2 1
1 C C C C A
Estimacion bajo Autocorrelacion: MCG
) ^1 =
1 ^2
0 B B B B @
1 + ^2 0 0
0 1 + ^2 0
. 1 + ^2
1 C C C C A
Modi cacion Prais-Winsten
- Se estima el modelo original por MCO y se obtienen los residuos et.
- Estimamos de la regresion ut = ut 1 + "t el valor de empleando los
et , estimando la regresion et = et 1 + "t : b =
Pn
t=2 et^ et ^1
X^ n
t=
e t^2
- Se estima por MCO el modelo transformado !y ^ = X
- !u , para obtener los nuevos residuos e t.
4. Estimamos b de la regresion e t = be t 1 + " t : bb =
Pn
t=2 e
t e t 1
X^ n
t=
(e t )^2
- Repetimos... La estimacion de es el valor que estabiliza la secuencia
b, bb, bbb, : : :. (hasta que la diferencia sea menor que 10 ^3 ).
Proceso iterativo de Cochrane-Orcutt: Obviamos la primera obser- vacion en las transformaciones.
Ejemplo
Ejemplo
El numero de peque~nos accidentes, Y , ocurridos en las calles de una ciudad y el numero de coches que han sido matriculados, X , en la misma durante 10 a~nos estan recogidos en la siguiente tabla:
Y X 25 510 27 520 28 528 32 540 33 590 36 650 38 700 40 760 41 800 45 870
Dado el modelo Yt = 1 + 2 Xt + ut : ✠ Contrastar la hipotesis de no autocorrelacion por medio de Durbin-Watson. ✠ En caso de detectar problemas de autocorrelacion, obtenga una estimacion aplicando MCG.
Ejemplo: DW
Primero estimamos el modelo Yt = 1 + 2 Xt + ut empleando el metodo de mnimos cuadrados ordinarios.
Y^ bt = 2:56755 + 0: 0493699 Xt (R^2 = 0:942095)
Y Yb et et 1 (et et 1 )^2 e t^2
DW =
Pn
t=2(et^ ^ et ^1 )
2
Pn
t=1 e t^2 =
18 : 7960 22 : 8435 = 0: 8228 k=1 );n= =5%
n
dL = 0: 879 dU = 1: 320
DW ) <dL
n
Autocorrelacion Positiva
Ejemplo: MCG
Estima la regresion et = et 1 + "t :
bet = 0: 4226 et 1 ) b = 0: 4226
Como el n es peque~no usamos la Modi cacion Prais-Winsten (transformacion):
y t =
p
1 (0:4226)^2 yt t = 1 yt 0 : 4226 yt 1 t > 1
X (^) t =
p
1 (0:4226)^2 Xt t = 1 Xt 0 : 4226 Xt 1 t > 1
cte t =
p
1 (0:4226)^2 ctet t = 1 ctet 0 : 4226 ctet 1 t > 1
