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Estudiante: Juan Esteban Cadena Alvarez
PASO 3
Ejercicios Individuales
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
Recuerde consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-
EJERCICIOS 1. Variables Separables
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el
método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la
tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
Solución
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Esteban Cadena.
b
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
y
'
=e
3 x
− 4 sex , y
Forma original de la E.D
-Se resuelve por cambios de variables.
dy
dx
=e
3 x
− 4 sex
Empezamos a resolver cambiando la forma en la
escribe la derivada.
dy =(e ¿¿ 3 x− 4 sex )dx ¿ Se hace una trasposición de términos (dx esta
dividiendo pasa a multiplicar al lado derecho de la
igualdad).
dy=
( e¿¿ 3 x− 4 sex )dx ¿
Al tener las variables separadas podemos integrar.
dy=¿
e
3 x
dx− 4
4 sexdx ¿
Como al lodo derecho de la ecuación la integral
tiene dos funciones, se cumple la siguiente propiedad:
[
f ( x) ± g ( x )
]
f ( x ) ±
g ( x ) .
y=
e
3 x
dx− 4
4 sexdx
Se resuelve la integral del lodo izquierdo de la
ecuación.
y +C
1
e
3 x
−cosx
+C
2
y +C
1
e
3 x
2
Se resuelve la integral del lado derecho de la
ecuación (recordando las identidades trigonométricas y
las propiedades de integración de
e ).
y=
e
3 x
Se hace una transposición de la constante (
C
2
−C
1
=K
, la suma o resta de dos constantes; da como
resultado otra constante).
y ( 0 )=
e
3 ( 0 )
Teniendo en cuenta la condición inicial y ( 0 )= 4.
y ( 0 )=
( 1 )+ 4 ( 1 )+ K
Se realizan las operaciones pertinentes al caso
y ( 0 )=
+ K
Se resuelve la fracción y el resultado se le suma a
la constante ( K).
posibles en la ecuación.
x
2
dx −u
2
x
2
dx−u
2
x
2
dx=+u x
3
du
Realizamos separación de variables
x
2
dx ( 1 −u
2
−u
2
)=+u x
3
du
Factorizamos en la parte izquierda de la
igualdad.
x
2
dx ( 1 − 2 u
2
)=+u x
3
du
Resolvemos lo que esta dentro de los paréntesis.
dx
x
udu
1 − 2 u
2
Realizamos una trasposición de variable. Las x se
reducen.
dx
x
udu
1 − 2 u
2
Integramos a cada lado de la igualdad. El lado
derecho se resuelve por sustitución.
ln ( x )=
dv
v
… ln ( x )=
ln ( 1 − 2 u
2
)+ ln
C
El lado derecho se resuelve por sustitución.
1 − 2 u
2
=v ,
dv
=udu .
4 ln ( x )=− 1 ln
(
2 y
2
x
2
)
+lnC
Reescribimos en su forma inicial y trasladamos el
cuatro (4) a la izquierda a multiplicar.
y
x
=u
ln ( x )
4
=ln
(
− 2 y
2
2
x
2
)
− 1
Recordando la propiedad del Ln aLnb=Lnb
a
ln (x
4
)=LnC
(
x
2
− 2 y
2
2
)
Unimos los logaritmos haciendo uso de la
siguiente propiedad: Lna+Lnb= Lna∙ b
e
ln (x
4
)
=e
LnC
x
2
− 2 y
2
+x
2
⇒ x
4
=C
(
x
2
− 2 y
2
2
)
Aplicamos la operación de la exponencial a cada
lado de la igualdad para eliminar los logaritmos.
e
Lna
=a
C=
x
2
(− 2 y
2
2
)x
4
Se traslada la constante y la x elevada a la cuarta
potencia pasa a dividir, se aplica la ley de las
orejas y queda multiplicando al denominador de la
fracción.
y=
x
6
x
2
+C
Despejamos la variable y y finalizamos el
ejercicio.
Ejercicios 3 - Ecuaciones Diferenciales Exactas
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada
estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada
paso efectuado para el desarrollo de este)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Esteban Cadena.
b.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
y
x
2
e
y
x
dx +
x
e
y
x
dy = 0
En este caso se debe evaluar que la Ec
sea exacta.
∂ M
∂ y
( x , y )= 1 −
y
x
2
e
y
x
∂ N
∂ x
( x , y )= 1 +
x
e
y
x
Para evaluarla usaremos la siguiente
condición
∂ M
∂ y
( x , y )=
∂ N
∂ x
( x , y )
∂ M
∂ y
( x , y )=
x
2
e
y
x
∂ N
∂ x
( x , y )
Realizando la derivada parcial de cada
caso obtenemos
∂ M
∂ y
( x , y )=
∂ N
∂ x
( x , y )
, esto
quiere decir que la ecuación es exacta.
