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BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL
4.1 BASE
Sea A = { 𝑢⃗ (^) 1 , 𝑢⃗ (^) 2 ,..... .. ., 𝑢⃗ (^) n } conjunto en el espacio vectorial ( V, + , 𝕂 , ● ) , tal que A ≠ ∅ y A ⊂ V, por tanto A forma una base i) A es un conjunto de vectores linealmente independiente: ∑ 𝑛 𝑖= 1 𝛼 𝑖
𝑢⃗ i = 0 ⃗ 𝛼 i = 0
ii) A tiene sistema de generadores: Si 𝑣 ∈ 𝑉, se puede expresar como 𝑣 = ∑ 𝑛 𝑖= 1 𝛼 𝑖 𝑢⃗ (^) i
4.2 BASES CANONICAS
Base canónica en ℝ^2 (
2 𝑥 2 Base canónica en ℝ^3 (
3 𝑥 3 Si consideramos el espacio vectorial (ℝ^3 , + , ℝ , ● ) podremos encontrar infinidad de bases todas ellas formadas por 3 vectores, pero una de las bases de este espacio vectorial {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} tiene una propiedad importante: cualquier vector del espacio vectorial verifica que sus componentes coinciden con sus coordenadas respecto de la base canónica, y con el sistema de ecuaciones lineales.
Este tipo de bases se llaman BASES CANÓNICAS en ℝn^ que son nada más ni menos que la matriz identidad. (
𝑛𝑥𝑛 PROPIEDADES i) Si un espacio vectorial tiene una base finita, entonces cualquier otra base tiene un número finito, es decir si un espacio vectorial tiene dos o más bases, el número de vectores serán siempre iguales. ii) Todas bases de un mismo espacio vectorial son coordinables.
4.3 COORDENADAS DE UN VECTOR
Si el conjunto de vectores { 𝑢⃗ (^) 1 , 𝑢⃗ (^) 2,....... , 𝑢⃗ (^) n } forman una base en el espacio vectorial ( V, + , 𝕂 , ● ) y se denota por: [ ⃗⃗𝑢⃗ ] = { 𝑢⃗ (^) 1 , 𝑢⃗ (^) 2,....... , 𝑢⃗ (^) n }. Sea el vector ⃗⃗𝑥 ∈ V tal que ⃗⃗𝑥 = ( x 1 , x 2 ,...... ... ., xn ) Por tanto el vector lineal: ⃗⃗𝑥 se puede expresar como combinación lineal: ⃗ 𝑥⃗ = x 1 𝑢⃗ (^) 1 + x 2 𝑢⃗ (^) 2 +....... + xn 𝑢⃗ (^) n las coordenadas respecto de la base [ ⃗⃗𝑢⃗ ] será: ⃗ 𝑥⃗ = ( x 1 x 2...... .... xn )1xn [ ⃗⃗𝑢⃗ ] x 1 x 2 ⃗⃗ 𝑥 = [ ⃗⃗𝑢⃗ ] xn nx 1
EJEMPLO:
Forman una base en (ℝ^3 ,+,ℝ) los vectores 𝑢⃗ 1 = (1, 3 , 5 ), 𝑢⃗ 2 = ( 2 , - 2 , 3 ), 𝑢⃗ 3 = ( 3 , 2 ,- 5 ).
¿El conjunto es linealmente independiente?
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𝛼 2 = 0 ⃗ Son Linealmente Independientes
En función de la Base Canónica también se puede analizar si son Linealmente Independientes, Memotécnicamente se conoce como la forma escalonada, los vectores: 𝑢⃗ (^) 1 = (1, 3 , 5 ), 𝑢⃗ (^) 2 = ( 2 , - 2 , 3 ), 𝑢⃗ (^) 3 = ( 3 , 2 ,- 5 )
Se pueden expresar referido a la base canónica en ℝ
3
, de la forma matricial:
La forma escalonada nos dice que los vectores son Linealmente Independientes i) ¿El conjunto tiene Sistema de Generadores?
( x, y, z) = 𝛼 1 (1, 3, 5) + 𝛼 2 (2, - 2, 3) + 𝛼 3 ( 3 , 2 ,- 5 )
( x, y, z) = ( 𝛼 1 + 2 𝛼 2 + 3 𝛼3 , 3 𝛼 1 – 2 𝛼 2 + 2 𝛼3 , 5 𝛼 1 + 3 𝛼 2 – 5 𝛼 3 )
x = 𝛼 1 + 2 𝛼 2 + 3 𝛼 3
y = 3 𝛼 1 – 2 𝛼 2 + 2 𝛼 3
z = 5 𝛼 1 + 3 𝛼 2 – 5 𝛼 3
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
𝛼 1 + 2 𝛼 2 + 3 𝛼 3 = x (1)
3 𝛼 1 – 2 𝛼 2 + 2 𝛼 3 = y (2)
5 𝛼 1 + 3 𝛼 2 – 5 𝛼 3 = z (3)
𝛼 1 + 2 𝛼 2 + 3 𝛼 3 = x
3 𝛼 1 – 8 𝛼 2 – 7 𝛼 3 = y – 3 x
5 𝛼 1 – 7 𝛼 2 – 20 𝛼 3 = z – 5x
𝛼 1 + 2 𝛼 2 + 3 𝛼 3 = x
1 –^8 𝛼 2 –^7 𝛼 3 = y^ –^3 x
111 8
21 8
x –
7 8
y + z – 5x
1 111
( 19 x + 7y – 8z)
1 111
( 25x – 20y + 7z)
1 111
( 4 x + 19y + 10z)
Por ejemplo, en ( ℝ^2 ,+, ℝ ,•) fijemos ahora la base B = { (2,3), (1,–1) } y consideremos el mismo vector 𝑥 = (1,2). Hallemos sus coordenadas en la base B. Expresando como combinación lineal de dicha base: (1,2) = α (2,3) + β (1, – 1) 2 α + β = 1 3 α – β = 2 Resolviendo el sistema: α = 3 5
1 5 𝑥 = 3 5
1 5
3 5
1 5
) son las coordenadas de 𝑥 en la base B
No debe confundirse el vector con sus coordenadas; aquí el vector sigue siendo como 𝑥 = (1,2), y las coordenadas ( 3/5, - 1/5) son un par de números que indican
cómo se expresar 𝑥 como combinación lineal de la base B.
4.5 PROBLEMA DEL CAMBIO DE BASE.
Cambia la base B a otra nueva B´ (desarrollo en ℝ^2 )
Sean B = { 𝑢⃗ 1 , 𝑢⃗ 2 } (base inicial), y B´ = { 𝑢 1 ´
} (base nueva) Se requieren las matrices de coordenadas para los vectores de la base inicial, con relación a la nueva base:
(𝑢⃗ 1 )B
= [
] y (𝑢⃗ 2 )B
= [
]
Por tanto: 𝑢⃗ (^) 1 = a 𝑢 1 ´
+ b 𝑢 2 ´
𝑢⃗ (^) 2 = c 𝑢 1 ´
+ d 𝑢 2 ´
Para todo vector 𝑣 del espacio vectorial tenemos:
( 𝑣) B = [
]
La matriz de coordenadas iniciales, expresamos como:
𝑣 = 𝑘 1 ( a 𝑢 1 ´
+ b 𝑢 2 ´
) + 𝑘 2 ( c 𝑢 1 ´
+ d 𝑢 2 ´
𝑣 = ( 𝑘 1 a + 𝑘 2 c ) 𝑢 1 ´
+ ( 𝑘 1 b + 𝑘 2 d ) 𝑢 2 ´
Por tanto la nueva matriz de coordenadas para 𝑣 será:
( 𝑣) B
= [
]
( 𝑣) B
= [
] [
]
( 𝑣) B
= [
] ( 𝑣) B
Si observamos esta última ecuación afirma que es posibles obtener la nueva matriz
de coordenadas ( 𝑣) B
, multiplicando la matriz de coordenadas iniciales ( 𝑣) B
por la matriz, que llamaremos P:
P = [
]
Es decir, las columnas, son las coordenadas de los vectores de la base inicial, con relación a la nueva base En general, en el proceso de cambio de base podemos indicar que si se cambia la base para un espacio vectorial, de cierta base dada B = { 𝑢⃗ (^) 1 , 𝑢⃗ (^) 2,....... , 𝑢⃗ (^) n }, hacia
