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Estat´ıstica. Curso 2021-2022 1
Bolet´ın 1. Probabilidad
Ejercicio 1 a) ¿De cu´antas maneras se pueden escoger tres cartas, una a una, de una baraja de 40 cartas, seg´un que la extracci´on se realice con reposici´on o sin reposici´on? Si se dan 3 cartas de una s´ola vez a cada jugador: b) ¿Cu´antos grupos distintos de 3 cartas podr´ıa recibir cada jugador? c) ¿Cu´al es la probabilidad de recibir el grupo de cartas as de oros, dos de bastos, rey de copas? d) ¿Cu´al es la probabilidad de que las tres cartas recibidas incluyan el as de oros y el dos de bastos? Rtdos: a) 64000; 59280; b) 9880; c) 1. 01 × 10 −^4 ; d)
- 8 × 10 −^3
Ejercicio 2 a) Determina el n´umero de subconjuntos de tama˜nos 1, 2, 3 y 4 de un conjunto de 4 elementos. b) Repite el punto anterior para un conjunto de 10 elementos. c) Determina el n´umero de subconjuntos de un conjunto de n elementos y aplica el resultado al conjunto {a, b, c, d}. Rtdos: a) 4, 6, 4 y 1; b) 10, 45, 120 y 210; c) 2n^ y 16
Ejercicio 3 Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera. Forma los siguientes sucesos: a) no ocurre A; b) ocurre A u ocurre B; c) ocurren A y B; d) ocurren A y B, pero no C; e) ocurre al menos uno de los tres; f) ocurren al menos dos; g) no ocurre ninguno; h) ocurre uno s´olo de los tres. i) Determina la relaci´on entre los sucesos A y B si siempre que ocurre A, ocurre B.
Ejercicio 4 Sean A, B, y C tres sucesos tales que P (A) = 0. 4 , P (B) = 0. 2 , P (C) = 0. 3 , P (A ∩ B) = 0.1 y (A∪B)∩C = ∅. Apoy´andose en un diagrama de Venn de los sucesos, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) solamente ocurre A; b) los tres sucesos ocurren; c) ocurren A y B, pero no C; d) ocurren dos y no m´as; e) por lo menos ocurren dos; f) no ocurren m´as de dos; g) ocurre por lo menos uno; h) ocurre s´olo uno; i) no ocurre ninguno. Rtdos: a) 0.3; b) 0; c) 0.1; d) 0.1; e) 0.1; f) 1; g) 0.8; h) 0.7; i) 0. 2
Ejercicio 5 Sea Ω espacio muestral y dos sucesos A, B, tales que P (A) = 14 , P (B) = 25 y P (A ∩ B) = 203. a) Averigua si A ∪ B = Ω; b) ¿Son A y B incompatibles? c) ¿Son A y B independientes? d) Calcula: P (A ∩ B¯), P (A ∪ B¯), P (A 4 B), P ( A¯ 4 B). Rtdos: a) no; b) no; c) no; d) 0.1, 0. 75 , 0. 35 , 0. 65
Ejercicio 6 Disponemos de un lote con 4 l´amparas LED de 3 W, 5 de 8 W y 6 de 12 W. Seleccionamos con reemplazamiento 3 unidades. a) Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de las l´amparas seleccionadas sean de 12 W. b) ¿Cu´al es la probabilidad de que las tres l´amparas tengan la misma potencia? c) ¿Cu´al es la probabilidad de seleccionar una l´ampara de cada potencia? d) Si elegimos las l´amparas una a una hasta encontrar una de 12 W, ¿cu´al es la probabilidad de examinar exactamente 6 l´amparas? Rtdos: a) 0.288; b) 0 .12; c) 0.2133; d) 0. 031104
Ejercicio 7 ¿Cu´al es la probabilidad de que un mecanismo no presente aver´ıa alguna en un per´ıodo de tres a˜nos si la probabilidad de que en un a˜no se aver´ıe es 0.20? (se supone independencia en los a˜nos: por ejemplo, si el mecanismo se aver´ıa es reparado perfectamente). Rtdo: 0. 512
Ejercicio 8 Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0.3 y P (B) = 0.5. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos: ocurren A y B; o bien ocurre A o bien ocurre B; ocurre A pero no B; en cada una de las dos siguientes circunstancias: a) los sucesos A y B son incompatibles; b) los sucesos A y B son independientes. Rtdos: a) 0, 0.8, 0.3; b) 0.15, 0.5, 0. 15
Ejercicio 9 En una empresa, el 30% de los vendedores presenta un alto n´umero de ventas semanales, el 50% presenta un numero moderado de ventas semanales, y el 20% restante presenta un n´umero de ventas semanales bajo. La direcci´on de la empresa quiere conocer la capacidad de un test para predecir la eficacia de los vendedores. Con este objetivo, observ´o que el test fu´e superado por el 60% de los vendedores que m´as vend´ıan, por el 25% de los que vend´ıan de manera moderada y por el 5% de los que vend´ıan poco. a) Calcula la probabilidad de que un vendedor escogido al azar supere dicho test. b) Si un vendedor supera el test, ¿cu´al es la probabilidad de que presente un volumen alto de ventas? Rtdos: a) 0.315; b) 0. 571
Ejercicio 10 Un test detecta la presencia de un error milim´etrico en una m´aquina con probabilidad 0.9 en caso de tenerlo. Si no hay error el test detecta la ausencia con probabilidad 0.8. Sabiendo que la probabilidad de que una m´aquina tenga error es 0.2, calcula las siguientes probabilidades: a) La m´aquina tenga error cuando el test ha dado positivo. b) La m´aquina tenga error cuando el test ha dado negativo. c) La m´aquina tenga error
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y el test sea positivo. d) La m´aquina tenga error o el test sea positivo. Rtdos: a) 0.5294; b) 0.0303; c) 0.18; d)
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Ejercicio 11 Un sistema se compone de tres componentes a, b y c, y se sabe que: 1) si a falla, entonces falla b, 2) si b falla, nunca falla c y 3) el sistema falla cuando falla alguno de sus componentes. Si las probabilidades de fallo de a, b y c son 2%, 5% y 3% respectivamente, determina: a) la probabilidad de que falle el sistema, representando gr´aficamente los sucesos involucrados; b) la probabilidad de que el sistema funcione (fiabilidad); c) la probabilidad de que falle el sistema si se consigue que no falle a. Rtdos: a) 0.08; b) 0.92; c) 0. 0612
Ejercicio 12 Una f´abrica tiene dos m´aquinas m 1 y m 2 para producir ciertas piezas. Se sabe que la m´aquina m 1 , que produce 1000 piezas por hora, origina un 5 por mil de piezas defectuosas. Por otra parte, la m´aquina m 2 , que produce 2000 piezas por hora, origina un 3 por mil de piezas defectuosas. Tras incorporar una m´aquina m 3 , que produce 2000 piezas por hora, la empresa constata que la proporci´on de piezas defectuosas en el total de la producci´on es de 4 por mil. a) ¿Qu´e proporci´on de piezas defectuosas produce la m´aquina m 3? b) Si se selecciona una pieza al azar y no es pieza defectuosa, ¿cu´al es la probabilidad de que haya sido fabricada en la m´aquina m 1 o en la m´aquina m 2? Rtdos: a) 0.0045; b) 0. 6002
Ejercicio 13 Una consultora opta a realizar tres proyectos (a, b y c). Las probabilidades de que le asignen cada uno de los proyectos a, b y c son 0. 22 , 0 .25 y 0.28 respectivamente. La probabilidad de que le concedan los proyectos a y b simult´aneamente es 0.11, y la probabilidad de que le concedan los proyectos a y c simult´aneamente es 0.05. Adem´as, si le han concedido el proyecto c, la probabilidad de que le concedan el proyecto b es 0.25. Finalmente, la probabilidad de que le concedan el proyecto a si le han concedido los otros dos es 0.2857. Calcula la probabilidad de que le concedan: a) el proyecto b o el proyecto c; b) los tres proyectos; c) alg´un proyecto. Rtdos: a) 0.46; b) 0.02; c) 0. 54
Ejercicio 14 Un sistema el´ectrico tiene una entrada y una salida conectadas entre si por tres circuitos en paralelo, tal como se ilustra en la figura. El primer circuito tiene un rel´e (R 1 ) que falla con probabilidad 0.1; el segundo circuito tiene dos rel´es en serie (R 2 , R 3 ) que fallan con probabilidad 0.2 y 0.3, respectivamente; y el tercer circuito posee un rel´e (R 4 ) que falla con probabilidad 0.4. El sistema funciona siempre que una se˜nal de entrada salga del sistema utilizando alguno de los circuitos anteriores. Todos los rel´es funcionan de manera independiente. se pide: a) la probabilidad de que falle el segundo circuito; b) la probabilidad de que falle el sistema; c) la probabilidad de que falle el sistema si se garantiza que el rel´e R 3 del segundo circuito funciona. Rtdos: a) 0.44; b) 0.0176; c) 0. 008
entrada R2 R
R
saída
R
Ejercicio 15 Un programa de control de calidad en una l´ınea de montaje de botellas de pl´astico implica inspeccionar las botellas terminadas para detectar fallos, como por ejemplo huecos microsc´opicos. La proporci´on de botellas que tienen alg´un fallo es en realidad s´olo 0.007. Si una botella tiene alg´un fallo, entonces la probabilidad de que no supere la inspecci´on es de 0.98. Por otra parte, si una botella no tiene ning´un fallo, entonces pasar´a la inspecci´on con probabilidad 0.96. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una botella elegida al azar no pase la inspecci´on? b) ¿Son independientes los sucesos “una botella tiene alg´un fallo” y “una botella supera la inspecci´on”? c) Si una botella super´o la inspecci´on, ¿podemos estar seguros de que no tiene ning´un fallo? Calcula la probabilidad correspondiente. Rtdos: a) 0.04658; b) no; c) no, 0.
Ejercicio 16 En una f´abrica de componentes electr´onicas, cuando el proceso de fabricaci´on est´a bajo control se producen el 1% de unidades defectuosas. Por otra parte, si el proceso de fabricaci´on se encuentra fuera de control, entonces se producen un 5% de unidades defectuosas. Por experiencia se sabe que el 95% de las veces el proceso est´a bajo control. a) Si se escoge una unidad y es defectuosa, ¿cu´al es la probabilidad de que el proceso est´e bajo control? b) Se han escogido 10 unidades y una de ellas es defectuosa. Suponiendo que el proceso de fabricaci´on no tuvo un cambio de estado (control/no control) durante la fabricaci´on de estas 10 piezas, ¿cu´al es la probabilidad de que el proceso est´e bajo control? Rtdos: a) 0.7916; b) 0. 8463
Ejercicio 17 Si el nacimiento en cualquier d´ıa del a˜no (no bisiesto) constituye un conjunto equiprobable de sucesos, a) ¿cu´al es la probabilidad de que entre 5 personas no haya coincidencias en el d´ıa del cumplea˜nos? b)
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P(A)=0.
P(B)=0.
P(C)=0.
P(D)=0.
P(E)=0.
a) Calcula las siguientes probabilidades:
a.1) Probabilidad de que al menos uno de los componentes A y B funcione. a.2) Probabilidad de que el sistema funcione (fiabilidad del sistema). a.3) Probabilidad de que funcione el sistema sabiendo que C funciona.
b) Antes de continuar, en la ficha F´ormulas de Excel pon Opciones para el C´alculo en modo Manual. Cada vez que queramos realizar los c´alculos pulsaremos F9. Ahora vamos a simular el funcionamiento del sistema de la siguiente forma:
b.1) En una fila de t´ıtulos escribir en distintas celdas los nombres de los diferentes componentes: A, B, C, D y E. (Cada columna simular´a el comportamiento de cada componente de la siguiente manera: un 1 indicar´a que el componente funciona y un 0 indicar´a lo contrario). b.2) La funci´on ALEATORIO de Excel devuelve un n´umero al azar entre 0 y 1. Utilizando esta funci´on y la funci´on SI, generar para cada componente del sistema 100 n´umeros (0 ´o 1) de acuerdo con las probabilidades de funcionamiento de cada componente, y disponiendo los n´umeros en columna debajo del t´ıtulo correspondiente. b.3) En nuevas columnas contiguas a las anteriores con t´ıtulos “A o B”, “A o B y C” y “sistema” simular el funcionamiento de dichas partes del sistema apoy´andose en las simulaciones del punto anterior. Utilizar para ello las funciones l´ogicas de Excel. Por ejemplo, “A o B” deber´a tomar valor 0 si A y B toman simult´aneamente valor 0, y 1 en caso contrario.
c) Calcular las frecuencias relativas de funcionamiento de “A o B”, del sistema y del sistema cuando C funciona, compar´andolas con las probabilidades calculadas en el apartado (a) de este ejercicio.
