¡Descarga Solución de problemas de cálculo: funciones, series y integrales - Prof. Aro y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
30 minuts I (10 punts) Codi: 240012
Considerem la funci´o
f (x) = x
2 − x arctg x, x ∈ R.
(a) Proveu que f ′(0) = 0.
(b) Proveu que la funci´o derivada f ′(x) ´es creixent.
(c) Demostreu que l’´unic punt cr´ıtic de f (x) ´es x = 0.
(d) Trobeu el desenvolupament de Taylor a l’origen fins l’ordre 4 de f (x).
(e) Estudieu el l´ımit
lim x→ 0
f (x)
xp
segons els valors de p ≥ 0.
Soluci´o.
(a) Calculem f ′(x):
f
′ (x) = 2x − arctg x −
x
1 + x^2
=⇒ f
′ (0) = 0.
(b) Calculem f ′′(x):
f
′′ (x) = 2 −
1 + x^2
(1 + x^2 ) − 2 x · x
(1 + x^2 )^2
2 x^2 (2 + x^2 )
(1 + x^2 )^2
i veiem que f ′′(x) > 0 per a tot x ̸= 0 i f ′′(0) = 0. Com f ′(x) ´es cont´ınua, dedu¨ım que f ′(x) ´es creixent.
(c) Si x ̸= 0 ´es un punt cr´ıtic, aleshores pel teorema de Rolle existiria un punt x′^ entre 0 i x tal que
f ′′(x′) = 0, cosa que ´es absurda perqu´e hem vist que f ′′(x) ̸= 0 per a tot x ̸= 0.
(d) Tenint present el desenvolupament de Taylor de l’arctangent (recordem que arctg′^ x = 1/(1+x^2 ) =
1 − x^2 + R) o b´e fent-ho directament (calculant les derivades de f (x) a l’origen), trobem
f (x) = x
2 − x(x −
x^3
3
+ R 4 ) =
x^4
3
+ R 5 ,
on R 5 ´es el residu.
(e) Es t´e
ℓ = lim x→ 0
f (x)
xp^
= lim x→ 0
x^4
3
+ R
xp^
= lim x→ 0
x^4
3 xp^
d’on resulta que
0 ≤ p < 4 ℓ = lim x→ 0
x^4 −p
3
p = 4 ℓ =
p > 4 ℓ =
lim x→ 0
xp−^4
= +∞ o @
45 minuts II (10 punts) Codi: 240012
Considerem la funci´o f (x) definida per la serie de potencies
f (x) =
∑^ ∞
n=
xn+
(n + 2)(n + 1)
(a) Escriviu els 5 primers termes de la s`erie.
(b) Doneu el valor de f (2012)(0).
(c) Calculeu el radi R de convergencia de la serie i l’interval de converg`encia.
(d) Per x ∈ (−R, R) calculeu f ′(x), f ′′(x), i estudieu l’interval de converg`encia corresponent per cada
derivada.
(e) Sumeu la s`erie f ′′(x) i dedu¨ıu una expressi´o de f (x) en termes de funcions elementals quan x ∈
(−R, R).
Soluci´o.
(a) f (x) =
x^2
2
x^3
3 · 2
x^4
4 · 3
x^5
5 · 4
x^6
6 · 5
(b) Observem que per n ≥ 2, an =
n(n − 1)
, i per tant
f (2012)(0) = 2012!a 2012 =
(c) Calculem el radi de converg`encia pel criteri del quocient
lim n→∞
xn+
(n + 3)(n + 2)
xn+
(n + 2)(n + 1)
= |x| lim n→∞
n + 1
n + 3
= |x| < 1 =⇒ R = 1.
Analitzem els extrems de l’interval de converg`encia:
[x = 1 ]: la s`erie ´es
(n + 2)(n + 1)
, que ´es convergent per comparaci´o amb la serie harmonica d’exponent
[x = −1 ]: la s`erie ´es
∑ (^) (−1)n
(n + 2)(n + 1)
, que ´es absolutament convergent pel cas anterior i, per tant, ´es conver-
gent.
(d) Calculem les derivades de f (x):
f ′(x) =
n≥ 0
xn+
(n + 2)(n + 1)
n≥ 0
(n + 2)xn+
(n + 2)(n + 1)
n≥ 0
xn+
n + 1
f
′′ (x) =
n≥ 0
xn+
n + 1
n≥ 0
(n + 1)xn
n + 1
n≥ 0
x
n .
El radi de convergencia d’aquestes series ´es el mateix que el de f (x), ´es a dir, R = 1. Analitzem els extrems
de l’interval de convergencia per a cadascuna de les dues series:
45 minuts III (10 punts) Codi: 240012
(1) Calculeu la primitiva (^) ∫ 2 x + 5
x(x^2 + 5)
dx.
(2) (a) Considerem la funci´o
f (x) =
x^3
1 − x^2
, 0 < x < 1.
Calculeu el volum del s`olid generat per la regi´o plana delimitada per
a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x),
(sent 0 < a < b < 1) quan gira al voltant de l’eix de les y.
(b) Sigui g(x) la funci´o
g(x) =
x^2
1 − x^2
, 0 < x < 1.
Estudieu la convergencia de les integrals impropies
(b1)
0
g(x) dx, (b2)
1 / 2
g(x) dx, (b3)
0
g(x) dx
Soluci´o. (1) Calculem la descomposici´o en fraccions simples
2 x + 5
x(x^2 + 5)
A
x
Bx + C
x^2 + 5
A(Bx + C) + Bx^2 + Cx
x^2 + 5
que d´ona lloc al sistema lineal
x = 0 : 5 A = 5
x = 1 : 6 A + B + C = 7 x = − 1 : 6 A + B − C = 3
=⇒ A = 1, B = − 1 , C = 2.
Podem ara calcular la primitiva en termes de primitives immediates
∫ 2 x + 5
x(x^2 + 5)
dx =
x
dx +
−x
x^2 + 5
dx +
x^2 + 5
dx
= ln |x| −
2 x
x^2 + 5
dx +
(x/
5)^2 + 1
dx
= ln |x| −
ln(x^2 + 5) +
arctg
x √ 5
(2) (a) Calculem el volum per capes:
V = 2 π
∫ (^) b
a
xf (x) dx = 2π
∫ (^) b
a
x
x^3
1 − x^2
dx = 2π
∫ (^) b
a
x^2
1 − x^2
dx
x = sin t dx = cos tdt
= 2π
∫ (^) arcsin b
arcsin a
cos tdt
sin^2 t cos t
= 2π
∫ (^) arcsin b
arcsin a
sin^2 t
dt
= −ctg t|
arcsin b arcsin a =^ −^
cos t
sin t
arcsin b
arcsin a
1 − x^2
x
b
a
1 − a^2
a
1 − b^2
b
(b) La funci´o g(x) no ´es acotada en el 0 i en l’1 i, per tant, les integrals a estudiar s´on impr`opies en
aquests punts. Observem que la integral de g(x) ´es la integral que hem calculat en l’apartat (a):
∫ (^) b
a
dx
x^2
1 − x^2
1 − a^2
a
1 − b^2
b
Aix´ı que podem analitzar les integrals impr`opies directament:
(b1)
0
dx
x^2
1 − x^2
= lim a→ 0
1 − a^2
a
= @ =⇒ divergent.
(b2)
1 / 2
dx
x^2
1 − x^2
− lim b→ 1
1 − b^2
b
3 =⇒ convergent.
(b1)
0
dx
x^2
1 − x^2
0
dx
x^2
1 − x^2
1 / 2
dx
x^2
1 − x^2
=⇒ divergent.
Observaci´o: L’analisi de la convergencia de les integrals impr`opies de l’apartat (b) es pot fer, tamb´e,
directament pels criteris de comparaci´o.
