Calculo de integrales definidas, Apuntes de Matemáticas

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Tema 9: C´alculo de primitivas. Integrales definidas

e impropias.

Jos´e M. Salazar

Noviembre de 2016

Tema 9: C´alculo de primitivas. Integrales definidas e

impropias.

Lecci´on 11. C´alculo de primitivas. Lecci´on 12. Integral de Riemann y sus aplicaciones.

Introducci´on. Integral de Riemann

Introducci´on Sea y = f (x) definida para todo x ∈ I = [a, b] y acotada. Consideremos una partici´on P de I P ≡ {x 0 = a < x 1 < x 2 < · · · < xn = b} Sean sP =

∑^ n

i=

mi (xi − xi− 1 ), SP =

∑^ n

i=

Mi (xi − xi− 1 )

con mi y Mi el ´ınfimo y el supremo de f en [xi− 1 , xi ].

Introducci´on. Integral de Riemann

Introducci´on Para toda P, sP ≤ SP. Se dice que la partici´on Q es m´as fina que P si contiene a todos los puntos de P. En ese caso, sP ≤ sQ y SQ ≤ SP Para cualesquiera particiones P, Q, ocurre sP ≤ SQ. Sea s el supremo de los sP y sea S el ´ınfimo de los SP. Se tiene s ≤ S.

Definici´on Si s = S, se dice que f es integrable en I. A este n´umero se le llama integral definida de Riemann de f en I y se denota por ∫ (^) b

a

f (x) dx

Sumas de Riemann

Definici´on La partici´on Pn ≡ {a = x 0 < · · · < xn = b} es regular si xi+1 − xi = b−n a.

Teorema Dada f acotada en I = [a, b] y dada la sucesi´on de particiones regulares Pn, f es integrable en I si y s´olo si existe el l´ımite

n^ lim→∞

∑^ n

i= αi ∈[xi− 1 ,xi ]

f (αi )(xi − xi− 1 )

independientemente de los αi elegidos. Dicho l´ımite es

∫ (^) b a f^ (x)^ dx.

A las sumas definidas se las llama sumas de Riemann asociadas a las particiones Pn.

Propiedades

Propiedades Sean f , g : I = [a, b] → R integrables. Entonces:

∫ (^) b a f^ (x) +^ g^ (x)^ dx^ =^

∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ +^

∫ (^) b a g^ (x)^ dx.

∫ (^) b a kf^ (x)^ dx^ =^ k^

∫ (^) b a f^ (x)^ dx.

∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ =^ −^

∫ (^) a b f^ (x)^ dx.

∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ =^

∫ (^) c a f^ (x)^ dx^ +^

∫ (^) b c f^ (x)^ dx^ ∀^ c^ ∈^ [a,^ b].

∫ (^) a a f^ (x)^ dx^ = 0.

1. Si f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b],

∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ ≥^0.

1. Si f ≤ g en [a, b],

∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ ≤^

∫ (^) b a g^ (x)^ dx.

∫ (^) b a |f^ (x)|^ dx^ ≥

∫ (^) b a f^ (x)^ dx

Teorema fundamental del c´alculo

Corolario (Regla de Barrow) Sea f : [a, b] → R continua y sea F (x) una primitiva de f (x) (F ′(x) = f (x) ´o F (x) + C =

f (x) dx). Entonces ∫ (^) b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

Integraci´on por sustituci´on y por partes

Teorema (Integraci´on por sustituci´on) Si x = g (t) con g , g ′^ continuas en [a, b], , y tal que f : g ([a, b]) → R es continua, entonces ∫ (^) b

a

f (g (t))g ′(t) dt =

∫ (^) g (b)

g (a)

f (x) dx

Teorema (Integraci´on por partes) Dadas f , g derivables y con derivadas continuas en I = [a, b], entonces ∫ (^) b

a

f (x)g ′(x) dx = f (b)g (b) − f (a)g (a) −

∫ (^) b

a

f ′(x)g (x) dx

Areas de regiones entre dos curvas^ ´

Aplicaci´on (C´alculo de ´areas entre curvas)

A = A 1 + A 2 + A 3

∫ (^) c a (f^ (x)^ −^ g^ (x))^ dx^ +^

∫ (^) d c (g^ (x)^ −^ f^ (x))^ dx^ +^

∫ (^) b d (f^ (x)^ −^ g^ (x))^ dx =

∫ (^) b a |f^ (x)^ −^ g^ (x)|^ dx

Ejemplo

Ejemplo Calc´ulese el ´area encerrada entre las gr´aficas de las funciones f (x) = 3x^3 − x^2 − 10 x y g (x) = −x^2 + 2x.

Se igualan f (x) y g (x) obteni´endose los cortes en x = − 2 , 0 , 2. Se comprueba que f − g toma valores positivos en (− 2 , 0) y negativos en (0, 2), de manera que el ´area es

A =

− 2

f (x) − g (x) dx +

0

g (x) − f (x) dx = 24

Ejemplo

Ejemplo

Calc´ulese el ´area encerrada por la elipse de ecuaci´on x

2 a^2 +^

y 2 b^2 = 1 sabiendo que x = a cos t y que y = b sin t.

Se tiene que el ´area es

A = 4

π/ 2

(b sin t)(−a sin t) dt = πab

Vol´umenes

Definici´on (Volumen) Sea S un s´olido entre x = a y x = b. Si las ´areas de las secciones planas de S perpendiculares al eje x determinan una funci´on continua A(x), el volumen de S es

V = lim n→∞

∑^ n

i= αi ∈[xi− 1 ,xi ]

A(αi )(xi − xi− 1 ) =

∫ (^) b

a

A(x) dx

donde las sumas de la igualdad son sumas de Riemann asociadas a particiones regulares Pn.

Vol´umenes

Aplicaci´on (Volumen de un s´olido de revoluci´on) El volumen del s´olido de revoluci´on que genera al girar sobre el eje OY el recinto encerrado por x = f (y ), el eje 0 Y y las rectas y = c y y = d viene dado por la f´ormula

Vy = π

∫ (^) d

c

(f (y ))^2 dy

x = f (y)

d

c

Longitudes de arco

Aplicaci´on (Longitud de arco) Longitudes de arco. La longitud de un arco de la curva y = f (x) entre x = a y x = b, con f derivable y f ′^ continua en [a, b], es

Lf =

∫ (^) b

a

1 + (f ′(x))^2 dx

a (^) b

y = f (x) L