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Descomposición elemental (ajustes por constantes)
OBSERVACIONES
**1. Las primeras integrales que aparecen se han obtenido del libro de Matemáticas I (1º de Bachillerato) McGraw-Hill, Madrid 2007.
- Otros problemas se han obtenido de las Pruebas de Selectividad.**
Algunas integrales con solución.
1. x dx = x + c
2 3
3
2. c
x x dx = +
3 2
3. x c
x x − dx = − +
3 2
4. − dx =− x + c
5. x − x + dx = x − x + x + c
2 3 2
6. x c
x x − dx = − +
4 3
7. x c
x − x + x − dx =− x + − +
2 2 3
8. dx x x c
x = + +
9. x x c
x dx
x x = − + +
2 3
10. x + x − dx = x + x − x + c
11. x x − x + dx = x − x + x + c
2 4 3 2 3 ( 4 3 4 ) 3 3 6
12. x x − dx = x − x + c
2 4 3
3
x x dx
2 ( 3 5 ) x − x + x + c
4 3 2
2
14. c
x
dx x
2
15. (^) c
x
dx x
16. c
x
dx x
17. c
x
dx x
18. x xdx = x + c
5 / 2
5
19. dx x c x
x = +
1 / 2 2
20. (^) dx x c
x
x = +
3 / 2
3
21. dx x c x
3 ln
22. dx x c x
3 ln( 1 ) 1
23. dx x c x
ln( 2 1 ) 2
24. dx x c x
ln( 2 1 ) 2
25. dx x x c x
x = + +
3 4 ln
26. x x c
x dx x
x x = − + +
ln 3
2 2
27. c
x x dx +
5 4
28. c
x x x dx +
3 6 3 5 2
29. dx x c x
x = + +
ln( 6 ) 6
2
30. xdx sen x c x
cos 2
31. dx x c x
6 ln( 3 1 ) 3 1
- dx x c x
x = + +
ln( 6 ) 2
2 2
33. dx x x c x x
x = − + −
ln( 3 ) 3
2
34. e dx e c
x x = +
35. e dx e c
x x = +
3 3 6 2
36. e dx e c
x x = +
3 3
3
37. e dx e c
x x = +
2 3 2 3 4 2
38. e dx e x c
x x − = − +
39. c
x e xdx e
x x
2 2 2
40. e xdx e x c
x x
2 2 2 2 ( )
41. dx e x c
e x x
x
= + +
2 2
2
42. xdx = senx + c
2 cos 2
43. xdx = sen x + c
cos 2
44. − x dx =− sen x + c
( 5 cos 3 )
45. dx sen x c
x = +
cos 4
46. sen xdx =− x + c
3 3 cos 3
47. sen xdx =− x + c
cos 4 2
48. − sen xdx = x + c
cos 5 5
49. sen xdx =− x + c
cos 3
50. + tag xdx = tagx + c
2
53. dx tagx c x
∫ cos^2
54 tagxdx =− x + c
lncos
Integrales resueltas
1. Calcula
dx x
x x
Solución:
Descomponiendo la expresión del integrando:
x x
x
x
x
x
x x
Por tanto: dx x x c x
dx x
x x = + + +
NOTA: La integral dx
∫ x + 1
es inmediata, pues dx x c x
dx x
2. De una función y = f ( x ), x > −1, sabemos que tiene por derivada x
a y
´ , donde a es
una constante. Determina la función si, además, sabemos que f ( 0 )= 1 y f ( 1 )=− 1.
Solución:
La función y = f ( x )es una primitiva x
a y
Por tanto,
= dx x
a f x 1
( ) = a ln( 1 + x )+ k , siendo k una constante.
De f ( 0 )= 1 ⇒ a ln( 1 + 0 )+ k = 1 ⇒ k = 1. Luego f ( x )= a ln( 1 + x )+ 1
6. Calcula la primitiva de la función ( ) 1
2 f x = x x − que se anula en el punto de abscisa x =
Solución:
Sea ∫
F ( x )= x x − 1 dx
2 la primitiva buscada.
∫
F ( x )= x x − 1 dx
2
∫
x x − dx
2 1 / 2 ( 1 ) =^ ∫
x x − dx
2 1 / 2 2 ( 1 ) 2
c
x c
x
2 3 / 2 2 3 / 2
= c
x
2 3
Si se anula para x = 2 ⇒ 0
3
2 3
F = c ⇒ 0 3
Luego, 3
3
2 3
−
x F x
7. Dada la función
5 4
2 −
x
x f x :
a) Calcula la integral ∫
f ( x ) dx.
b) Halla la primitiva F de f que cumple que F ( 1 )= 1.
Solución:
a) Ajustando constantes se tiene:
∫
f ( x ) dx = dx x c
x
x dx
x
x = − +
−
∫ ∫
2
2 2
b) Como F x = 5 x − 4 + c
5
2 , para que F ( 1 )= 1 se tendrá:
2 F = − + c = ⇒ 1 5
c =
Por tanto, la primitiva buscada es 5
2 F x = x − +
8. Calcular ∫ − +
dx x x
x
2
2
.
Solución :
Primera descomposición:
2 2
2
2
2
x x
x
x x
x x x
x x
x
La segunda fracción:
2 2 2 − +
x x x x
x
x x
x
Y, por último:
2 2 2 2
x − x + x x x
Por tanto, la integral pedida es:
dx x x
x
2
2
=
x
2 2
= c
x x Lx x arctag +
2
13. Calcular ∫
x x + 1 dx
2 .
Solución :
Haciendo x + 1 = t ⇒
2 2 ( 1 )
x t
x t
dx dt
Luego:
∫
x x + 1 dx
2 = (^) ( t 2 t 1 ) t dt ( t 2 t t ) dt
2 1 / 2 5 / 2 3 / 2 1 / 2 − + = − + ∫ ∫
= t − t + t + c = x + − x + + x + + c
7 / 2 5 / 2 3 / 2 7 / 2 5 / 2 3 / 2 ( 1 ) 3
15. De todas las primitivas de la función (^) ( ) 2 tan( )sec ( )
2 f x = x x , hállese la que pasa por el
punto P(π/4, 1).
Solución:
Como debería saberse, sec
2 (x) = 1 + tan
2 (x). En consecuencia:
x x dx ∫
2 tan( )sec ( )
2 = x x dx ∫
2 tan( )[ 1 + tan ()]
2
Haciendo el cambio tan(x) = t ⇒ [1 + tan
2 (x)]dx = dt, luego
x x dx ∫
2 tan( )[ 1 + tan ( )]
2 = t dt = t + c = x + c ∫
2 tan ( )
2 2
Para que pase por P(π/4, 1) → tan
2 (π/4) + c = 1 ⇒ 1 + c = 1 ⇒ c = 0.
La primitiva buscada es 2 tan( )sec ( ) tan ( )
2 2 x xdx = x ∫
Integración por partes
16. Describir en qué consiste el método de integración por partes para el cálculo de
primitivas. Aplicar dicho método para calcular las siguientes primitivas:
∫
I = xe dx
2 x
∫
J = x ln( x ) dx
Solución:
El método de integración por partes puede usarse para la integración de un producto de
funciones. Su regla se obtiene como sigue:
Sean u y v las funciones.
Diferenciando: d ( uv )= udv + vdu
Integrando: ∫ ∫ ∫
d ( uv )= udv + vdu ⇒ ∫ ∫
uv = udv + vdu
Despejando: ∫ ∫
udv = uv − vdu
Aplicación a los casos planteados:
∫
I = xe dx
2 x
Tomando: u = x ⇒ du = dx
e dx dv
x
2 ⇒ ∫ ∫
e dx = dv
2 x ⇒
x v e
2
2
Se tiene: ∫
I = xe dx
2 x
∫
xe − e dx
2 x 2 x
2
= xe e c
x x − +
2 2
4
∫
J = x ln( x ) dx
Tomando: u = x lnx ⇒ du = (lnx +1)dx
dv = dx ⇒ v = x
Luego, ∫
J = x ln( x ) dx = ∫ ∫ ∫
x ln x − ( x ln x + x ) dx = x ln x − x ln xdx + xdx
2 2 ⇒
∫
x ln xdx = c
x x x − + 2
ln
2 2
De donde, ∫
J = x ln( x ) dx = c
x x x − + 4
ln 2
2 2
17. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
∫
ln( x + 1 ) dx
Solución:
∫
ln( x + 1 ) dx se hace por partes, tomando:
u = ln (x + 1) ⇒ dx x
du 1
dv = dx ⇒ v = x
Luego, ∫
bxe dx
ax
ax ax ax ax e a
b xe a
b e dx a
b e a
bx 2
∫
Para ∫
x e dx
2 ax hacemos
u = x
2 ⇒ du = 2 xdx
dv e dx
ax = ⇒
ax e a
v
Luego ∫ ∫
= − e dx a
x e a
x x e dx
ax ax^2 ax
2 2
La segunda integral es idéntica a (*) para
a
b
= −. Por tanto
∫ ∫
= − e dx a
x e a
x x e dx
ax ax^2 ax
2 2 =
ax ax ax e a
xe a
e a
x
2 3
2 2 2 − +
Teniendo en cuenta todos los resultados,
∫
e x + bx + cdx
ax ( )
2 = e k a
c e a
b xe a
b e a
xe a
e a
x (^) ax ax ax ax ax ax + +
2 3 2
2 2 2 =
= e k a
ab ac x a
ab
a
x (^) ax
3
2
2
2 2 2
20. Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f ( x )= x ( 1 −ln x ), donde ln x es logaritmo
neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 1) (3 puntos)
Solución:
∫
F ( x )= x ( 1 −ln x ) dx
Hacemos ∫
x ln xdx por partes:
u = x lnx ⇒ du = (lnx +1)dx
dv = dx ⇒ v = x
Luego, ∫
x ln xdx = ∫
x ln x − ( x ln x + x ) dx
2 ⇒ 2 ∫
x ln xdx = 2
ln
2 2 x x x −
De donde, ∫
x ln xdx = 4
ln 2
2 2 x x x −
Con esto:
∫
F ( x )= x ( 1 −ln x ) dx = x x c
x c
x x x
x − + + = − ln + 2
ln 2
2
2 2 2
2
Como el punto (1, 1) es de F(x), se cumple que:
= − ln 1 + c 2
c =
Por tanto, la primitiva pedida es
4
ln 2
2
2
= − x x +
x Fx
Descomposición en fracciones simples
21. Halla la integral indefinida
∫ (^) x^2 + x − 6
dx
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
2
B
x
A
x x
x x
Ax Bx
Luego:
1 = A ( x + 3 )+ B ( x − 2 )
si x = 2: 1 = 5A ⇒ A = 1/
si x = –3: 1 = –5B (^) ⇒ B = −1/
Por tanto:
∫ (^) x^2 + x − 6
dx
∫ ∫ ∫ +
dx x
dx x
dx x x 3
= x − − ln( x + 3 )+ c 5
ln( 2 ) 5
22. Calcula dx
x
∫ − 1
2
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
2
− x
B
x
A
x
2 −
x
Ax B x
Luego:
2 = A ( x + 1 )+ B ( x − 1 )
si x = 1: 2 = 2A ⇒ A = 1
si x = –1: 2 = −2B ⇒ B = − 1
Con esto:
∫ ∫ ∫
dx x
dx x
dx x^1
2
= ln( x − 1 )−ln( x + 1 )+ c
23. Calcula: ∫ −
dx x
2 1
Solución :
(Observa que es casi igual que la anterior.)
Descomponiendo en fracciones simples,
∫ −
dx x
2 1
= dx L x L x c x
dx x
∫ (^) − ∫
26. Se consideran las funciones reales ( ) 12 8 9 5
3 2 f x = x − x + x − y ( ) 6 7 2
2 g x = x − x +.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función
( )
g x
f x .
b) Calcular la función ∫
= dx gx
f x H x ( )
( ) que cumple^ H (1) = 1.
Solución:
a) La función
6 7 2
2
3 2
x x
x x x
gx
f x F x :
tiene una asíntota oblicua, pues el grado del numerador es uno más el grado del denominador;
puede tener asíntotas verticales en los ceros del denominador; en las soluciones de
2 x − x + = , que son x = 1/2 y x = 2/3.
Las asíntotas verticales se confirman, pues
2
3 2
1 / (^2) x x
x x x lím x
y =∞ − +
2
3 2
2 / (^3) x x
x x x lím x
La asíntota oblicua puede calcularse dividiendo:
La asíntota es la recta y = 2x + 1.
b) Por la división anterior, sabemos que
6 7 2
2 − +
x x
x x gx
f x .
Si tenemos en cuenta que ( 6 7 2 )´ 12 7
2 x − x + = x − ,
∫
= dx gx
f x H x ()
∫
x x 6 7 2
2
= x + x +ln( 6 x − 7 x + 2 ) + c
2 2
Si H (1) = 1 ⇒ 1 + 1 + ln 1 + c = 1 ⇒ c = −1.
Por tanto, ( ) ln( 6 7 2 ) 1
2 2 H x = x + x + x − x + −
27. Calcula la siguiente integral: ∫ (^) +
dx x
x
3 ( 1 )
Solución:
Por descomposición en fracciones simples se tiene:
3 2 3 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( + 1 )
C
x
B
x
A
x
x
3
2
x
Ax Bx C
Por tanto,
12x
3 −8x
2 9x (^) − 5 6x
2 −7x 2
−12x
3 +14x
2 −4x 2x^ + 1
6x
2 5x (^) − 5
−6x
2 +7x (^) − 2
12x − 7
x = A ( x + 1 ) + B ( x + 1 )+ C
2 = ( 2 ) ( )
2 Ax + A + Bx + A + B + C
Identificando coeficientes se tiene el sistema,
A B C
A B
A
⇒ A = 0, B = 1, C = − 1
Luego 3 2 3 ( 1 )
x + x x
x , de donde
∫ (^) +
dx x
x
3 ( 1 )
= dx x
dx x
dx ∫ (^) x x ∫ ∫ +
2 3 2 3 ( 1 )
= c x (^) x
2 2 ( 1 )
Las dos últimas integrales son inmediatas, pues ( )
( )
1
∫ (^) n
f x f x f x dx
n n
. Ahora basta
con escribir ( ) ∫ ∫ ∫ ∫
− (^) − = + − +
dx x dx x dx x
dx x
(^23) 2 3
