¡Descarga Análisis de la rapidez de convergencia a cero de funciones infinitas en x0 - Prof. Martíne y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
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UMÕM Ü v* Ü !Tw**
Ï ü!ÕüTÜ*Ü M Ü vÕM v
¬TuÜM
Comenzamos con un resumen de las propiedades algebraicas de operaciones sobre l´ımites.
Proposici´on. Sean f , g y x ª
tales que lim
x→x ª
f (x) y lim
x→x ª
g(x) existen y son finitos. Entonces,
-... lim x→x ª
[ f (x) ± g(x)] = lim x→x ª
f (x) ± lim x→x ª
g(x);
-... lim
x→x ª
[c ⋅ f (x)] = c ⋅ lim
x→x ª
f (x), para cada c ∈ R;
-... lim
x→x ª
[ f (x) ⋅ g(x)] = lim
x→x ª
f (x) ⋅ lim
x→x ª
g(x);
-... lim x→x ª
f (x)
g(x)
lim x→x ª
f (x)
lim x→x ª
g(x)
, si g(x) ≠ ª y lim x→x ª
g(x) ≠ ª;
-... lim x→x ª
[ f (x)]
g(x)
= [lim x→x ª
f (x)]
lim x→x ª
g(x)
, si f (x) > ª y ℓ
f
En los casos en que bien lim x→x ª
f (x) o lim
x→x ª
g(x) o ambos son infinitos, solo se pueden dar algunos resultados
parciales sobre la aritm
etica de los l
ımites. En las expresiones siguientes, ℓ ∈ R es un l
ımite finito, y +∞, −∞ y ª
indican siempre comportamientos de l´ımites de funciones, no nu´meros.
- ℓ ⋅ (+∞) = +∞ si ℓ > ª (y todas las otras combinaciones segu´n los signos de ℓ ≠ ª y de ±∞)
ℓ
ª
= +∞ si ℓ > ª (y todas las otras combinaciones segu´n los signos de ℓ ≠ ª y de ª
±
ℓ
±∞
Trataremos m
as tarde los casos +∞ − ∞, ª ⋅ (±∞),
ª
ª
±∞
±∞
, Ï
±∞
ª
y (+∞)
ª
, conocidos como indeterminaciones.
El l´ımite depende de la rapidez relativa de convergencia a cero y de divergencia al infinito, y la comparaci´on de estos
valores en torno a cero e infinito constituye una herramienta importante en muchas aplicaciones del c´alculo.
} TTTuÕM Ü TTTu
ÜMTÕM Ü Õ!Ü TÜ!TÕ!, MnüÜ!TÕ! Ü v TMÕ Õ!Ü
Dada una funci´on f (x) y un x ª
en su dominio (o en el borde del mismo, incluyendo infinito), decimos que f es
infinit´esima (o un infinite´simo) en x ª
si lim
x→x ª
f (x) = ª; f es infinita (o un infinito) en x
ª
si lim
x→x ª
f (x) = ∞.
Comencemos comparando infinitos. Sean f , g funciones infinitas en x ª
. Para conocer la rapidez relativa de diver-
gencia al infinito hay que evaluar el l´ımite: lim x→x ª
f (x)
g(x)
. Si este l´ımite no existe, se dice que f y g son infinitos no
comparables en x ª
. Si el l´ımite existe, distinguimos los casos siguientes:
ª f es un infinito de orden inferior a g en x
ª
, o f diverge ma´s lentamente ;
ª < k < ∞ f y g son infinitos del mismo orden en x
ª
, o f y g divergen con la misma rapidez;
∞ f es un infinito de orden superior a g en x
ª
, o f diverge ma´s r´apidamente que g.
Ï
Ejemplo Ï. Por ejemplo, para comparar la rapidez de divergencia al infinito de f (x) = }ªªªx
}
y g(x) = x
k
cuando
x → +∞, calculamos el l´ımite de la raz´on entre f y g:
lim
x→+∞
}ªªªx
}
x
k
= lim
x→+∞
x
habiendo usado la convenci´on
ℓ
∞
Por tanto, podemos decir que f (x) = }ªªªx
}
es un infinito de orden inferior a g(x) = x
k
para x → +∞ o bien que
g(x) = x
k
es un infinito de orden superior a f (x) = }ªªªx
}
para x → +∞.
Ejemplo }. A partir de las definiciones de infinito y de funcion´ divergente, vemos que las funciones f (x) = }x +
x sin(x) y g(x) = x son infinitos en x ª
= +∞. Si las comparamos,
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
}x + x sin(x)
x
= lim
x→+∞
(} + sin(x)),
que no existe. Por lo tanto, f y g sin infinitos no comparables en x ª
Sean ahora f , g funciones infinit´esimas en x ª
∈ D. Ahora la cuesti´on es saber si podemos “medir” la rapidez relativa
de convergencia a ª entre f y g. Como antes, vamos a evaluar el l´ımite: lim x→x ª
f (x)
g(x)
. Si este l´ımite no existe, se dice
que f y g son infinitesimos no comparables en x ª
. Si el l´ımite existe, distinguimos los casos siguientes:
ª f es un infinit´esimo de orden superior a g en x ª
, o f converge a cero ma´s r´apidamente que g ;
ª < k < ∞ f y g son infinite´simos del mismo orden en x
ª
, o f y g van a ª con la misma rapidez;
∞ f es un infinit´esimo de orden inferior a g en x
ª
, o f converge a ª m´as lentamente que g.
Consideremos otra vez f (x) = }ªªªx
}
y g(x) = x
k
pero examinemos sus comportamiento cuando x → ª
y
ambas funciones convergen a ª.
lim
x→ª
}ªªªx
}
x
k
= lim
x→ª
x
habiendo usado la convenci´on
ℓ
ª
Por tanto, podemos decir que f (x) = }ªªªx
}
es un infinit´esimo de orden inferior a g(x) = x
k
para x → ª
o bien
que g(x) = x
k
es un infinit´esimo de orden superior a f (x) = }ªªªx
}
para x → ª
Ejemplo k. Se puede demostrar que f (x) = x
}
sin
Ï
x
es un infinit´esimo en x ª
= ª porque lim x→ª
x
}
sin
Ï
x
Por otro lado, vemos que g(x) = x
}
tambi´en es un infinite´simo en x
ª
= ª, ya que lim
x→ª
x
}
= ª. Si los comparamos,
lim
x→ª
f (x)
g(x)
= lim
x→ª
x
}
sin
Ï
x
x
}
= lim
x→ª
sin
Ï
x
que no existe. Por lo tanto, f y g son infinite´simos no comparables en x ª
Problema . Demostreu que les funcions f (x) =
kx
k
−x+
x−}
i g(x) = − 9 x
}
- x − Ï} son in´ finits del mateix ordre quan
x → +∞.
Hem de demostrar que lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= k ∈ R
f (x) ∼
x→+∞
f (x) =
kx
k
x
= kx
}
i g(x) ∼
x→+∞
g(x) = − 9 x
}
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
kx
}
− 9 x
}
= lim
x→+∞
k
k
= k ∈ R
Observacion.´ Si f (x) ∼ x→x ª
f (x) y g(x) ∼
x→x ª
g˜(x), entonces
f (x) ⋅ g(x) ∼
x→x ª
f (x) ⋅
g(x) y
f (x)
g(x)
x→x ª
f (x)
g ˜(x)
En general, f (x) + g(x) ~∼ x→x ª
f (x) +
g(x).
Ejemplo C. Si f (x) = kx
}
f (x) = kx
}
}
y
g(x) = −kx
}
f (x) ∼
x→+∞
f (x), y g(x) ∼
x→+∞
g(x)
porque
lim
x→+∞
f (x)
f (x)
= lim
x→+∞
kx
}
kx
}
= lim
x→+∞
k
k +
Ï
x
= Ï
y an´alogamente para g y
g.
Se puede comprobar que f (x) ⋅ g(x) ∼ x→+∞
f (x) ⋅
g(x) y
f (x)
g(x)
x→+∞
˜
f (x)
g ˜(x)
. Por otro lado,
lim
x→+∞
f (x) + g(x)
f (x) + g˜(x)
= lim
x→+∞
kx
}
− kx
}
kx
}
}
= lim
x→+∞
}x
= lim
x→+∞
ª = ª ≠ Ï,
y por lo tanto f (x) + g(x) ~∼ x→+∞
f (x) + g˜(x).
Como veremos en m´as detalle en la siguiente secci´on, en este ejemplo hemos comprobado que la suma de dos
infinitos es as
ıntotica al infinito de orden superior: lim x→+∞
kx
}
= +∞ y lim x→+∞
x = +∞, por lo tanto kx
}
y x son
infinitos cuando x → +∞; el infinito kx
}
es el de orden superior de los dos; y hemos visto que kx
}
x→+∞
kx
}
al demostrar que f (x) ∼ x→+∞
f (x). Con las mismas funciones podemos comprobar que la suma de infinit
esimos
es as´ıntotica al infinit´esimo de orden inferior: lim x→ª
kx
}
= ª y lim
x→ª
x = ª, por lo tanto kx
}
y x son infinit´esimos
cuando x → ª; el infinit´esimo x es el de orden inferior de los dos; y
lim
x→ª
kx
}
x
= lim
x→ª
kx + Ï
Ï
= Ï,
es decir, kx
}
x→ª
x.
vnvÕ Ü v¬TuÜM Ü üÕvTÕTÕM nTÕÜM !TÕvÜM Ü TuÜ !Üv*TÕÜM MTuÕuTM
Sea f (x) = a n
x
n
n−Ï
x
n−Ï
+... + a
Ï
x + a
ª
un polinomio de grado n. Como el polinomio es una funcion´ continua,
los l´ımites en puntos finitos se calculan de forma trivial. Los u´nicos limites no triviales son los l´ımites para x → ∞
porque se puede presentar la forma de indeterminaci
on +∞−∞. Por ejemplo: f (x) = }x
}
−kx +Ï presenta la forma
de indeterminacion´ +} ⋅ ∞ − k ⋅ ∞ + Ï = +∞ − ∞, gracias a las formulas de aritmetizacion p´ arcial del ∞.
Para entender c´omo analizar esos limites, vamos a reescribir f (x) utilizando x
n
como factor com´un:
f (x) = x
n
a
n
n−Ï
x
n−Ï
x
n
+... + a
Ï
x
x
n
a
ª
x
n
o sea
f (x) = x
n
a n
a
n−Ï
x
a
Ï
x
n−Ï
a
ª
x
n
As´ı, f (x) se expresa como un producto; sabemos que si tomamos el l´ımite para x → ∞ de f (x), ´este sera e´ l producto
de los l´ımites de los dos factores. El l´ımite del factor contenido entre par´entesis es evidentemente a n
y por lo tanto:
lim
x→x ª
f (x) = lim
x→∞
a
n
x
n
entonces
lim x→∞
f (x)
lim x→∞
a n
x
n
= Ï, pero de
lim x→∞
f (x)
lim x→∞
a n
x
n
= lim x→∞
f (x)
a n
x
n
se sigue que
a
n
x
n
n−Ï
x
n−Ï
+... + a
Ï
x + a
ª
x→∞
a
n
x
n
es decir: un polinomio es asint´otico, para x → ∞, a su t´ermino de grado m´aximo, o sea, a n
x
n
+a
n−Ï
x
n−Ï
+.. .+a
Ï
x+a
ª
diverge al infinito con la misma rapidez que a n
x
n
, independientemente de cua´n grandes sean los coeficientes de las
potencias de x de grado inferior a n.
Una consecuencia inmediata es la siguiente:
a
n
x
n
n−Ï
x
n−Ï
+... + a
Ï
x + a
ª
b
m
x
m
m−Ï
x
m−Ï
+... + b
Ï
x + b
ª
x→∞
a
n
x
n
b
m
x
m
a
n
b
m
x
n−m
Ejemplo: calcular lim x→∞
kªx
+}ªªªx
}
+ʪ
− 9 x
Ê
−
√
}x
. Tenemos que
kªx
}
+ ʪ
− 9 x
Ê
}x
x→±∞
kª
x
−
x→±∞
entonces lim x→±∞
kªx
+}ªªªx
}
+ʪ
− 9 x
Ê
−
√
}x
Ejemplo: calcular lim x→∞
−x
+x
k
+Êx
kx
−Ïx
}
. Tenemos que
−x
k
kx
− Ïx
}
x→±∞
Ï
k
x
ª
Ï
k
x→±∞
Ï
k
Con la misma tec´nica utilizada para determinar los resultados arriba, se demuestra que la suma de infinitos es
asinto´tica al infinito de orden superior y la suma de infinite´simos es asintotica al infinit´esimo de orden inferior.
nTÕÜM ÜüÕÜT*vÜM
Una funcion´ f se dice exponencial con base a si f (x) = a
x
a es el factor multiplicativo en el que la funci´on cambia cuando x aumenta en una unidad. Si a > Ï entonces tenemos
crecimiento exponencial y si a < Ï entonces tenemos decaimiento exponencial.
Siempre que a > ª, la funcion´ exponencial esta defi´ nida para todos los nu´meros reales. Por conveniencia, supone-
mos tambi´en que a ≠ Ï.
Es un ejercicio ut´il verificar que a se puede relacionar con el porcentaje de crecimiento o decaimiento. Por ejemplo,
si a = Ï.ªk, f crece al kì; si a = ª., f decrece al ì por unidad de tiempo.
La funcion´ exponencial es siempre positiva, es decir a
x
ª. Adem´as, tenemos que lim
x→−∞
a
x
es +∞ si a < Ï y ª
si a > Ï. De una manera an´aloga, lim x→∞
a
x
es ª si a < Ï e ∞ si a > Ï.
Cuanto mayor sea a, m
as r
apido se acercar
a la funci
on a +∞ y cuando m
as peque
no sea a, m
as r
apidamente se
acercara´ la funcion´ a ª. En t´erminos de infinitos e infinit´esimos, decimos que b
x
es un infinito de orden superior a
a
x
si b > a y que b
x
es un infinit´esimo de orden superior si b < a.
La funci´on exponencial es c´oncava para cualquier valor de a. Claramente, es creciente si a > Ï y decreciente si a < Ï.
Este comportamiento se puede verificar a trav´es de sus derivadas: f
′
(x) = a
x
ln a y f
′
(x) = a
x
(ln a)
}
Para calcular la derivada de la funcion´ exponencial se usa la identidad a
x
= e
x ln a
, en la que se expresa la exponencial
en base e, donde e = }. 9 ÏÊ}ÊÏÊ}ÊC.... Observemos que cuando a > Ï, ln a > ª y cuando a < Ï, ln a < ª, o en otras
palabras e
kx
es creciente cuando k > ª y decreciente cuando k < ª.
a
x
p
= p log
a
x;
a
a
x
= x;
log
a
x
= x;
a
x =
ln x
ln a
Problema 9. Calculem les derivades de les funcions seg¨uents:
(a) f (x) = e
x
x+Ï (b) f (x) = sin
√
9 x−}
(kx
}
− Ï)
Soluci´o. (a) Per a la funci´on f (x) = e
x
x+Ï , i en general per resoldre derivades on hi apareixen expressions exponenci-
als, resulta ´util fer servir logaritmes. En aquest cas podem fer: ln f (x) = ln e
x
x+Ï
. Per tant, ln f (x) =
x
x + Ï
i, derivant
els dos membres d’aquesta igualtat, obtenim:
f
′
(x)
f (x)
x
x + Ï
′
Ï ⋅ (x + Ï) − x ⋅ Ï
(x + Ï)
}
Ï
(x + Ï)
}
Finalment, f
′
(x) = f (x).
Ï
(x + Ï)
}
e
x
x+Ï
(x + Ï)
}
(b) Per la funci
o f (x) = sin
√
9 x−}
(kx
}
− Ï), i en general per resoldre derivades com aquesta, en la que hi apareix una
expressi´o de la forma f (x)
g(x)
, podem prendre logaritmes en els dos membres de la igualtat. Llavors tenim:
ln( f (x)) = ln(sin
√
9 x+}
(kx
}
− Ï)) =
9 x + } ln(sin(kx
}
− Ï)).
Derivant els dos membres de la igualtat obtenim:
f
′
(x)
f (x)
9 ln(sin(kx
}
− Ï))
9 x + }
Cx
9 x + } cos(kx
}
− Ï)
sin(kx
}
− Ï)
I, per tant,
f
′
(x) = sin
√
9 x−}
(kx
}
− Ï) ⋅
9 ln(sin(kx
}
− Ï))
9 x + }
Cx
9 x + } cos(kx
}
− Ï)
sin(kx
}
− Ï)
Observaci
on. M
es en general, el truc per derivar f (x)
g(x)
es rescriure aquesta expressi
o amb una exponencial:
f (x)
g(x)
= e
ln f (x)
g(x)
= e
g(x) ln f (x)
llavors:
[ f (x)
g(x)
]
′
= [e
g(x) ln f (x)
]
′
= e
g(x) ln f (x)
g
′
(x) ln f (x) +
g(x) f
′
(x)
f (x)
Problema Ê. Calcula els l´ımits segu¨ents.
(a) lim
x→+∞
}x
k
(x + Ï)
k
(c) lim
x→+∞
x
x (e) lim
x→−∞
lne
x
}
k
x
}
− Ê
(b) lim
x→+∞
x
− x
x+Ï
(d) lim
x→+∞
Ï
(k + sin(}x))
x
(f) lim
x→−∞
e
x k
x + Ï
Soluci´o. (a) Escrivim
lim
x→+∞
}x
k
(x + Ï)
k
= lim
x→+∞
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
x→+∞
x
k
x
k
Tots els altres termes del desenvolupament de (x + Ï)
k
s´on infinits d’ordre inferior.
(b) En aquest cas,
lim
x→+∞
x
− x
x+Ï
= lim
x→+∞
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
x→+∞
x
x+Ï
Ï
x+Ï−
x
Ï
(c) Ara, reescrivim
x
x com:
x
x = x
Ï
x = e
ln x
Ï
x
= e
Ï
x
ln x
lim
x→+∞
Ï
x
ln x = ª
perqu`e ln x ´es un infinit d’ordre inferior respecte d’x quan x → +∞, la qual cosa implica que
lim
x→+∞
x
x = lim
x→+∞
e
ª
ln x
x = e
ª
= Ï
De fet, la t`ecnica d’escriure f (x)
g(x)
= e
g(x) ln f (x)
´es ut´il en diferents situacions.
(d) En general, quan apareixen funcions oscil·lants per`o fitades com ara sin(x) i cos(x), en molts casos resulta
convenient fitar les funcions. Doncs, per a qualsevol x ∈ R, es verifica que
−Ï ≤ sin(}x) ≤ Ï
k − Ï ≤ k+ sin(}x) ≤ k + Ï
} ≤ k+ sin(}x) ≤
x
≤ (k+ sin(}x))
x
x
Com que la base ´es > Ï, tenim que (k+sin(}x))
x
´es una funcio´ creixent. Prenent el rec´ıproc les relacions s’inverteixen:
Ï
x
Ï
(k + sin(}x))
x
Ï
x
Donat que
Ï
x
x→+∞
ª i que
Ï
}
x
x→+∞
ª, hem fitat la funci
o per dues funcions que ambdues tendeixen a ª i es pot
concloure que el l´ımite de la funcio´ ´es tamb´e ª,
Ï
(k + sin(}x))
x
x→+∞
(e) En primer lloc, observem que lim
x→−∞
lne
x
}
k
x
}
− Ê
= lim
x→−∞
f (x)
g(x)
, i que a m´es
f (x)
g(x)
x→+∞
ln(e
x
}
x
}
x
}
x
}
= Ï.
Per tant,
lim
x→−∞
ln(e
x
}
k
x
}
− Ê
= Ï.
Ê
que a priori presenta la forma de indeterminacion´
+∞
+∞
. Si definimos f (x) = x −sin(x) y g(x) = x +sin(x), entonces
f
′
(x) = Ï − cos(x) y g
′
(x) = Ï + cos(x) y todas las hip´otesis de la regla d’Hˆopital se verifican, excepto que el l´ımite
lim
x→+∞
f
′
(x)
g
′
(x)
= lim
x→+∞
Ï − cos(x)
Ï + cos(x)
no existe porque
Ï − cos(x)
Ï + cos(x)
ª si x = }kπ, para todo k ∈ Z
+∞ si x = π + }kπ, para todo k ∈ Z.
Esto no quiere decir que el l´ımite original no exista, sino que hay que calcularlo de otra manera. En efecto, si
manipulamos un poco la expressi´on,
lim
x→+∞
x − sin(x)
x + sin(x)
= lim
x→+∞
Ï −
sin(x)
x
Ï +
sin(x)
x
Ï − ª
Ï + ª
= Ï,
ya que ya hab´ıamos visto que lim x→+∞
sin(x)
x
Observacion.´ Evidentemente, en caso de que lim x→x ª
f
′
(x)
g
′
(x)
vuelva a ser
ª
ª
o
±∞
±∞
, si f
′
y g
′
tambi´en cumplen todas
las otras hip
otesis del teorema, la regla d’H
opital se puede volver a aplicar.
Problema ÏÏ. Calculeu els l´ımits segu¨ents.
(a) lim
x→ª
ln(Ï + }x)
sin(kx)
(c) lim
x→+∞
cosh
√
x
}
+Ï −x
(x) (e) lim
x→+∞
x ⋅ ln
x + k
x + Ï
(b) lim
x→Ï
(x − Ï)
}
e
k(x−Ï)
}
− Ï
(d) lim
x→ª
ln(cos(x))
x
}
(f) lim
x→ª
(Ï + sin(x))
kx
Ï−cos(x)
Soluci´o. (a) Podem fer servir directament la regla de l’H
opital:
lim
x→ª
f
′
(x)
g
′
(x)
= lim
x→ª
}
Ï+}x
k cos(kx)
k
(b) De nou, aplicant la regla de l’H
opital, tenim
lim
x→Ï
f
′
(x)
g
′
(x)
= lim
x→Ï
(x − Ï)
:
Ï
e
k(x−Ï)
}
⋅ C
(x − Ï)
C
Ï
k
i llavors
lim
x→Ï
f (x)
g(x)
Ï
k
(c) Aqu´ı no es pot fer servir directament el teorema de l’Hopiˆ tal perqu`e tenim la forma d’indeterminaci´o ∞
∞
Recordant que quan tenim f (x)
g(x)
´es ut´il passar a la escriptura exponencial, observem que
f (x)
g(x)
= e
ln f (x)
g(x)
= e
g(x) ln f (x)
= e
(
√
x
}
+Ï−x) ln(cosh)
Ara, si multipliquem i dividim el exponent pel conjugat de
x
}
x
}
x
}
x
}
x
}
x
}
(x
}
}
) ln cosh(x)
x
}
ln cosh(x)
x
}
Ϫ
que ´es una indeterminacio´ de la forma
∞
∞
. Llavors, aplicant la regla de l’Hopiˆ tal, obtenim
lim
x→Ï
ln cosh(x)
x
}
= lim
x→Ï
(ln cosh(x))
′
x
}
′
= lim
x→Ï
sinh(x)
cosh(x)
x
√
x
}
+Ï
+ Ï
Ï
Ï + Ï
Ï
Tornant en darrera,
lim
x→+∞
(cosh x)
√
x
}
+Ï−x
= lim
x→+∞
e
(
√
x
}
+Ï−x) ln(cosh x)
= lim
x→+∞
e
Ï
}
e.
(d) Fent servir directament la regla de l’Hopiˆ tal,
lim
x→ª
(ln(cos x))
′
(x
}
′
= lim
x→ª
− sin x
cos x
}x
= lim
x→ª
− tan x
}x
´es a dir una indeterminacio´ de la forma
ª
ª
. Ara, aplicant un altra vegada la regla de l’Hopiˆ tal, trobem que
lim
x→ª
(− tan x)
′
(}x)
′
Ï + tan
}
x
Ï
i per tant
lim
x→ª
ln(cos x)
x
}
Ï
(e) En aquest cas, fem servir equival`encies as´ıntotiques.
x ln
x + k
x + Ï
= x ln
x + Ï + }
x + Ï
= x ln(
x + Ï
x + Ï
x + Ï
) = = x ln(Ï +
x + Ï
x→∞
x
x + Ï
x→∞
}x
x
(f) Com que el l´ımit ´es de la forma lim
x→ª
f (x)
g(x)
, passem a la forma exponencial:
e
g(x) ln f (x)
= e
kx
Ï−cos x
ln(Ï+sin x)
= e
φ(x)
, on φ(x) =
kx
Ï − cos x
ln(Ï + sin x).
De nou, amb les equival`encies as´ıntotiques trobem que
kx
Ï − cos x
x→ª
kx
Ï −
Ï +
x
}
C
x
i
ln(Ï + sin x) ∼
x→ª
sin x ∼
x→ª
x,
per tant
φ(x) ∼
x→ª
C
x
x = C
i finalment
e
φ(x)
x→ª
e
C
= lim
x→ª
(Ï + sin x)
kx
Ï−cos x .
ÏÏ
