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Documento que presenta definiciones, teoremas y ejercicios sobre series infinitas, incluyendo series aritméticas, geométricas, p-series y series de potencias. Se explica el criterio de comparación, el teorema de la convergencia de series de potencias y se calculan intervalos de convergencia.
Tipo: Apuntes
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Gloria Guti´errez Barranco, Javier Mart´ınez del Castillo y Ma^ Luz Mu˜noz Ruiz
Departamento de Matem´atica Aplicada E.T.S. de Ingenier´ıa Telecomunicaci´on Universidad de M´alaga Campus de Teatinos, 29071 [email protected]; [email protected]; [email protected]
29 de Septiembre de 2014
(^1) Series num´ericas Definici´on y propiedades Series de t´erminos no negativos Series con t´erminos tanto positivos como negativos Series de Taylor Suma de series
(^2) Series funcionales Series de funciones Series de Potencias
Para algunas series conviene empezar el ´ındice en n = 0.
Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la sucesi´on de sumas parciales:
S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 .. . Sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + an
Si esta sucesi´on converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la siguiente definici´on.
Para la serie infinita
n=
an, la n-´esima suma parcial viene dada por:
Sn = a 1 + a 2 + · · · + an
(^1) Si la sucesi´on de sumas parciales {Sn} converge a un n´umero real `,
diremos que la serie
n=
an converge a . Adem´as, llamaremos a
suma de la serie y escribiremos: ∑^ ∞
n=
an = (^) nl´→∞ım Sn = `
(^2) Si la sucesi´on {Sn} diverge, diremos que la serie
n=
an es divergente
y como l´ım n→∞ Sn = l´ım n→∞
n + 1
= 1, entonces tenemos que la serie
∑^ ∞
n=
n(n + 1) converge a 1.
La definici´on anterior implica que una serie puede ser identificada con su sucesi´on de sumas parciales, de manera que las siguientes propiedades son consecuencia directa de sus an´alogos en sucesiones.
Si
n=
an = A,
n=
bn = B, y c es un n´umero real, entonces:
(a)
n=
c · an = c · A (b)
n=
(an ± bn) = A ± B
Adem´as, si se suprimen los N primeros t´erminos de una serie, ello no destruye su convergencia ( o su divergencia).
Para cualquier entero positivo N, las series:
∑^ ∞
n=
an y
n=N+
an
tienen el mismo car´acter (las dos convergen, o ambas divergen).
Obs´ervese que como toda condici´on necesaria, lo interesante de este resultado es la negaci´on l´ogica, ya que si (^) nl´→∞ım an 6 = 0, entonces se puede
asegurar que la serie es divergente. En otras palabras, el que (^) nl´→∞ım an = 0,
es condici´on necesaria para la convergencia de la serie, pero no suficiente.
Determinar la convergencia o divergencia de la serie
n=
5 n^2 7 n^2 − 2
Soluci´on: Como (^) nl´→∞ım 5 n^2 7 n^2 − 2
= 0, entonces la serie es divergente.
En general, no son muchas las series que pueden ser estudiadas usando directamente la definici´on; una excepci´on la forman las series geom´etricas, cuya convergencia es f´acil de estudiar, y en caso de ser convergentes, hasta se pueden sumar.
La serie dada por
∑^ ∞
n=
a · r n^ = a + ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar n^ + · · · con a 6 = 0
se llama serie geom´etrica de raz´on r y t´ermino inicial a.
Determinar la convergencia o divergencia de la serie
n=
5 · 3 n 2 n
Soluci´on: La serie dada es geom´etrica de raz´on |r | =
1, y por tanto
es divergente.
La serie
n=
n llamada serie arm´onica, diverge a ∞.
Sean
n=
an y
n=
bn dos series, y sea c 6 = 0 un n´umero real.
(^1) Si
n=
an diverge entonces
n=
c · an tambi´en diverge.
(^2) Si
n=
an diverge y
n=
bn converge entonces
n=
(an + bn) diverge.
Estudiar el car´acter de la serie
n=
n(n + 1)
5 n^2 7 n^2 − 2
Soluci´on: La serie dada es divergente por lo visto en ejercicios anteriores.
Sea {an} una sucesi´on cualquiera de n´umeros reales, y sea {bn} una sucesi´on obtenida a partir de {an}, eliminando, a˜nadiendo o modificando un n´umero finito de t´erminos. Entonces:
∑^ ∞
n=
an y
n=
bn tienen el mismo car´acter
Sea {an} una sucesi´on decreciente de t´erminos no negativos. Entonces:
∑^ ∞
n=
an es convergente ⇔
n=
2 na 2 n es convergente
Estudiar la convergencia de
n=
n ln n
Soluci´on: Como se tiene que
∑^ ∞
n=
2 na 2 n =
n=
2 n^
2 n^ ln 2n^
n=
n ln 2
ln 2
n=
n
y esta serie es divergente, entonces la serie de partida es divergente.
Estudiar la convergencia de
n=
√ (^5) n
Soluci´on: La serie es divergente ya que es una p-serie con p = 1/ 5 < 1.
Sean
n=
an y
n=
bn dos series tales que 0 < an ≤ bn ∀n ∈ N.
(^1) Si
n=
bn converge entonces
n=
an converge.
(^2) Si
n=
an diverge entonces
n=
bn diverge.
(^1) Aunque hemos exigido que 0 < an ≤ bn ∀n, lo podr´ıamos exigir para los n mayores que un cierto N, ya que el car´acter no queda afectada por sus primeros t´erminos. (^2) El criterio deja de ser v´alido para series de t´erminos cualesquiera.
Estudiar el car´acter de
n=
n n^3 + 3n + 2
Soluci´on: Como n n^3 + 3n + 2
n n^3
n^2
, y
n=
n^2
es convergente, ya que
es una p-serie con p = 2 > 1, entonces la serie de partida es convergente.
