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Cap´ıtulo 11: Sucesiones y Series Infinitas
- 3 de agosto de JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA
- Introducci ´on a las Series Infinitas ´Indice
- Conceptos Fundamentales y Definiciones
- 2.1. Sucesiones y Series
- 2.2. Convergencia y Sumas Parciales
- Criterios de Convergencia para Series Positivas
- Series Alternadas y Convergencia Absoluta
- Problemas Resueltos
- Cuestionario de Opci ´on M ´ultiple
- Bibliograf´ıa
1. Introducci ´on a las Series Infinitas
En ingenier´ıa y ciencias, a menudo nos encontramos con la necesidad de sumar una cantidad infinita de t ´erminos. Este proceso, que a primera vista parece parad ´ojico, es el n ´ucleo del estudio de las series infinitas. Una serie infinita es, en esencia, una suma de los t ´erminos de una suce- si ´on infinita. El objetivo principal es determinar si esta suma se acerca a un valor finito espec´ıfico, un concepto conocido como convergencia. Las series son herramientas fundamentales para aproximar funciones complejas mediante po- linomios (series de Taylor), resolver ecuaciones diferenciales y analizar se ˜nales peri ´odicas (series de Fourier). Su comprensi ´on es, por tanto, indispensable en el arsenal matem ´atico de un ingeniero.
2. Conceptos Fundamentales y Definiciones
2.1. Sucesiones y Series
Definici ´on 2.1 (Sucesi ´on y Serie). Una sucesi ´on es una funci ´on cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, denotada por {an}∞ n=1. Una serie infinita es la suma de los t ´erminos de una sucesi ´on, y se denota por:
X^ ∞
n=
an = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + an +...
2.2. Convergencia y Sumas Parciales
Para dar sentido a una suma infinita, analizamos el comportamiento de sus sumas finitas.
Definici ´on 2.2 (Suma Parcial y Convergencia). La k - ´esima suma parcial de la serie
P
an es la suma de sus primeros k t ´erminos, denotada por Sk:
Sk =
X^ k
n=
an = a 1 + a 2 + · · · + ak
Si la sucesi ´on de sumas parciales {Sk} converge a un l´ımite finito S cuando k → ∞, se dice que la serie converge y su suma es S. Es decir:
X^ ∞
n=
an = l´ım k→∞ Sk = S
Si el l´ımite no existe o es infinito, se dice que la serie diverge.
Ejemplo 2.1 P (La Serie Geom ´etrica). Una de las series m ´as importantes es la serie geom ´etrica : ∞ n=0 ar n (^) = a + ar + ar (^2) +.... Esta serie converge a la suma S = a 1 −r si la raz ´on^ |r|^ <^1 , y diverge si |r| ≥ 1.
3. Criterios de Convergencia para Series Positivas
Determinar la convergencia a partir de la definici ´on puede ser muy dif´ıcil. Por ello, se han desarrollado diversos criterios para analizar el comportamiento de las series.
5. Problemas Resueltos
Problema 5.1 (Dificultad Media). [citestart]Determinesilaserie
P∞
n=
n! 100 n^ converge o diverge. [ci- te: 3] Soluci ´on: Esta serie involucra factoriales y potencias, lo que sugiere el uso del Criterio del Cociente. Sea an = 100 n!n. Entonces an+1 = 100 (n+1)!n+1. Calculamos el l´ımite del cociente:
L = l´ n→∞ım
an+ an = l´ n→∞ım
(n + 1)!/ 100 n+ n!/ 100 n
= l´ n→∞ım
(n + 1)! n!
100 n 100 n+ = l´ n→∞ım(n + 1) ·
= l´ n→∞ım
n + 1 100
Puesto que L = ∞, que es mayor que 1, por el Criterio del Cociente, la serie diverge.
Problema 5.2 (Dificultad Alta). [citestart]Analicelaconvergenciadelaserie
P∞
n=
ln(n) n^3 /^2. [cite: 3] Soluci ´on: El t ´ermino general an = ln( n 3 n/ 2 ) es complicado para integrar o usar el criterio del cociente directamente. Utilizaremos el Criterio de Comparaci ´on en el L´ımite. Sabemos que la p-serie
P 1
np^ converge si^ p >^1. Buscaremos una p-serie para comparar. El t ´ermino^ ln(n)^ crece m ´as lentamente que cualquier potencia de n, es decir, ln(n) < nk^ para cualquier k > 0 y n grande. Vamos a comparar nuestra serie con una p-serie convergente, por ejemplo,
P
bn =
P 1
n^5 /^4. Elegi- mos p = 5/ 4 porque 1 < 5 / 4 < 3 / 2 , lo que nos da un ”margen”. Calculamos el l´ımite del cociente de los t ´erminos generales:
L = l´ım n→∞
an bn
= l´ım n→∞
ln(n)/n^3 /^2 1 /n^5 /^4
= l´ım n→∞
ln(n) n^3 /^2 −^5 /^4
= l´ım n→∞
ln(n) n^1 /^4
Este l´ımite es de la forma ∞∞ , por lo que podemos usar la Regla de L’H ˆopital:
L = l´ x→∞ım
ln(x) x^1 /^4
L′H = (^) xl´→∞ım
1 /x 1 4 x − 3 / 4 = l´ x→∞ım
4 x^3 /^4 x = l´ x→∞ım
x^1 /^4
Cuando el l´ımite es L = 0 y la serie de comparaci ´on
P
bn converge (lo cual es cierto, ya que p = 5/ 4 > 1 ), el criterio de comparaci ´on en el l´ımite establece que la serie original
P
an tambi ´en converge. Por lo tanto, la serie
P∞
n=
ln(n) n^3 /^2 converge.
6. Cuestionario de Opci ´on M ´ultiple
- La serie
P∞
n=
2
n es una serie geom ´etrica. ¿Cu ´al es su comportamiento?
(a) Converge a 3. (b) Converge a 2. (c) Diverge.
(d) Converge a 1.5.
Respuesta: (c) - Porque la raz ´on r = 3/ 2 > 1.
- ¿Qu ´e se puede concluir sobre la serie
P∞
n= n n+1 usando el criterio del t ´ermino n- ´esimo? (a) Converge. (b) Diverge. (c) El criterio no decide. (d) Converge condicionalmente.
Respuesta: (b) - Porque l´ımn→∞ (^) nn+1 = 1 ̸= 0.
- La serie arm ´onica alternada
P∞
n=
(−1)n+ n ... (a) Converge absolutamente. (b) Diverge. (c) Converge condicionalmente. (d) Es una serie geom ´etrica.
Respuesta: (c) - Converge por el criterio de Leibniz, pero
P
1 /n (la serie arm ´onica) diverge.
- Al aplicar el criterio del cociente a la serie
P∞
n=
n^2 2 n^ , el l´ımite^ L^ es: (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 1/
Respuesta: (d) - El l´ımite es 1/2, por lo que la serie converge.
- La p-serie
P∞
n=
1 np^ converge si y solo si: (a) p < 1 (b) p ≥ 1 (c) p > 1 (d) p = 1
Respuesta: (c)
- Si l´ımn→∞ an = 0, la serie
P
an:
(a) Debe converger. (b) Debe diverger. (c) Puede converger o diverger. (d) Debe converger absolutamente.
Respuesta: (c) - Es una condici ´on necesaria pero no suficiente.
