Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Las integraltes dobles y triples, sus definiciones, propiedades y el proceso de cambio de variables. Se incluyen ejemplos en coordenadas cartesianas, polares y cilíndricas. Además, se abordan integrales triples en r3 y se presenta el teorema del cambio de variables.
Tipo: Apuntes
1 / 26
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Lali Barriere Departament de Matematiques - UPC
Enginyeria de Sistemes Aeroespacials Enginyeria d’Aeroports Enginyeria d’Aeronavegaci´o EETAC
Continguts
1.1 Integrals dobles Definici´o d’integral doble Integraci´o iterada Canvi de variables per a integrals dobles Integrals dobles en coordenades polars
1.2 Integrals triples Definici´o d’integral triple Regions elementals a R^3 Canvi de variables per a integrals triples Integrals triples en coordenades cil´ındriques Integrals triples en coordenades esf`eriques
1.1 Integrals dobles Definici´o d’integral doble
I (^) La integral definida d’una funci´o negativa z = f (x, y) sobre un recinte D ⊆ R^2 es defineix equivalentment i t´e signe negatiu. I (^) Si f no mant´e el signe constant en D, aleshores el resultat de la integral sobre D ja no ´es un volum. I (^) La integral doble d’una funci´o sobre un recinte podria no existir. No es demana tenir en compte els problemes d’existencia o no existencia de les integrals, en aquest curs. I (^) Les integrals de funcions de dues variables es calculen fent dues integrals en una variable. ´Es per aixo que tamb´e s’anomenen integrals dobles. I (^) Els l´ımits d’integraci´o d’una integral doble han de descriure el recinte d’integraci´o on es calcula la integral. Aquesta ´es la principal dificultat associada al calcul d’integrals dobles.
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
Un interval del pla ´es un recinte D de la forma:
D = [a, b] × [c, d] ´es a dir (x, y) ∈ D ⇐⇒
a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d En la representaci´o gr`afica del recinte: I (^) inclourem l’eix Z, si necessitem veure punts de l’espai, I (^) o representarem nom´es el pla XY , si nom´es volem fixar-nos en el recinte D.
D
x
y
a
c
d
b
D x
y
z
a
c d
b
Les integrals sobre intervals s´on les m´es senzilles de calcular.
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
x
a
c
d
b x
y
D
f (x, y) dx dy =
∫ (^) b
a
A(x) dx
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
f (x, y) dy
dx
I (^) La primera integral (la de dins) es resol suposant x constant. I (^) El resultat dep`en de x, i no cont´e y. I (^) Els l´ımits d’integraci´o ens diuen: a ≤ x ≤ b i c ≤ y ≤ d. I (^) L’ordre de les integrals ens indica de quina manera hem cobert tots els punts del recinte.
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
x
a
c
d
b
y
x
y
D
f (x, y) dx dy =
∫ (^) d
c
A(y) dy =
∫ (^) d
c
(∫ (^) b
a
f (x, y) dx
dy
I (^) La primera integral (la de dins) es resol suposant y constant. I (^) El resultat dep`en de y, i no cont´e x. I (^) Els l´ımits d’integraci´o ens diuen: c ≤ y ≤ d i a ≤ x ≤ b. I (^) L’ordre de les integrals ens indica de quina manera hem cobert tots els punts del recinte.
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
(x, y) ∈ D 1 ⇐⇒
a ≤ x ≤ b φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x) Aleshores: ∫ ∫
D 1
f (x, y)dx dy =
∫ (^) b
a
φ 2 (x) φ 1 (x)
f (x, y)dy
dx
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
(x, y) ∈ D 2 ⇐⇒
c ≤ y ≤ d ϕ 1 (y) ≤ x ≤ ϕ 2 (y) Aleshores: ∫ ∫
D 2
f (x, y)dx dy =
∫ (^) d
c
ϕ 2 (y) ϕ 1 (y)
f (x, y)dx
dy
1.1 Integrals dobles Integraci´o iterada
alcul d’arees i volumsI (^) Area d’un recinte` Sigui D ⊂ R^2. Aleshores:
Area` (D) =
D
1 · dx dy u^2
I (^) Volum entre dues superf´ıcies Sigui D ⊆ R^2 i les superf´ıcies z = f (x, y) i z = g(x, y), amb f (x, y) ≥ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, o b´e f (x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ D. Aleshores, el volum entre f i g sobre D v´e donat per:
D
(f (x, y) − g(x, y))dx dy
∣∣ u^3
Cal assegurar-se que f (x, y) − g(x, y) no canvia de signe!!!
1.1 Integrals dobles Canvi de variables per a integrals dobles
Si D i D∗^ s´on dues regions de R^2 , i podem transformar D∗^ en D per una transformaci´o T : R^2 −→ R^2 (u, v) −→ (x, y) C^1 i bijectiva, amb jacobi`a no nul aleshores: ∫ ∫
D
f (x, y) dx dy =
D∗
f (x(u, v), y(u, v)) · |JT | · du dv
on JT denota el jacobi`a de T , ´es a dir, el determinant de la matriu de derivades parcials de T :
∂(x, y) ∂(u, v)
∂x ∂u
∂x ∂v ∂y ∂u
∂y ∂v
1.1 Integrals dobles Integrals dobles en coordenades polars
θ
r
y
x { x = r cos θ y = r sin θ
r =
x^2 + y^2 ≥ 0 θ = arctan
( (^) y x
(+π si x < 0)
Podem expressar corbes del pla tant en cartesianes com en polars: F (x, y) = 0 ⇐⇒ F (r cos θ, r sin θ) = 0 ⇐⇒ G(r, θ) = 0
G(r, θ) = 0 ⇐⇒ G(
x^2 + y^2 , arctan
( (^) y x
) = 0 ⇐⇒ F (x, y) = 0 Donada la funci´o f (x, y), ´es clar que: f (x, y) = f (r cos θ, r sin θ) = g(r, θ)
1.1 Integrals dobles Integrals dobles en coordenades polars
I (^) Si D ve donat en coordenades polars, i f ´es una funci´o de r i θ: ∫ ∫
D
f (r, θ) dr dθ
es calcula de la mateixa manera que les integrals dobles en coordenades cartesianes. I (^) En la integral
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (r, θ) dθ dr el recinte ´es el conjunt de punts que compleixen a ≤ r ≤ b i c ≤ θ ≤ d:
r = a (^) r = b
θ = c
θ = d
0
1.1 Integrals dobles Integrals dobles en coordenades polars
I (^) Si DC representa un recinte en coordenades cartesianes DP el mateix recinte en coordenades polars, aleshores: ∫ ∫
DC
f (x, y)dx dy =
DP
f (r cos θ, r sin θ) · r · dr dθ
I (^) Aix´ı, per al calcul d’arees tenim que:
Area` (D) =
DP
r · dr dθ u^2
I (^) D’altra banda, el volum entre z = 0 i z = g(r, θ) ≥ 0 per sobre de DP ´es: V =
DP
g(r, θ) · r · dr dθ u^3
1.2 Integrals triples Definici´o d’integral triple
Integrals definides en tres variables sobre un interval
Definici´o. Si f : R^3 −→ R i V = [a, b] × [c, d] × [p, q], la integral definida de f sobre V es calcula: ∫ ∫ ∫
V
f (x, y, z) dx dy dz =
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
(∫ (^) q
p
f (x, y, z)dz
dy
dx =
∫ (^) b
a
dx
∫ (^) d
c
dy
∫ (^) q
p
dz f (x, y, z)
Observaci´o La integral sobre un rectangle es pot calcular en qualsevol ordre.
En les integrals triples, no podem representar gr`aficament la funci´o. A m´es, els recintes d’integraci´o s´on volums, que a vegades s´on dif´ıcils de visualitzar.