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Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´ecnica Superior
Departamento de Matem´aticas
C ´ALCULO I
EXAMEN FINAL - SOLUCIONES
15 de enero de 2010 Primer Curso del Grado en Ingenier´ıa T´ecnica en Sistemas de Comunicaci´on.
Tiempo: 3 horas
Problema 1 (3 puntos) Representar gr´aficamente la funci´on f (x) = (x + 1)x^2 /^3 haciendo un estudio completo.
El dominio es R y no hay simetr´ıas. No hay as´ıntotas horizontales ni oblicuas para x → ∞ ya que:
xl´→∞ım(x^ + 1)x^2 /^3 =^ ∞,^ xl´→∞ım
(x + 1)x^2 /^3 x
Tampoco las hay para x → −∞:
x→−∞l´ım (x^ + 1)x^2 /^3 =^ −∞,^ x→−∞l´ım
(x + 1)x^2 /^3 x
Y no hay as´ıntotas verticales. La derivada nos da:
f ′(x) = 5 x + 2 3 x^1 /^3 = 0 =⇒ x = −
Adem´as, f ′^ > 0 en (−∞, − 2 /5) ∪ (0, ∞), all´ı f crece, y f ′^ < 0 en (− 2 / 5 , 0), all´ı f decrece. No hay derivada en x = 0 y la pendiente al acercarnos a ese punto es:
l´ım x→ 0 −
5 x + 2 3 x^1 /^3 = −∞, l´ım x→ 0 +
5 x + 2 3 x^1 /^3
El punto x = 0 es un m´ınimo local y x = − 2 /5 un m´aximo local. La segunda derivada nos da la curvatura: f ′′(x) = 10 x − 2 9 x^4 /^3 = 0 =⇒ x = 5,
Entonces, f ′′^ > 0 en x > 5, all´ı f es convexa, y f ′′^ < 0 en (−∞, 0) ∪ (0, 5), all´ı f es c´oncava. El punto x = 5 es de inflexi´on.
Problema 2 (1 + 1 puntos)
a) Estudiar la convergencia de la sucesi´on definida mediante:
un+1 = 2 + un 3 , u 0 = 1.
b) Estudiar la convergencia (condicional y absoluta en su caso) de la serie: ∑^ ∞
n=
(−1)n (log n)n^
a) El posible l´ımite cumplir´ıa l = 2 + l 3
, es decir, l = 3. La sucesi´on es mon´otona creciente, pues u 1 = 5/ 3 > 1 = u 0 y por inducci´on, si un > un− 1 entonces:
un+1 = 2 + un 3
un− 1 3
= un.
Adem´as, est´a acotada superiormente por 3, ya que u 0 , u 1 < 3 y por inducci´on, si un < 3 entonces: un+1 = 2 + un 3
Entonces la sucesi´on es convergente y su l´ımite es l = 3, el ´unico posible.
b) Estudiamos la convergencia absoluta directamente, considerando la serie
n=
(log n)n^
Aplicamos el criterio de la ra´ız:
nl´→∞ım^ n
(log n)n^ = l´ n→∞ım
log n
y al ser un l´ımite menor que uno la serie converge. Es decir, la serie original converge absolutamente y, por tanto, tambi´en converge condicionalmente.
Problema 3 (0,8 + 0,7 + 1 puntos)
a) Calcular el desarrollo de Taylor de la funci´on f (t) = cos t − 1 t y su intervalo de convergencia. b) Calcular el desarrollo de Taylor de
g(x) =
∫ (^) x 2
0
cos t − 1 t dt.
c) Hallar el l´ımite l´ım x→ 0
g(x) x^4
a) f (t) =
t
∑^ ∞
n=
(−1)nt^2 n (2n)!
n=
(−1)nt^2 n−^1 (2n)!
El desarrollo es v´alido en todo R, porque lo es el del coseno. b) Dentro de su intervalo de convergencia (es decir, en toda la recta) podemos integrar t´ermino a t´ermino:
g(x) =
∫ (^) x 2
0
∑^ ∞
n=
(−1)nt^2 n−^1 (2n)! dt =
∑^ ∞
n=
∫ (^) x 2
0
(−1)nt^2 n−^1 (2n)!
∑^ ∞
n=
[
(−1)nt^2 n 2 n(2n)!
]x 2
0
∑^ ∞
n=
(−1)nx^4 n 2 n(2n)!
