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Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´ecnica Superior
Departamento de Matem´aticas
C ´ALCULO I
EXAMEN EXTRAORDINARIO - SOLUCIONES
21 de junio de 2010 Primer Curso del Grado en Ingenier´ıa T´ecnica en Sistemas de Comunicaci´on.
Tiempo: 3 horas
Problema 1 (2,5 puntos)
Representar gr´aficamente la funci´on f (x) = ex x − 2 haciendo un estudio completo.
La funci´on es continua salvo en x = 2, por ser cociente de funciones continuas. Buscamos as´ıntotas:
xl´→∞ım
ex x − 2 = ∞, (^) xl´→∞ım
ex x(x − 2)
por tanto no hay as´ıntota horizontal ni oblicua para x → ∞.
x→−∞l´ım
ex x − 2 = 0−^ =⇒ y = 0 As. horizontal para x → −∞.
l´ım x→ 2 −
ex x − 2 = −∞, l´ım x→ 2 +
ex x − 2 = ∞ =⇒ x = 2 As. vertical.
Derivamos para estudiar extremos, crecimiento y decrecimiento:
f ′(x) = ex(x − 3) (x − 2)^2 = 0 =⇒ x = 3.
Ese es el ´unico punto cr´ıtico, f ′^ > 0 en (3, ∞), all´ı f es creciente; f ′^ < 0 en (−∞, 2)∪(2, 3), all´ı f es decreciente. El punto x = 3 es un m´ınimo local.
f ′′(x) = ex(x^2 − 6 x + 10) (x − 2)^3 6 = 0^ siempre
y tenemos f ′′^ > 0 en x > 2, all´ı f es convexa, mientras que f ′′^ < 0 en x < 2, all´ı f es c´oncava.
Problema 2 (1 + 0,8 + 0,7 puntos)
a) Estudiar la convergencia de la sucesi´on definida mediante:
an+1 = a^2 n 2 , a 0 = 1.
b) Calcular
nl´→∞ım
1 + 12 + · · · + (^) n^1 log(n^2 )
c) Estudiar la convergencia (condicional y absoluta en su caso) de la serie: ∑^ ∞
n=
(−n)n 4 nn!
a) El posible l´ımite cumplir´a l = l^2 /2, luego l = 0, ´o bien l = 2. La sucesi´on est´a acotada inferiormente por 0, porque a 0 , a 1 > 0 y, por inducci´on, si an > 0 entonces
an+1 = a^2 n 2
Tambi´en es mon´onota decreciente porque a 1 = 1/ 2 < 1 = a 0 y, por inducci´on, si an < an− 1 entonces, al ser todos los t´erminos positivos:
an+1 = a^2 n 2
a^2 n− 1 2 = an.
Por tanto, la sucesi´on es convergente y el l´ımite s´olo puede ser l = 0. b) Utilizamos el criterio de Stolz, el denominador es mon´onoto creciente y tiende a ∞, luego
l´ım n→∞
1 + 12 + · · · + (^) n^1 log(n^2 )
= l´ım n→∞
1 n log(n^2 ) − log(n − 1)^2
= l´ım n→∞
2 log
( (^) n n− 1
)n
= l´ım n→∞
log
n n − 1
)−n
log(e^1 ) =
c) Es una serie alternada. Estudio en primer lugar la convergencia absoluta, es decir, la serie
n=
nn 4 nn!
. Utilizo el criterio del cociente:
nl´→∞ım
(n + 1)n+1 4 nn! 4 n+1(n + 1)!nn^ = l´ n→∞ım
n + 1 n
)n
exp
[
n^ l´→∞ım n
n + 1 n
)]
e 4
luego la serie converge, es decir, hay convergencia absoluta. Entonces hay tambi´en convergencia condicional.
Problema 3 (1,5 + 1 puntos)
a) Calcular el desarrollo de Taylor de la funci´on f (x) =
x 1 + 2x y su intervalo de convergencia.
b) Estudiar cu´antas ra´ıces tiene la ecuaci´on x 1 + 2x = cos x en el intervalo [0, π/2].
a) Escribimos:
x 1 + 2x
1 + 2x − 1 2(1 + 2x)
1 + 2x
∑^ ∞
n=
(− 2 x)n
∑^ ∞
n=
(−1)n+1 2 n−^1 xn^ ,
