C´
ALCULO I. Examen Final (18/6/2014)
Apellidos: Dni:
Nombre: Grupo:
1. Calcule
l´ım
n→∞
cos(log(1 + 1)) + cos(log(1 + 1
2)) + cos(log(1 + 1
3)) + · · · + cos(log(1 + 1
n))
n.
2. Determine seg´un los valores del par´ametro x∈R, el car´acter de la serie num´erica:
∞
X
n=1
(x−1)n
n.
3. Sea f:R→Runa funci´on de clase C3(R) tal que f(0) = f0(0) = f00(0) = 1.
Determine el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en el punto x0= 1 de la funci´on
g(x) = f(log(x)).
4. Sea g:R2→Rla funci´on definido por
g(x, y) =
ex2+y2−1
x2+y2,(x, y)6= (0,0),
1,(x, y) = (0,0).
Estudie la diferenciabilidad de gen cada punto de R2.
5. Calcule los extremos relativos de
f(x, y) = x3+ 3y2−3x.
6. Mediante el cambio de variable t= cos(x) calcule
Zπ/2
0
2 sen3(x)
4−cos(x)dx.
7. Calcule el ´area del recinto plano limitado por
x2+y2≤36, x ≥3.
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7
Puntos 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5