DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 06: PUNTOS DE INFLEXIÓN E INTERVALOS DE
CONCAVIDAD – CRITERIO DE LA 2da DERIVADA.
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Concavidad y segunda derivada: cambio de concavidad en una función, Diapositivas de Cálculo
El concepto de concavidad de una función y cómo se relaciona con la segunda derivada. Se definen los puntos de inflexión y se presentan ejemplos para determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de una función. Se aplican los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los extremos relativos.
Tipo: Diapositivas
2018/2019
1 / 7
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CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 06: PUNTOS DE INFLEXIÓN E INTERVALOS DE
CONCAVIDAD – CRITERIO DE LA 2da^ DERIVADA.
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 06: PUNTOS DE INFLEXIÓN E INTERVALOS DE CONCAVIDAD – CRITERIO
DE LA SEGUNDA DERIVADA
En el siguiente análisis el objetivo es relacionar el concepto de concavidad con la segunda derivada de una función. Así, la segunda derivada constituye otra manera para probar si un extremo relativo de una función f ocurre en un número crítico. Este concepto será el fundamento para la construcción de las gráficas de una curva, que es el tema central de la siguiente sesión de aprendizaje.
CONCAVIDAD
El concepto de concepto de concavidad involucra el crecimiento o decrecimiento de la derivada de la función en un intervalo, esto motiva la siguiente definición.
DEFINICIÓN : Sea f una función diferenciable sobre un intervalo (𝑎, 𝑏).
a. Si 𝑓′ es una función creciente sobre ( a , b ), entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba sobre el intervalo. b. Si 𝑓′ es una función decreciente sobre ( a , b ), entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo sobre el intervalo
En otras palabras, si las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de 𝑓 crecen (decrecen) cuando 𝑥 crece sobre (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba (abajo) sobre el intervalo. Si las pendientes crecen (decrecen) cuando x crece, entonces esto significa que las rectas tangentes giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre el intervalo.
La relación de la concavidad con la derivada se encuentra expresada en la siguiente proposición
PROPOSICIÓN: Sea 𝑓 una función para la cual 𝑓′′ existe sobre (𝑎, 𝑏).
a. Si 𝑓′′(𝑥) > 0 para toda 𝑥 en (a, b) entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba sobre ( a , b ). b. Si 𝑓′′(𝑥)^ < 0 para toda 𝑥 en ( a , b ), entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo sobre ( a , b ).
Un punto sobre la gráfica de una función donde la concavidad cambia de arriba abajo o viceversa tiene un nombre especial.
DEFINICIÓN: Sea 𝑓 continua sobre un intervalo (𝑎, 𝑏) que contiene al número 𝑐. Un punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 si en (𝑐, 𝑓(𝑐)) hay una recta tangente y la gráfica cambia de concavidad en este punto.
Ejemplo 1: Hallar los puntos de inflexión de 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 3𝑥 + 2
Solución Para esto tenemos que determinar cuando la segunda derivada de f es igual a cero :
𝑓′(𝑥) = 3𝑥^2 – 3,
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 = 0. De este modo 𝑥 = 0, luego el punto de inflexión es 𝑃(0,2).
Se puede considerar el criterio de la segunda derivada como un complemento al criterio de la primera derivada. Además queda la pregunta ¿qué de este criterio si ya se cuenta con el criterio de la primera derivada?, la respuesta parcial se debe a que en algunos casos (principalmente en polinomios) es más sencillo calcular la segunda derivada que encontrar los puntos críticos (resolviendo una ecuación), por otro lado, en algunos casos (principalmente en funciones racionales), aplicar el criterio de la segunda derivada puede ser tedioso. En este punto observamos que los criterios de la primera y segunda derivada presentan sus ventajas y desventajas.
Ejemplo 3: Encontrar los extremos relativos de 𝑓(𝑥) = 4𝑥^4 − 4𝑥^2
Solución Aplicaremos el criterio de la segunda derivada:
Obtenemos la primera derivada y encontramos los puntos críticos:
𝑓′(𝑥) = 16𝑥^3 − 8𝑥 = 0
8𝑥(2𝑥^2 − 1) = 0
Las soluciones de ésta ecuación son: 𝑥 = 0, 𝑥 = √2 2 , 𝑥 = − √2 2 , y reemplazamos en f’’
𝑓′′(𝑥) = 48𝑥^2 − 8
El proceso se resume en el siguiente cuadro: EXTREMO RELATIVO CRITERIO (𝑥, 𝑓(𝑥)) Signo de 𝑓′′ (𝑥) CONCLUSIÓN
(−
, − 1 ) 𝑓′′^ (−^
√ 2 2 )^ >^0 Mínimo relativo
( 0 , 0 ) 𝑓′′( 0 )^ < 0 Máximo relativo
(√ 22 , − 1 ) 𝑓′′^ (√ 22 ) > 0 Mínimo relativo
INTERPRETACION GEOMETRICA
CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 06: FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES – EXTREMOS LOCALES Y
ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
NIVEL I
1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1.1. Para analizar la monotonía de una función, utilizamos el criterio de la segunda derivada.
1.2. Si f ''(c)=0 y 𝑓′′(𝑐) < 0 , tenemos un máximo relativo en c. 1.3. Siempre si f ''(c)=0, entonces hay un extremo relativo en c. 1.4. Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de crítico, entonces 𝑓′′(𝑐) = 0 ó 𝑓′′(𝑐) no existe. 1.5. Para analizar la concavidad, utilizamos a la segunda derivada 1.6. Una función cuadrática no tiene puntos de inflexión 1.7. Una función cúbica tiene exactamente un punto de inflexión 1.8. Un punto de inflexión es un punto de una curva en el cual la concavidad cambia de signo
2. Halla los intervalos de concavidad y el punto de inflexión de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 6𝑥^2 + 9𝑥.
NIVEL II
3. Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥)^ = 3 𝑥^4 − 4 𝑥^3 − 6 𝑥^2 + 5 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥^4 − 4 𝑥^3 + 10
4. Determinar los extremos relativos de la función aplicando el criterio de la segunda derivada:
a) 𝑓(𝑥)^ = −𝑥^3 + 2 𝑥^2 + 3 𝑥 + 1 b) 𝑓(𝑥)^ = 𝑥^3 − 6 𝑥^2 + 12 𝑥 − 3
c) 𝑓(𝑥) = (^) 𝑥 (^33) + 8 d)^ 𝑓(𝑥)^ =^
𝑥 3 3 √(𝑥− 2 )^2
NIVEL III
5. Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥)=2𝑥^3 − 6 𝑥^2 +4 en su punto de inflexión 6. Hallar 𝑎, 𝑏,𝑐 y 𝑑 tales que 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^3 +𝑏𝑥^2 +𝑐𝑥+𝑑 satisfaga las condiciones: punto máximo (3,3); punto mínimo (5,1) y punto de inflexión (4,2) 7. Si 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^3 +𝑏𝑥^2 determine 𝑎 y 𝑏 de modo que 𝑓 el punto de inflexión (1,2) 8. Si 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^3 +𝑏𝑥^2 +𝑐𝑥, determine 𝑎, 𝑏 y 𝑐 de modo que 𝑓 tenga el punto de inflexión (1,2) y de modo que la pendiente de la tangente en el punto de inflexión se igual a −2.
Bibliografía:
# CÓDIGO-L AR TÍTULO PÁGINAS [1] 510 HAEU/M 2008 HAEUSSLER, ERNEST F Matemáticas para administración y economía. 87 - 126
[2] 510 ARYA 2009 ARYA, JAGDISH. (^) administración y a la economía.Matemáticas aplicadas a la 123 - 223 [3] 515.15 LARS^ LARSON, RON Cálculo 1 - 126