Examen de C´alculo y M´etodos Num´ericos
25 de noviembre del 2016
Bloque I y II
1. a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funci´on f(x) = 1
2x|x|. En caso
de existir, calcular la recta tangente en a= 0. ¿Tiene un extremo relativo en
a= 0? Razona la respuesta. (6 puntos)
b) Calcular el l´ımite
l´ım
x→axa−ax
xx−aa
donde a > 0 y a6= 1. (4 puntos).
Soluci´on.
a) La funci´on f(x) es continua por ser el producto del polinomio 1
2x(continua)
por la funci´on valor absoluto |x|que tambi´en es continua.
La funci´on es derivable para todo a6= 0 por tratarse del producto de funciones
derivables. Analicemos el punto a= 0.
f0(0) = l´ım
x→0
f(x)−f(0)
x−0= l´ım
x→0
1
2x|x| − 0
x−0= l´ım
x→0
1
2|x|= 0
Cumple la condici´on necesaria de extremo relativo f0(0) = 0 pero en este
caso no es suficiente para la existencia de extremo. Para los x6= 0 derivamos
la funci´on f(x) como producto de funciones, teniendo en cuenta que |x|=
x·signo(x), el resultado es f0(x) = 1
2|x|+1
2x·signo(x) = 1
2|x|+1
2|x|=|x|>0.
Por tanto la funci´on es creciente y no posee un extremo relativo.
b) Aplicando la Regla de L’Hoptial y considerando que la t´ecnica de la derivaci´on
logar´ıtmica para obtener que la derivada de g(x) = xxes g0(x) = xx(ln(x) + 1)
l´ım
x→axa−ax
xx−aa= l´ım
x→aaxa−1−ln(a)ax
xx(ln(x) + 1) =aa−ln(a)aa
aa(ln(a) + 1) =1−ln(a)
1 + ln(a)
2. a) Calcula el polinomio de Taylor de orden nde la funci´on f(x) = senh(x) en el
punto a= 0.(4 puntos).
b) Aproximar el valor de senh(1) utilizando el polinomio de Taylor obtenido en el
apartado a) de orden n= 3. (1 punto).
c) Acotar el error cometido en la anterior aproximaci´on. (5 puntos).
Soluci´on:
1
