CAP´
ITULO XII.
INTEGRALES
IMPROPIAS
SECCIONES
A. Integrales impropias de primera especie.
B. Integrales impropias de segunda especie.
C. Aplicaciones al c´alculo de ´areas y vol´umenes.
D. Ejercicios propuestos.
109
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Calculo, Profesor: aurora aurora, Carrera: Ingeniería Mecánica, Universidad: UCLM
Tipo: Apuntes
2015/2016
1 / 49
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga calculo integral y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
CAP´ITULO XII.
INTEGRALES
IMPROPIAS
SECCIONES
A. Integrales impropias de primera especie. B. Integrales impropias de segunda especie. C. Aplicaciones al c´alculo de ´areas y vol´umenes. D. Ejercicios propuestos.
A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE.
El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias.
Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integraci´on es infinito, ya sea de la forma (a, ∞), (−∞, b) o bien (−∞, ∞), pero la funci´on est´a acotada. Para cada uno de los casos indicados se defi- ne
∫ (^) ∞
a
f (x) dx = l´ım B→∞
∫ B
a
f (x) dx, ∫ (^) b
−∞
f (x) dx = (^) A→−∞l´ım
∫ (^) b
A
f (x) dx, ∫ (^) ∞
−∞
f (x) dx = l´ım A B→−∞→∞
∫ B
A
f (x) dx, 1
y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ımite existe y es finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades son an´alogas a las correspondientes en las integrales propias (s´olo conside- raremos el caso del intervalo (a, ∞) pues el segundo caso se puede reducir al primero con el cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinaci´on de los dos anteriores al descomponer la integral en dos sumandos).
PROPIEDADES.
(1) La convergencia de la integral no depende del l´ımite de integraci´on real. Es decir,
a
f (x)dx converge ⇐⇒
b
f (x)dx converge.
(2) Homog´enea. Si
a
f es convergente, entonces
a
λf es convergente, para todo λ ∈ R y se cumple: ∫ (^) ∞
a
λf = λ
a
f.
(3) Aditiva. Si
a
f,
a
g convergen, entonces
a
(f + g) converge y adem´as (^) ∫ (^) ∞
a
(f + g) =
a
f +
a
g.
En muchos casos, debido a que
1
xα^ dx^ converge si^ α >^ 1 y diverge si α ≤ 1 (ver problema 12.1), se aplica el criterio anterior con g(x) = 1 /xα. Este queda entonces as´ı: (3) Sea f una funci´on continua y no negativa en [a, ∞). a) Si (^) xl´→∞ım xαf (x) = λ 6 = 0, λ finito, entonces ∫ (^) ∞
a
f (x) dx converge ⇐⇒ α > 1.
b) Si (^) xl´→∞ım xαf (x) = 0 y α > 1, entonces
a
f (x) dx converge.
c) Si (^) xl´→∞ım xαf (x) = ∞ y α ≤ 1, entonces
a
f (x) dx diverge.
(4) Criterio de Dirichlet. Sean f una funci´on continua con primitiva F acotada ∀x ≥ a y g una funci´on decreciente con derivada primera continua ∀x ≥ a. Si l´ x→∞ım g(x) = 0, entonces
a
f (x)g(x) dx converge.
(5) Criterio de la serie asociada. Sea f una funci´on decreciente y no negativa ∀x ≥ a, y tal que (^) xl´→∞ım f (x) = 0. Entonces ∫ (^) ∞
a
f (x) dx converge ⇐⇒
f (n) converge.
PROBLEMA 12.
Calcular
a
xn^ dx con a > 0.
Soluci´on
Para n 6 = −1,
F (b) =
∫ (^) b
a
xn^ dx =
[
xn+ n + 1
]b
a
n + 1 (b
n+1 (^) − an+1).
Si n > −1, entonces l´ b→∞ım F (b) = ∞, con lo que
a
xn^ dx diverge.
Si n < −1, entonces la integral converge y
bl´→∞ım F^ (b) =
a
xn^ dx = − a
n+ n + 1.
Para n = −1,
F (b) =
∫ (^) b
a
dx x
= ln b − ln a
y, como l´ b→∞ım F (b) = ∞, la integral diverge.
PROBLEMA 12.
Calcular
−∞
ex^ dx.
Soluci´on
Resolvemos directamente la integral: ∫ (^0)
−∞
ex^ dx = (^) a→−∞l´ım
a
ex^ dx = (^) a→−∞l´ım
[
ex
] 0
a =^ a→−∞l´ım (1^ −^ e
a) = 1.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
0
√^1
ex^
dx.
Soluci´on
Calcularemos directamente la integral aplicando la definici´on de integral impropia.
0
√^1
ex^
dx = l´ b→∞ım
∫ (^) b
0
e−x/^2 dx = l´ b→∞ım
[
− 2 e−x/^2
]b 0 = l´ b→∞ım(−^2 e
−b/ (^2) +2) = 2,
de lo que se deduce que la integral es convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
−∞
e−a|x|^ dx, a ∈ R.
Soluci´on
En primer lugar, si a = 0, e^0 = 1 y la integral diverge.
nemos:
I = (^) bl´→∞ım
∫ (^) b
0
exdx 1 + e^2 x^
- l´ım b′→−∞
b′
exdx 1 + e^2 x = (^) bl´→∞ım
[
arc tg ex
]b 0 +^ b′→−∞l´ım
[
arc tg ex
] 0
b′ = (^) bl´→∞ım(arc tg eb^ − π/4) + (^) b′→−∞l´ım (π/ 4 − arc tg eb′ ) = π 2
− π 4
- π 4
− 0 = π 2
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
2
x(ln x)^8 dx.
Soluci´on
Si calculamos directamente la integral, tenemos:
∫ (^) ∞
2
x(ln x)^8
dx = l´ım b→∞
∫ (^) b
2
(1/x)(ln x)−^8 dx = l´ım b→∞
[
(ln x)−^7 − 7
]b
2 = (^) bl´→∞ım
7(ln b)^7 +^
7(ln 2)^7
= (^) 7(ln 2)^17 ,
de modo que la integral es convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
−∞
ex−ex dx.
Soluci´on
Resolvemos en primer lugar la integral indefinida haciendo el cambio de variable ex^ = t: ∫ ex−ex dx =
ex^ · e−ex dx =
e−t^ dt = −e−t^ = −e−ex.
Calculamos a continuaci´on la integral impropia y tenemos:
∫ (^) ∞
−∞
ex−e
x dx = (^) a→−∞l´ım b→∞
∫ (^) b
a
ex−e
x dx = (^) a→−∞l´ım b→∞
(−e−e
b
- e−e
a ) = 0 + 1 = 1;
de lo que se deduce que la integral es convergente.
PROBLEMA 12.9 Hallar
0
e−x^ sen x dx.
Soluci´on
El l´ımite superior de integraci´on es infinito con lo que, al integrar por partes, obtenemos:
I = (^) bl´→∞ım
∫ (^) b
0
e−x^ sen x dx = l´ b→∞ım
[
2 e
−x(sen x + cos x)
]b
0 = (^) bl´→∞ım − 1 2
e−b(sen b + cos b) +^1 2
Cuando b → ∞, e−b^ → 0, mientras que | sen b + cos b| ≤ 2, luego I = 1/2.
PROBLEMA 12.
Calcular In =
0
xne−x^ dx, para n ∈ N.
Soluci´on
Integrando por partes, obtenemos que ∫ xne−x^ dx = −xne−x^ + n
xn−^1 e−x^ dx.
Recordando adem´as que l´ b→∞ım bne−b^ = 0, resulta:
In = l´ b→∞ım
∫ (^) b
0
xne−x^ dx = l´ b→∞ım −bne−b^ + n (^) bl´→∞ım
∫ (^) b
0
xn−^1 e−x^ dx = n · In− 1.
Procediendo por recurrencia, se llega a que In = n(n − 1)In− 2 = · · · = n! · I 0
y como I 0 =
0
e−x^ dx = 1, obtenemos que In = n!
PROBLEMA 12.
Hallar
0
dx x^2 + 4
la cual es evidentemente convergente para m natural.
PROBLEMA 12.
Determinar el valor de C para que sea convergente la integral im- propia
1
x 2 x^2 + 2C
− C
x + 1
dx. Hallar el valor de dicha inte- gral.
Soluci´on
Si escribimos la funci´on integrando como cociente de polinomios,
x 2 x^2 + 2C −^
C
x + 1 =^
x^2 + x − 2 Cx^2 − 2 C^2 (2x^2 + 2C)(x + 1) =
(1 − 2 C)x^2 + x − 2 C^2 (2x^2 + 2C)(x + 1) ,
observamos que el denominador tiene grado 3. Para que la integral sea con- vergente, el grado del numerador debe ser menor que 2. De aqu´ı se deduce que 1 − 2 C = 0, es decir C = 1/2.
Para este valor, la integral queda: ∫ (^) ∞
1
[
x 2 x^2 + 1
− 1 /^2
x + 1
]
dx = (^) bl´→∞ım
(∫ (^) b
1
x 2 x^2 + 1
dx −
∫ (^) b
1
x + 1
dx
= (^) bl´→∞ım
[
4 ln(2x
2 ln(x^ + 1)
]b
1 = l´ım b→∞
[
ln(2b^2 + 1) − 1 4
ln 3 − 1 2
ln(b + 1) +^1 2
ln 2
]
= (^) bl´→∞ım^1 4
· ln 4(2b
3(b + 1)^2
=^1
· ln^8 3
PROBLEMA 12.
Hallar los valores de los par´ametros a y b para que ∫ (^) ∞
1
2 x^2 + bx + a x(2x + a) −^1
dx = 1.
Soluci´on
Al igual que en el problema anterior, escribimos el integrando como una frac- ci´on para comparar los grados del numerador y denominador. Como
2 x^2 + bx + a x(2x + a) −^ 1 =
(b − a)x + a x(2x + a) ,
la integral ser´a convergente cuando b − a = 0, es decir a = b.
En este caso, si integramos por fracciones simples, obtenemos que
I =
1
2 x^2 + bx + a x(2x + a) −^1
dx = l´ k→∞ım
[
ln
∣∣^ x 2 x + a
]k
1 = (^) kl´→∞ım ln
k 2 k + a −^ ln^
2 + a = ln
2 −^ ln^
2 + a.
Como debe ser 1 = ln^1 2
− ln 1 2 + a
, resulta que a = b = 2e − 2.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
1
ln x x^2 dx.
Soluci´on
Resolvemos la integral indefinida por partes haciendo u = ln x y dv = dx/x^2. As´ı du = dx/x, v = − 1 /x y: ∫ ln x x^2 dx^ =^ −^
ln x x +
dx x^2 =^ −^
ln x x −^
x =^ −^
1 + ln x x.
La integral impropia queda entonces: ∫ (^) ∞
1
ln x x^2
dx = l´ım b→∞
∫ (^) b
1
ln x x^2
dx = l´ım b→∞
[
− 1 + ln^ x x
]b
1
= l´ım b→∞
− 1 + ln^ b b
pues l´ b→∞ım ln b/b = 0 (se puede aplicar por ejemplo la regla de L’Hˆopital).
Otra posibilidad, en la que no se calcula directamente la integral, es utilizar el criterio de comparaci´on. Debido a que:
xl´→∞ım^ ln^ x/x
2 1 /x^3 /^2
= l´ x→∞ım^ ln^ x x^1 /^2
= l´ x→∞ım^1 /x (1/2)x−^1 /^2
= l´ x→∞ım^2 x^1 /^2
e
1
x^3 /^2
dx es convergente, se deduce la convergencia de la integral pro-
puesta.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
1
x^2 + 3x + 1 x^4 + x^3 + √x dx.
pues el grado del numerador coincide con el grado del denominador. Como la
integral
1
dx x es divergente, tambi´en es divergente la integral propuesta.
PROBLEMA 12.
Investigar la convergencia de la integral
1
√^ dx x^3 + 1
Soluci´on
Como el integrando es positivo aplicamos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite. Cuando x → ∞, tenemos
1 √ x^3 + 1
x^3 (1 + 1/x^3 )
x^3 /^2
1 + 1/x^3
x^3 /^2
Como la integral
1
dx x^3 /^2
es convergente, la integral propuesta tambi´en lo
ser´a.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
0
x^2 dx (a^2 + x^2 )^3 /^2
Soluci´on
Comparamos el integrando con la funci´on y = 1/x. Tenemos as´ı:
xl´→∞ım
x^2 (a^2 +x^2 )^3 /^2 1 /x
= l´ x→∞ım^ x
3 x^3 · (a^2 /x^2 + 1)^3 /^2
Como
0
dx x
es divergente, tambi´en lo es la integral propuesta.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
3
√^ x dx x^6 + 1
Soluci´on
Comparando los grados del numerador y denominador, obtenemos que g(x) = 1 /x^2 es un infinit´esimo equivalente a la funci´on integrando cuando x → ∞.
Como adem´as
3
dx x^2 es convergente, por el criterio de comparaci´on dedu- cimos que la integral propuesta es tambi´en convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
−∞
e−x^2 dx.
Soluci´on
En primer lugar descomponemos la integral en tres sumandos. Adem´as, de- bido a la simetr´ıa de la funci´on integrando, podemos escribir:
I =
−∞
e−x^2 dx+
− 1
e−x^2 dx+
1
e−x^2 dx =
− 1
e−x^2 dx+
1
e−x^2 dx.
Para estudiar la convergencia de esta ´ultima integral impropia, como la fun- ci´on integrando es positiva, aplicamos el criterio de comparaci´on. Tenemos por un lado que se verifica la acotaci´on e−x^2 ≤ e−x, ∀x ≥ 1, y por otro lado que
∫ (^) ∞
1
e−x^ dx = l´ım b→∞
∫ (^) b
1
e−x^ dx = l´ım b→∞
[
−e−x
]b 1 = l´ b→∞ım
−e−b^ + e−^1
= e−^1.
Esto indica que la integral propuesta es convergente.
PROBLEMA 12.
Investigar la convergencia de la integral
0
x^3 2 x^
dx.
Soluci´on
Debido a que 2x^ es un infinito de orden superior a x^3 , es decir (^) xl´→∞ım
x^3 2 x^ = 0, aplicaremos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite con la funci´on g(x) = 1/ 2 x. Ahora bien, como
xl´→∞ım
x^3 / 2 x 1 / 2 x^ = l´^ x→∞ım^ x
e
0
dx 2 x^ converge, el criterio no puede aplicarse con esta funci´on.
Aplicando el criterio de Pringsheim, como (^) nl´→∞ım n^2 · n en^ − 1
= 0 y
n^2
es
convergente, tambi´en lo es la serie anterior.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
0
4 x^3 + 2x + 1 ex^
dx.
Soluci´on
Debido a que la funci´on integrando es positiva en el intervalo de integraci´on y tiende a cero cuando x → ∞, reducimos el estudio de la convergencia
de la integral al de la serie asociada
n≥ 0
4 n^3 + 2n + 1 en^
. Por el criterio de la
ra´ız,
nl´→∞ım^ n
4 n^3 + 2n + 1 en^
= l´ n→∞ım 1 /e < 1.
Entonces la integral es convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar el car´acter de la integral I =
0
ln(1 + x) ex^ dx.
Soluci´on
Como la funci´on integrando es no negativa en el intervalo de integraci´on,
estudiaremos el car´acter de la serie asociada
∑ (^) ln(1 + n) en^
Aplicando el criterio del cociente tenemos:
l´ım
ln(n+2) en+ ln(n+1) en
= l´ım
ln(n + 2) e ln(n + 1) =
e <^1 ,
lo que indica que la serie es convergente y, en consecuencia, tambi´en es convergente la integral propuesta.
PROBLEMA 12.
Estudiar el car´acter de la integral
0
x dx 1 + x^2 sen^2 x
Soluci´on
Como la serie asociada a la integral impropia es
∑ (^) n 1 + n^2 sen^2 n
, la cual es
equivalente a la serie
n y esta es divergente, tambi´en ser´a divergente la integral dada.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
0
sen kx ex^2
dx.
Soluci´on
Como la funci´on integrando cambia de signo, estudiamos la convergencia
absoluta. La serie asociada a la integral es
n≥ 0
| sen kn| en^2
que es convergente
pues |^ sen^ kn| en^2
en^2
y, por el criterio de la ra´ız,
nl´→∞ım^ n
en^2
= l´ n→∞ım^1 en^
Lo anterior indica que la integral dada es absolutamente convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
1
sen x xα^
dx, para α > 0.
Soluci´on
Como la funci´on f (x) = sen x tiene primitiva F (x) = − cos x acotada y la funci´on g(x) = 1/xα^ es derivable y decreciente, con (^) xl´→∞ım g(x) = 0, por el
criterio de Dirichlet (4) se deduce que la integral es convergente.
PROBLEMA 12.
Estudiar el car´acter de la integral
1
cos x x^2
dx.
PROBLEMA 12.
Estudiar la convergencia de la integral
0
sen^3 x x dx.
Soluci´on
La integral es impropia por tener un l´ımite de integraci´on infinito. Aunque
adem´as la funci´on no est´a definida en x = 0, como l´ım x→ 0 +
sen^3 x x =^ xl´→ım 0 +
x^3 x = 0, la integral no es impropia en x = 0.
Para estudiar la convergencia utilizamos la f´ormula sen^3 x = 3 sen^ x 4
− sen 3x 4
Entonces ∫ (^) ∞
0
sen^3 x x dx^ =
0
sen x x dx^ −^
0
sen 3x 3 x dx,
y cada uno de los sumandos es convergente como vimos en el problema anterior. Entonces su suma ser´a tambi´en convergente.
B. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE.
Si una funci´on y = f (x) no est´a acotada en un intervalo [a, b], no tiene sentido el concepto de integral definida de f en [a, b]. Esta situaci´on da lugar a las integrales impropias de segunda especie; para definirlas, distinguimos los siguientes casos:
a) Si f es integrable en [a, r], ∀r < b, y l´ım x→b−^
f (x) = ±∞, definimos
∫ (^) b
a
f (x) dx = l´ım r→b−
∫ (^) r
a
f (x) dx = l´ım ε→ 0 +
∫ (^) b−ε
a
f (x) dx.
b) Si f es integrable en [s, b], ∀s > a, y (^) xl´→ıma+ f (x) = ±∞, definimos
∫ (^) b
a
f (x) dx = l´ım s→a+
∫ (^) b
s
f (x) dx = l´ım ε→ 0 +
∫ (^) b
a+ε
f (x) dx.
c) Si existe c ∈ (a, b) tal que f es integrable en [a, r] ∪ [s, b], ∀r < c, s > c y l´ xım→c f (x) = ±∞, definimos ∫ (^) b
a
f (x) dx = l´ım r→c−
∫ (^) r
a
f (x) dx + l´ım s→c+
∫ (^) b
s
f (x) dx.
Al igual que para las integrales impropias de primera especie, se dice que una integral es convergente si existe el l´ımite o l´ımites que las definen.
Las propiedades 1 a 5 enunciadas para las integrales impropias de primera especie son v´alidas tambi´en aqu´ı con las modificaciones obvias. Tambi´en los criterios de convergencia son an´alogos a los all´ı indicados pues existe un paralelismo entre ambos tipos de integrales impropias. As´ı, en el primer caso, si l´ım x→b−^
f (x) = ±∞, al hacer el cambio de variable b − x = 1/t, se
tiene: (^) ∫ (^) b
a
f (x) dx =
1 /(b−a)
g(t) dt,
y resulta una integral impropia de primera especie.
Escribiremos a continuaci´on los criterios espec´ıficos para el caso a) aclarando nuevamente que los dem´as pueden plantearse de forma similar.
(1) Criterio de comparaci´on. Si f y g son funciones continuas en [a, r], ∀r < b y 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, r], entonces ∫ (^) b
a
g(x) dx converge =⇒
∫ (^) b
a
f (x) dx converge.
(2) Comparaci´on por paso al l´ımite. Sean f y g continuas y no nega- tivas en [a, r], ∀r < b.
a) Si l´ım x→b−
f (x) g(x)
= λ 6 = 0, λ finito, entonces
∫ (^) b
a
f (x) dx converge ⇐⇒
∫ (^) b
a
g(x) dx converge.
b) Si (^) xl´→ımb−
f (x) g(x) = 0, entonces ∫ (^) b
a
g(x) dx converge =⇒
∫ (^) b
a
f (x) dx converge.
Como aplicaci´on, es com´un considerar el criterio de comparaci´on con la funci´on g(x) = 1/(b − x)α^ pues
∫ (^) b
a
(b − x)α^ dx^ converge si^ α <^ 1 y diverge si α ≥ 1 (ver problema 12.35). Entonces tenemos: