Cálculo y métodos numéricos con MatLab en UCLM, Ejercicios de Cálculo

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Cálculo y métodos numéricos.

Trabajo

Final

MatLab

Universidad de Castilla La Mancha.

PAULINO BERMÚDEZ

% 2. Se considera la siguiente matriz: % R(alpha) := (cos alpha sen alpha % sen alpha cos alpha) % % Esta matriz permite rotar el punto (x2; y2)^T un ángulo alpha en el sentido % de las agujas del reloj como ilustra la figura: % Construye una función que dado el punto x = (x2; y2)T y el ángulo alpha te calcule el punto % rotado (x1; y1) mediante la expresión: % (x2 (cos alpha sen alpha (x % y2) = sen alpha cos alpha) y1) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% % Limpiamos pantalla y cerramos las ventanas.clc, clear % MATRIZ DE ROTACIÓN, ROTAR EL PUNTO (1 0) PI/ % Punto p1=[1;0] % Angulo alfa alfa=pi/ % Operación de rotacion rotacion=[cos(alfa) sin(alfa); - sin(alfa) cos(alfa)] % Salida p2=rotacion*p % Realizamos una pausa de 5 segundos para ver el resultado. pause(5)

% 3. Construye un M-fichero de Matlab que dibuje un cuadrado rotado un ángulo alpha % en el sentido de las agujas del reloj. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% % Vamos a rotar el cuadrado del ejercicio 1, un ángulo de pi/ % Limpiamos pantalla y cerramos las ventanas.clc, clear close all % Definimos los puntos que tenemos que rotar.p1=[1;1] p2=[1;-1] p3=[-1;-1] p4=[-1;1] % Creamos una variable 'alfa' que será el 'angulo de rotación'.alfa=pi/ rotacion=[cos(alfa) sin(alfa); - sin(alfa) cos(alfa)] % Calculamos las coordenadas de los nuevos puntos del cuadrado.p1new=rotacionp p2new=rotacionp p3new=rotacionp p4new=rotacionp % Generamos una matriz con los puntos nuevos x=[p1new(1) p2new(1) p3new(1) p4new(1) p1new(1)]y=[p1new(2) p2new(2) p3new(2) p4new(2) p1new(2)] % Dibujamos el cuadrado con las matrices creadas. plot(x,y,'m','LineWidth',7) % Realizamos una pausa de 5 segundos para ver el resultado. pause(5)

Bisección. %% % ALGORITMO DE BISECCIÓN. %% % El método de la bisección. Es un procedimiento para calcular una raiz de % la función f(x), esto es, resolver la ecuación f(x) = 0. % Este procedimiento asume que la función es continua en el intervalo % [a,b] y que la función cambia de signo en los extremos del intervalo % (f(a)f(b) < 0). % En cada iteración calcula el punto medio del intervalo actual y decide % cual de los dos subintervalos sigue conteniendo una raíz eligiendo este % subintervalo como el nuevo intervalo de la iteración siguiente. % Cada vez que aplica una iteración la longitud del intervalo inicial se % reduce a la mitad y tras n iteraciones tenemos que: % % l(n) = l(0)/ 2^n % % Donde l(0) es la longitud del intervalo inicial y l(n) es el intervalo % tras realizar la n-ésima iteración. %% % Sea f(x) una funcion continua en [a,b] cumpliendo que f(a)f(b) < 0. Sea € % (epsilon) un parámetro empleado como criterio de paro. % Resultado: Una raíz m de la funcion f(x) con una exactitud menor que €. % % while (|b-a|) >= €) do % m = ((a+b)/2); % if (f(a)f(m) < 0) then % b = m; % else % a = m; % return Devuelve la raíz aproximada m = ((a+b)/2); % % Se pide programar el anterior algoritmo. Para ello se irá mejorando % progresivamentesus prestaciones atendiendo al siguiente plan: % %% Version 1. % Implementa el algorimo para una función determinada f(x) = In(x) y en un % intervalo genérico [a,b] y precisión €. Debe devolver la raíz. %% Condiciones iniciales % Este método requiere que al evaluar la funcion In(x) en los intérvalos x % y x2 se tengan signos diferentes. % Creamos una funcion para la operacion de bisecciónfunction m = biseccion(fx,a,b,tol); % Solicitamos los datos de inicio y fin de la biseccióna = input("Intervalo inferior: "); b = input("Intervalo superior: "); % Declaracion de la funcion In(x)fx = log(exp(1)); tol = eps; fa=subs(fx,a); fm=subs(fx,b); while abs(b-a) >= epsm = (a+b)/2; if (fa*fm) < 0b = m; else a = m; end end m = (a+b)/ disp(m) return; end

% Método de la bisección VERSION 2 - 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % a extremo inferior del intervalo % b extremo superior del intervalo % n número de iteraciones % f función %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%a=1; b=2; n=13; e = exp(1) f=@(x) (e^(x)+3x-2); RES=[]; %almacenamiento resultados % Evaluación de la función en los extremosfa=f(a); fb=f(b); % for i=1:n m=(a+b)/2; fm=f(m); if fafm< b=m; fb=fm; elseif fa*fm> a=m; fa=fm; else display('raíz encontrada')m end % almacena resultados iteracion RES=[RES;[a b m fm]]; end display(RES)

Bloque II, Ejercicio 10 D Código Gráfica Como podemos apreciar en la grafica vemos que la función f(x)

• Su dominio es todo R
• continua y derivable en todo R
• No es par ni impar
• Creciente en ( menos Infinito, - 1) y (4, infinito)
• Decreciente (-1,4)
• Max en x=- 1 y Min en x=
• Cóncava ( menos infinito, 3/2)
• Convexa (3/2, infinito)

Bloque II. Ejercicio 10 F Código. fp=fplot(@(x)x./(1+abs(x)),'Linewidth',2) fp.LineStyle = ':'; fp.Color = 'g'; fp.Marker = 'o'; fp.MarkerEdgeColor = 'b'; axis([- 12 12 - 1.2 1.2]); title ('Ejercicio 10F');xlabel('X') ylabel('Y')grid on Gráfica Como se puede apreciar en la gráfica, vemos que la función f(x)

• Su dominio es todo R.
• Continua y derivable en todo R.
• No tiene extremos relativos
• Tiene asíntota horizontal en los puntos y=-1 y en y=1.
• Es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha
• Es impar.
• No es cóncava, ni convexa.

Bloque II. Ejercicio 10 l Código Grafico Como podemos apreciar en la gráfica, vemos que la función f(x)

• Su dominio (0,∞)
• Continua y derivable en todo su dominio
• Decreciente (0, 14)
• Creciente ( 14, ∞)
• hay extremos relativos x=14 (min absoluto)
• Cóncava (0, ∞)

Bloque II, Ejercicio 10 N Código Gráfica Como podemos apreciar en la gráfica, vemos que la función f(x)

• Su dominio es todo R
• Continua y derivable en todo R
• Creciente en (-2, - 2)
• Decreciente (menos infinito, - 2) y (-2, infinito)
• Min en x=2 y Máx. en x= - 2
• Convexa ( - 6, 0) y (6, infinito)
• Cóncava (-infinito, - 6,) y (0, 6)

Bloque II, Ejercicio 10 R Código Gráfica Como podemos apreciar en la gráfica, vemos que la función f(x)

• Su dominio es todo (- Infinito, 0) u (1, infinito)
• Continua y derivable en todo su dominio
• Creciente en (1, infinito)
• Decreciente (- infinito, 0)
• No hay extremos relativos
• Cóncava (-infinito, 0) y en (1, infinito)

Bloque II. Ejercicio 10 T Código

fplot('tan (x)*abs (x)', '-')

axis([-10 10 - 10 10]);

title ('Ejercicio 10t');

xlabel ('X')

ylabel ('Y')

grid on

Datos

• Su dominio es todo R
• Continua y derivable en todo R.
• Tiene un punto de inflexión en (0).
• Es decreciente desde (menos infinito, 0)
• Es creciente de (0, infinito)
• No es par ni impar.
• Es cóncava.

Ejercicio del método de Newton Código Resultado Como podemos observar se lleva a cabo una convergencia A continuación se lleva a cabo el proceso a papel para poder conocer el punto que utilizamos el cual fue 3pi/2 y la comprobación del Método de Newton