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Asignatura: Mecànica Quàntica, Profesor: Antoni Amengual, Carrera: Física, Universidad: UIB
Tipo: Apuntes
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Sea f (x) una función tal que
(1) es continua en el intervalo cerrado [ a ,b] ,
( 2 ) es diferenciable en el intervalo abierto ( a ,b ) y
(3) f ( a ) = f ( b ) = O.
Entonces existe un número e tal que a < e < b y f ' ( c ) = O.
En algún punto C de la curva sobre el intervalo abierto (a,b ) , la recta tangente T es paralela al eje X.
pendiente f ' ( c ) = O
La figura muestra la grtifica de una función f ( x ) que satisface las condiciones (l), (2) y (3). El teorema de Rolle nos asegura que existe al menos un número c entre a y b ,
o sea que es paralela al eje X.
Prueba del teorema de Rolle.
Vamos a demostrar que existe un c tal que a < c < b y f ' ( c ) = O.
Puesto que f ( x ) es continua en el intervalo cerrado [a,b] (por (1)de la hipótesis), sabemos que tiene un valor máximo absoluto M y un valor mínimo absoluto m en
m < f ( x ) < M para todo x en [a, b] (*)
Caso 1 : m = M = O. Entonces de (*) se sigue que f ( x ) = O en a 2 x 5 b , luego f ' ( x ) = O en a < x < b. Así, cualquier punto c entre a y b cumple f ' ( e ) = O.
Caso 11 : Alguno de los valores M o m # O. Entonces tomamos uno de estos valo- res que no sea nulo y lo escribimos en la forma f ( c ) , para algún c tal que a 2 c 2 b. Observemos que c # a y c z b. En efecto, sabemos que f (a) = f (b) = O; (por (3) de la hipótesis ) y f (c) # 0. Luego a < c < b , y f ( c ) es un máximo o mínimo relativo (por ser un máximo o mínimo abso- luto en el intervalo abierto ( a ,b ) ,
y existe f ' ( c ) (por (2) de la hipótesis),
por lo tanto (^) f ' ( c ) = O (por el teorema^ 9.9.4^ del extremo estacionario). La prueba del teorema está completa.
EJEMPLO 1. Verificar que la función f ( x ) = x^3 - 2 x^2 - x + 2 cumple las condiciones (11, (2) y (3) de la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo cerrado [-l,2] y ha- llar todos los puntos c tales que f '(e) = O y -1 < c c 2.
SOLUCION. Puesto que f ( x ) es una función polinomial, es continua y diferenciable en todo punto x. Luego f ( x ) satisface las condiciones ( 1 ) y (2) del teorema de Rolle en el intervalo [-l, 21.
Interpretacióngeometrica.
En algún punto P de la curva sobre el intervalo abier- to (a, b ) la recta tangente T es pa- ralela al segmento AB.
La figura muestra la gráfica de una función f(x)^ que satisface las condiciones^ (1)^ y (2). El teorema del valor medio nos asegura que existe un número c entre a y b, tal que la recta tangente T a la curva f ( x ) en el punto P = (c,f ( c ) ) es paralela al seg-
mento AB, que une los puntos A = ( a ,f ( a ) ) y B = (b,f ( b ) ) , y cuya pendiente es
b - a
Nota.
(1) La fórmula f '(e) = (b) - ( a ) tambien se escribe f ( b ) - f ( a ) = f ' ( e ) .( b - a ) b - a (2) El teorema de Rolle aparece como un caso particular del teorema del valor medio. En efecto, si se tiene f ( a ) = f ( b ) = O, entonces el teorema del valor medio nos da f ' ( c ) = - O = 0, que es la conclusión del teorema de Rolle. b - a Para probar el teorema del valor medio nos valdremos del teorema de Rolle que ya ha sido establecido en 10..
PRUEBA DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO.
Definimos la función F ( x ) mediante la ecuación
y demostraremos que esta función satisface las tres condiciones de las hipótesis del teorema de Rolle:
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones 353
i) La función F ( x ) es continua en el intervalo cerrado [a,b], ya que f ( x ) es
b - a es continua en [u.b] (por ser una función polinomial en la variable x)
ii) La función F ( x ) es diferenciable en el intervalo abierto ( a ,b ) ,ya que
f ( x ) es diferenciable en ( a ,b ) (por la hipótesis (2) del teorema)
Y - f ( a ) - (b)b - a -^ ( a )^ ( x^ -^ a )^ es diferenciable en^ ( a ,b ) (por ser una función polinomial en la variable x ).
iii) F ( a ) = F(b) = O , pues
F(a) = f ( 4 - f ( 4 -^ f ( b ) - f ( a ) b - a^. ( a - a )^ =^ O
Así, F ( x ) cumple las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle, y por lo tanto, existe un número c tal que (^) F ' ( c ) = O y a < c < b.
Luego, derivando ambos miembros de (*) y evaluando en x = c resulta
b - a 1 pues ( f ( a ) ) = O ya que f ( a ) es constante.
Y, finalmente, despejando f ' ( e ) obtenemos f '(c) = (b' - (a) , para algún c tal b - a que a < c < b.
Y esto es lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO 1. Verificar que la función f ( x ) = x - x3 cumple la hipótesis del teorema del
y - 2 < c < l.
SOLUCION. Puesto que f ( x ) es una función polinomial es continua y diferenciable en todo x, en particular lo es en el intervalo dado.
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones^365
Nota.
1. Si n = 1, el resultado implica el teorema del valor medio. 2. El teorema establece que el valor de f (b) puede ser aproximado por
P(b) = f(a) + -^ f^ "'(a) + ... + 1! (n - l)!
y que la diferencia f(b)^ -^ P(b)^ puede ser estimada en términos de la^ fUnci6n f'"'(x).
Sean f ( x ) y g(x) dos funciones tales que
( 2 ) son diferenciables en el intervalo abierto (0.6) y
Entonces existe un número c entre a y b tal que
Nota.
( 1 ) Este resultado constituye, en verdad, una generalización del teorema del valor medio (teorema 10.2). En efecto, la fórmula anterior es la conclusión del teorema
Y &?(a) = a ( 2 ) Observamos que la hipótesis g'(x) t 0 implica g(b) - g(a) + 0 , pues por el teo- rema del valor medio
yaque g f ( d ) # O y b + a.
PRUEBA. Aplicamos el teorema de Rolle a la nueva fÚnci6n
Tenemos h(a) = h(b) = O y
h' ( x ) = [ f (b) - f ( a ) ] .gt(x) - [g(b) - g(a)] f '(x)
Luego existe un número c entre a y b tal que
h'(c) = 0 o (^) [ f ( b ) - f ( a ) ] .g'(c) - [ g ( b ) - d a ) ] - f '(c) = O
de donde
que es lo que queríamos demostrar.
R 3 X EJEMPLO. Si f ( x ) = sen x y g(x) = cos x , hallar todos los números c entre - y - 4 4
SOLUCION. Resolvemos la ecuación
cos X (^) 2 - J2-Jz 2 = o
o ctgx = o.
X X Luego x = - +. nn , donde n = O, f1, e, ..., de los cuales solamente - se encuentra 2 2 x 3 x entre - y -. 4 4
Nota. El teorema de la diferencia constante tiene un carácter fundamental en el Aná- lisis MatemBtico, especialmente en:
(1) la noción de la integral indefinida o antiderivada, (2) la conexión que existe entre la integral indefinida y la integral definida, y
(3) la resolución de ecuaciones diferenciales.
EJEMPLO. Hallar una función y = y(%) tal que
Luego, por el teorema de la diferencia constante
= + ( ~ ~ + 2 ~ + 5 ) ' ~+ c , donde^ C^ es una constante.
Puesto que y(1) = 0, haciendo x = 1 calculamos el valor de C
PROBLEMA l. Para la función^ f^ (x)^ =^ 4x3^ +^ 12%'^ -^ x^ -^3 determinar tres^ intervalos [a,b] tales que se cumplan las condiciones (1), (2) y (3) del teorema de Rolle. Luego hallar un número c en cada intervalo abierto (a,b) tal que f ' ( c ) = O.
SOLUCION. Puesto que f(x) es una hnción polinomial, las condiciones (1) y (2) del teorema de Rolle se verifican sobre cualquier intervalo cerrado.
Por simple inspección vemos que x = -3 es una raiz de la ecuación
Porlotanto 4 x 3 + 1 2 x 2 - x - 3 = ( x + 3 ) ( 4 x 2 - l ) = O ,
y las otras raices son x = f +.
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones 359
Luego la condición (3) del teorema de Rolle se cumple en cada uno de los intervalos cerrados
[-3, - +] , [-3, +] , (^) [- 3 , +]
Resolviendo la ecuación f ' ( x ) = 12x2 + 24x - 1 = 0
se obtienen las raices xl = -^ '6-m=^ - 2-01 y xt = + r 0.. 6 Luego x , se encuentra en los intervalos abiertos (-3, - +) (^) y (-3, a ) , y cumple f l ( x l ) = o ,
x, se encuentra en los intervalos abiertos^ (-3,#)^ y^ (-^ 4,^ #)^ ,^ y cumple f ' ( x ~ ) = O.
PROBLEMA 2. Probar que 3 'G < 1 + 5 para x > O y n = 2,3, ... n
SOLUCION. Tomemos (^) f ( x ) = d=.
Aplicando el teorema del valor medio a la funci6n f ( x ) en el intervalo [O,x ] , vemos que existe un número c entre O y x tal que
Luego
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones 361
donde C es una constante. Para hallar C evaluamos esta condición cuando x = O
PROBLEMA S. Probar que sen x S x para todo x 2 0.
SOLUCION. Para x = O se cumple O = seno 5 O.
Supongamos pues que O c x. Aplicamos el teorema del valor medio a la función h(x) = senx - x en el intervalo [O, x] : Existe un número c tal que
Y o < c < x. Pero de h(x) = sen x - x se sigue h(0) = O
Y hf(c) = cose-1, y por lo tanto s e n x - x = (cosc-l)x<O , pues C O S C - 1 I O y O c x. Asi resulta s e n x ~ x paratodo x 2 0.
PROBLEMA 6. Si f(x) = x6'% x4l3 hallar todos los números e entre -8 y 8 tales
que f ' ( c ) = f^ (8)^ -^ f^ (-8) 8 - (-8)
SOLUCION. Resolviendo la ecuación
~ ( X V +4xy3~ ) ~ -3 = O , (^) de donde
Un simple cálculo muestra que solamente el valor con signo + se encuentra entre -8 y
PROBLEMA 7. Hallar un punto de la parábola y = x 2 en el que la recta tangenteaea paralela a la cuerda M, donde A = (1 1) y B = (3,9).
SOLUCION. Debemos resolver la ecuación
y ' ( x ) = pendiente de Al
Luego x = 2 , y = 4.
PROBEMA 8. La función f ( x ) = q ( x - 812 - 4 toma el valor cero f ( 0 ) = f ( 1 6 ) = 0 en los puntos extremos del intervalo cerrado [O, 161. ¿Se cumple el teorema de Rolle para e ~ t ahnción en [O, 161?
XHUCION. Hallamos las rafces de la ecuación f ' ( x ) = O
de donde vemos que la ecuación no tiene raices y, por lo tanto, no existe ningún núme- ro c tal que f ' ( c ) = O.
Luego no se cumple el teorema de Rolle para f ( x ) en [O, 161. Ello se debe a que no
hihótesis del teorema de Rolle.
PROBLEMA 9. Probar que la función tg x es creciente en el intervalo abierto
SOLUCION. Aplicamos el teorema del valor medio a la función tg x en el intervalo ce- rrado x , S x S x2. Luego existe un número c entre x l y x2 tal que
SOLUCION. Resolviendo la ecuación
Puesto que Y2 se encuentra entre O y 1, dicho valor cumple las condiciones del teorema del valor medio generalizado.
PROBLEMA 13. Demostrar por medio del teorema de Rolle que la ecuación 4x^3 - 6 x^2 + 4 x - 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo abierto (O, 1).
SOLUCION. En primer lugar, buscamos una función f ( x ) cuya derivada sea la función
dada 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1.
Podemos tomar f ( x ) = x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 - x.
Esta función es continua y diferenciable en todo punto x ; y ademAs, cumple f ( O ) = f (1) = 0. Luego satisface la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo cerra- do [O, 11 , y por lo tanto, existe un número c entre O y 1 tal que f ' ( c ) = o
O sea 4c3^ -6c2^ + 4 c -^ 1 = 0^.
Así, c es una raíz tal que O < c < 1.
PROBLEMA 14. Demostrar que x 3 + px + q = O no puede tener mds de una raíz real si p > o.
SOLUCION. Supongamos que f ( x ) = x^3 + px + q tuviera dos raíces reales x , < x2. O
Entonces, por el teorema de Rolle, existiría un número real c entre x, y x2 tal que
f ' ( c ) = o.
Pero f t ( c ) = 3 c^2 + p > O si p > O yaque c^2 > O.
Así, hemos obtenido una contradicción al haber supuesto que existen dos raíces reales.
Por lo tanto la ecuación x3 + px + q = O no puede tener más de una raíz real si p > O.
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones^365
PROBLEMA 15. Usando el teorema de Rolle e inducción matemática, probar que todo polinoinio de grado n no puede tener más de n raíces reales distintas.
SOLUCION. Sea p(x) = a,xn + a,-,x n-1 + ...+ a,x + a, un polinomio de grado n, donde a,, a,, ... , a, son números reales y a, # O.
(1) Para n = 1 , se tiene p(x) = alx + a, , que posee una sola raíz x = --.^ Por lo al tanto se cumple el resultado para n = 1. (2) Supongamos ahora, por inducción, que todo polinomio de grado n - 1, donde n > 1 , tiene a lo más n - 1 ratces reales distintas. Probaremos entonces que p(x) = a,xn + ... + alx + a, no puede tener más de n mlces reales distintas. Procederemos por reducción al absurdo. Si p(x) tuviese n + 1 raíces distintas X 1 <X2 <". < x n <xn+l :
entonces se cumpliría el teorema de Rolle para p(x) en cada intervalo cerrado [x1,x2] , [ x 2 ,x3] ,... , [ x n ,x,+~] , y por lo tanto, existirían números cl, c2, ... 9 C n tales que f f ( c , ) = 0 Y X l < C1 < X 2 x2 < c2 < x,
. -
de donde resultaría que el polinomio
de grado n - 1, tendría n raíces distintas e,, e,, .,, , cn. Esto es una contradicción con la hipótesis inductiva de que todo polinornio de grado n - 1 no puede tener más de n - 1 raíces distintas. Concluimos, pues, que el polinomio p(x) de grado n tiene a lo más n raíces distintas.
PROBLEMA 16. Sea f ( x ) una función tal que f ' ( x ) = -^1 para x > O y f (1) = 0. Pro- X bar que se cumple f (xy) = f ( x ) + f ( y ).
El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones (^) 367
O 00 REGLA DE L'HOSPITAL A - Y -. O 00
Teorema. Sean f ( x ) y g(x) dos funciones diferenciables en O c lx - al < S tales que
(1) lim f ( x ) = limg(x) = O (esto es, cuando - f ( a ) = -1 o , x+a x+a (^) d a ) 0
(2) 1im f ( x ) lim g(x) = 00 %+a x+a
(esto es, cuando -^ f ( a ) - - 4, d a ) m entonces lim -^ f^ (4^ = lim - f^ @(.) , .-a g(x) .-.a gl(x)
siempre que lim f'o exista. .+a gl(x)
NOTA. O 00 (1) Las pruebas de la regla de L'H&spitalpara cada caso - y - , se dan en los 0 , problemas resueltos 1 y 2, respectivamente. O 00 (2) La regla de L'HGspital para las formas indeterminadas - y - , sigue siendo O 00 válida si se consideran limites laterales o límites al infinito :
(2.1) lim^ -^ f^ (4^ =^ _l_*^ - f^ '( x-+ g ( x ) %-a gt(x)
( 2. 3 ) lim -^ f^ (4^ = lim - f^ '( x-+- g(x) #-.+m g'(x)
O 00 (3) Puede ocurrir que el cociente f'o de lugar a una h a indeterminada - o - gt(x) O 00 en x = a, entonces se aplica de nuevo la regla de L'HGspital
siempre que lim f"0 exista. '+O gt'(x)
En la práctica se aplica la regla tantas veces cuantas sean necesarias hasta obtener un cociente no indeterminado.
x^3 -2x 2 - x + 2 EJEMPLO 1. Calcular lirn x - 1 x3-7x+
SOLUCION. Puesto que lirn x^3 - 2x 2 - x + 2 = O y lirn x^3 - 7x + 6 = 0. x+ 1 x+ 1
por la regla de L'HGspital tenemos
x 3 - 2 2 ~- ~ + 2 3 ~ - 4 ~ - 1^2 -2 1 lim = lim - -^ =^ -^ S x + l x 3 - 7 x + 6 X + I 3x2 -7 -4 2
tg x - senx EJEMPLO 2. Hallar lim #+O x - senx
SOLUCION. Tenemos
tg x - senx sec^2 x-cosx lim = lim %+O X-senx x+O 1-cosx
2sec 2 x. t g x + s e n x = lirn X+O sen x
2 sec3x + 1 = lirn x+O 1
(aplicando dos veces la regla de L'HGspital)
(cancelando sen x )
