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PRÁCTICA N° 3
CÁLCULO DE ERRORES
I. OBJETIVOS 1.2 Identificar y aprender a manejar algunos instrumentos empleados en las mediciones de cantidades físicas. 1.3 Expresar correctamente el resultado de una medición directa 1.4 Aplicar correctamente la teoría de errores en su propagación para obtener una medición indirecta. II. INFORMACIÓN TEÓRICA
2.1 ERROR DE MEDIDA
Es la diferencia entre el valor medido de una cantidad física ( X ) y el valor “exacto” ( XV ). E = X – XV... (1)
Los errores pueden surgir por diferentes razones. Por ello, es necesario clasificarlos en errores sistemáticos y errores aleatorios o accidentales.
2.1.1 Errores sistemáticos
Se denominan sistemáticos porque dan efectos consistentes, ya que su presencia permite la obtención de valores que son más altos o más bajos en relación al valor verdadero. Los errores sistemáticos se pueden originar por:
- Defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición.
- Malos hábitos y forma peculiar de realizar las observaciones por parte del experimentador.
- Las condiciones en las cuales se realizan los experimentos. Dependen de factores como: temperatura, presión y humedad relativa.
- La limitada precisión de las constantes universales de las ecuaciones que se usan en el diseño y calibración de los instrumentos.
Los errores sistemáticos se pueden evitar o corregir, sustituyendo el equipo defectuoso, controlando condiciones del experimentador, cambiando el método de medida, etc.
2.1.2 Errores aleatorios o accidentales
Se debe a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se combinan para dar lugar a que la precisión de una misma medición de cada ocasión da un valor algo distinto. En general, los errores aleatorios no se puede eliminar, pero si estimar su valor estadístico.
- INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL
Es el valor posible que puede tener el error experimental en la medición.
Esta cuantificación es importante para poder estimar el grado de validez de los datos que se obtienen y expresar los límites del intervalo dentro de los cuales se está seguro de obtener el valor verdadero. Ejemplo: La medición de la aceleración debido al fenómeno de la gravedad expresada como:
g = (981,34 0,01) cm/s^2
Indica que el valor probable de “g” es 981,34 cm/s^2 , pero debido a la presencia de errores el valor verdadero de “g” en el lugar de medición está comprendido dentro del intervalo 981,33 cm/s^2 a 981,35 cm/s^2.
- INCERTIDUMBRE ABSOLUTA ( X)
Presenta los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro (alrededor del 99%) de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo.
- INCERTIDUMBRE RELATIVA (Ir)
Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido. Matemáticamente se expresa por:
o
r
X
X
I
- INCERTIDUMBRE PORCENTUAL (%)
Se define como la incertidumbre relativa multiplicada por 100 %, es decir:
I (%) = Ir. (100 %)... (3)
Se usa para especificar la exactitud de una medida.
A continuación se establece los criterios mediante las cuales se asocia la incertidumbre al resultado de una medición.
2.2 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS
a) Cuando se realiza sólo una medición directa de una cantidad física, a la lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta , igual a la mitad de la división más pequeña ( aproximación ) de la escala del instrumento; cuya expresión es:
X ( Aproximación )... (4)
X = incertidumbre absoluta
Ejemplo: Si al medir la longitud de un cuerpo con una regla graduada en milímetros se obtiene 120 mm, cuya incertidumbre asociada a la regla es X = 0,5 mm, entonces el resultado se debe indicar así:
m mX m ( 52 , 9 0 , 15 ) g
DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL PROMEDIO ( x )
Para fines prácticos, si se trabaja con una muestra de mediciones, la desviación estándar se calcula con la siguiente expresión:
nn 1
X X
x
2 i
... (8)
Según la última ecuación, cuanto más mediciones se hagan, tanto más se acercará el valor promedio al valor verdadero.
Ejemplo: Si el valor promedio de varias mediciones de la cantidad física tiempo es 10 s y su desviación estándar del promedio es 0,1 s, entonces el valor más probable de tiempo se puede expresar como:
t tx t ( 10 0 , 1 )s
2.3 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS
Dado que la mayoría de las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería son indirectas, es importante determinar como se propaga la incertidumbre en este tipo de mediciones. A continuación se establece la incertidumbre asociada en resultados que se obtengan por una suma, resta, producto, cocientes y potencia.
SUMA Y RESTA
Si una magnitud Z se obtiene por la ADICIÓN o RESTA de dos variables como:
Z = X + W ó Y = X – W
Donde: X Xo X; W Wo W
Entonces, la magnitud de la medición indirecta “Z” o “Y”, asociado con la incertidumbre absoluta “Z” será:
Z ( Xo Wo)(XW)... (9)
Y ( Xo Wo)(XW)... (10)
MULTIPLICACIÓN
Sea Z una magnitud que se obtiene del producto de dos variables:
Z = X W
Donde:
X Xo X
W Wo W
Entonces, la medición indirecta “Z”, asociado con la incertidumbre absoluta será:
Z Zo ZXoWo( XoWWoX)... (11)
DIVISIÓN
Sea “Z” una magnitud que se obtiene del cociente de dos variables:
W
X
Z
Donde:
X Xo X
W Wo W
Entonces, el valor de la medición indirecta “Z”, asociado con la incertidumbre absoluta, está dado por:
2
o
o o o
o o
W
W X X W
W
X
Z Z Z
POTENCIA
Sea “Z” una magnitud que se obtiene de la potencia:
Z = Xn
Donde: X Xo X
n = 1, 2, 3,...
Entonces la medición asociada con la incertidumbre absoluta, se calculará de:
Z Xno XXno( nXn^1 X)... (13)
Las mediciones indirectas obtenidas por cualesquiera de los casos anteriores, puede expresarse también asociando las incertidumbres RELATIVA Y PORCENTUAL en base a las ecuaciones (2) y (3).
Elementos finales de control .- Es el instrumento que recibe las señales del sistema tomadas por el controlador y las ejecuta directamente sobre la variable controlada.
Elemento primario de medida .- Es el que está en contacto directo con la variable y dispuesto a transmitir cualquier transformación de energía en el medio medido.
2. Calibrado de instrumentos
Es un proceso importante porque permite verificar dicho instrumento con respecto a un estándar conocido. Mediante la calibración se establece la exactitud de los instrumentos, por lo que antes de aceptar la lectura de un instrumento se debe verificar la calibración para estar seguro de la validez de las mediciones.
3. Definiciones importantes en instrumentación
Precisión de instrumentos de medida .- Es el grado hasta el cual se puede detectar diferencias entre medidas de una misma cantidad. Alta precisión significa gran proximidad entre los resultados obtenidos en la medición y baja precisión significa una amplia dispersión de los mismos.
Ejm: Una regla que da lectura de 5,0 mm; 5,2 mm y 4,9 mm, es menos preciso que una calibrador que da lecturas de 50,1 mm; 50,2 mm y 50,3 mm.
Exactitud de instrumentos o medidas .- Es el grado hasta el cual da el verdadero valor o señala la proximidad del valor real.
Ejm: Una regla de acero es mas exacta que una cinta métrica a pesar de que tiene igual precisión (con aproximación a 1mm.)
Sensibilidad .- Es la relación del movimiento lineal del indicador en el instrumento con el cambio en la variable medida que origina dicho movimiento.
Ejm.: la sensibilidad de un voltímetro es de 0.1 cm/Volt si tiene una escala de 10 cm de longitud, para un máximo de 100 Volt.
Legibilidad .- Facilidad con que se puede leer la escala de un instrumento.
Ejm: Un instrumento que tenga una escala de 10 cm de longitud tendrá mayor legibilidad que otro de 5 cm en el mismo rango.
Fiabilidad .- Es la medida de la probabilidad de que un instrumento se siga comportando dentro de límites específicos de error en condiciones específicas y a lo largo de un tiempo determinado.
Campo de medida .- Es el espectro o conjunto de valores de la variable que se mide dentro de los límites superior o inferior de la capacidad del instrumento.
Ejm: El campo de medida de un termómetro clínico e de 35 a 41°C.
Alcance .- Es la diferencia algebraica entre los valores superior e inferior del campo de medida del instrumento.
Ejm: El valor del alcance de un termómetro clínico es de 6 °C.
III. PARTE EXPERIMENTAL
Materiales: a) Regla graduada en mm.
b) Pie de rey.
c) Balanza de brazos.
d) Cronómetro.
e) Probeta graduada en ml.
f) Muestras diversas para su medición
Procedimiento:
Primera parte: OBTENCIÓN DE MEDIDAS DIRECTAS
Elegir y describir cada uno de los instrumentos de medición anotando en la Tabla Nº 1 su aproximación de medida y la incertidumbre absoluta asociada respectivamente.
TABLA No^1 INSTRUMENTO DE MEDIDA
APROXIMACIÓN DE
MEDIDA
INCERTIDUMBRE
ABSOLUTA ASOC.(ΔX)
- Regla
- Pie de Rey
- Balanza de Brazos
- Cronómetro
- Probeta
Realizar mediciones directas por una sola vez de las dimensiones requeridas de las muestras o situaciones propuestas y expresar correctamente el valor probable bajo el esquema de la Tabla Nº 2.
TABLA N° 2
DIMENSION VALOR PROBABLE (X) X = Xo ± ΔX X = Xo ± Ir X = Xo ± Ir (%) LONGITUD L = ± L = ± L = ± MASA m = ± m = ± m = ± TIEMPO t = ± t = ± t = ± VOLUMEN V = ± V = ± V = ±
OBTENCION DE MEDIDAS INDIRECTAS
Utilizando el potenciómetro, se determinó: 123mg/dl, 128mg/dl, 128mg/dl, 126mg/dl y 125mg/dl de glucosa en la sangre asociando la incertidumbre correspondiente. Exprese los resultados en la tabla 6 TABLA N° 6
IV. SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
1. ¿Cuáles de las siguientes mediciones pueden ser clasificadas como mediciones directas y por qué? a) Medición de un volumen de líquido mediante una pipeta. …………………………………………………………………………………………... b) Medición de la presión atmosférica mediante el uso de un barómetro de columna de mercurio. …………………………………………………………………………………………... c) Medición del área de un aula de clases. …………………………………………………………………………………………... d) Medición de la masa de una persona utilizando una balanza. …………………………………………………………………………………………... 2. Si hubiese utilizado otra regla con diferente graduación, por ejemplo: graduada sólo en cm, o medios milímetros, habría encontrado el mismo valor? …………………………………………………………………………………………... 3. Si un cronómetro tiene una aproximación en décimas de segundo. ¿cuál sería la expresión del valor probable, si el tiempo medido fuera 40, segundos? …………………………………………………………………………………………... 4. Si una balanza de brazos, tiene una aproximación de un quinto de gramo. ¿Cuál sería el valor probable de una masa asociando la incertidumbre porcentual, cuando la masa medida es de 500 g? …………………………………………………………………………………………... 5. ¿Cuál será el valor probable de la longitud y el diámetro del dedo medido, al cuál se asocia la incertidumbre absoluta según el criterio de desviación estándar del promedio? Compare con el resultado de las Tablas Nº 3 y Nº 4. …………………………………………………………………………………………... 6. ¿Cuál será el valor del tiempo obtenido según la Tabla Nº 5, cuando se asocia la incertidumbre según el criterio de desviación media? …………………………………………………………………………………………... 7. ¿Cuáles posibles factores han influenciado sobre sus mediciones?. Explique. …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………...
T A B L A N ° 6
MUESTRA
Media aritmética
Incertidumbre Absoluta (Según el criterio de desviación estándar)
Incertidumbre relativa
Incertidumbre Relativa porcentual
Glucosa en la sangre
V. OBSERVACIONES Y/O CONCLUSIONES
VI. BIBLIOGRAFÍA Y/O DIRECCIONES DE INTERNET CONSULTADAS
