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Tema 6
Integral Definida
6.1 Introducci´on
En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto matem´atico que esencialmente puede describirse como el l´ımite de una suma cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el punto de vista hist´orico la construcci´on del concepto riguroso de integral est´a asociado al c´alculo de ´areas.
6.2 Definici´on de Integral Definida
Comenzaremos analizando el problema de calcular el ´area determinada por el eje de abscisas, las rectas x = a, x = b y la gr´afica de la funci´on f (x), que supondremos en un primer caso continua y positiva en el intervalo [a, b] (ver Figura 6.1 izquierda): La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en varios subintervalos: [a, x 1 ], [x 1 , x 2 ],... [xn− 1 , b], de manera que el ´area que buscamos ser´a la suma de las ´areas de cada una de las figuras planas que resultan de dicha divisi´on. Conceptualmente el problema es evidentemente en mismo, aunque ahora se deban calcular n ´areas m´as reducidas en lugar de una. Tomemos en cada sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ 1 ,... , ξn}, y construyamos el rect´angulo de altura f (ξ) correspondiente a cada uno de los subintervalos (ver Figura 6.1 derecha). Podemos as´ı aproximar el valor del ´area buscada por la suma:
A ≈ f (ξ 1 ) (x 1 − a) + f (ξ 2 ) (x 2 − x 1 ) +... + f (ξn) (b − xn− 1 )
Evidentemente esta aproximaci´on ser´a tanto mejor cuanto m´as subintervalos se in- troduzcan, y en particular si el n´umero de ellos tiende a infinito (y la anchura de todos y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en dicho l´ımite el resultado ser´a exacto y nos proporcionar´a el ´area buscada.
63
a b x
y
a Ξ 1 x 1 Ξ 2 x 2 Ξ 3 x 3 Ξ 4 b x
y
Figura 6.1: Construcci´on de una suma de Riemann.
Este proceso de paso al l´ımite es el que define la integral definida o integral de Riemann, que veremos a continuaci´on con m´as detalle:
El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite una suma cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito y simult´aneamente cada uno de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos las siguientes definiciones:
Definici´on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on de n + 1 puntos P = {x 0 , x 1 , · · · , xn} tales que a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn = b. Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk− 1 , xk] de anchuras respectivas ∆xk = xk − xk− 1.
Definici´on. Dada una funci´on f (x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P = {x 0 , x 1 , · · · , xn} de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ 1 , ξ 2 , · · · , ξn} tales que ξk ∈ [xk− 1 , xk], se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f (x) en [a, b] correspondiente a la partici´on P y a la elecci´on de puntos ξ a la suma siguiente:
S(f, P, ξ) =
∑^ n k=
f (ξk)∆xk = f (ξ 1 )∆x 1 + · · · + f (ξn)∆xn
Si suponemos que la funci´on es continua^1 en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass, f (x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk− 1 , xk], podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo la suma superior de Riemann de f (x) en [a, b] con respecto a la partici´on P :
U (f, P ) =
∑^ n k=
Mk∆xk
(^1) Realmente ser´ıa suficiente con que f (x) fuera continua en cada subintervalo de la partici´on P.
En el primer caso las sumas de Riemann ser´an de la forma:
S(f, P, ξ) = 1 ∆x 1 + 1 ∆x 2 +... + 1∆xn = b − a
independientemente de la partici´on tomada y de la elecci´on de puntos realizada. La integral por tanto es: (^) ∫ (^) b
a
dx = b − a
que obviamente coincide con el ´area del rect´angulo de base b − a y altura 1. (Ver Figura 6.2, izquierda).
Para calcular la segunda integral podemos proceder de varias formas. En primer lugar es evidente que el resultado de la integral va a ser el ´area del trapecio de la Figura 6.2 (derecha), y sabemos que el ´area de un trapecio es igual al producto de la altura (b − a) por la suma de las bases dividida por dos: 12 (a + b), es decir:
∫ (^) b a
x dx =^12 (a + b)(b − a) =^12 ( b^2 − a^2 )
Demostraremos no obstante este resultado aplicando directamente la definici´on de integral definida. Dado que la funci´on f (x) = x es continua, ser´a integrable en [a, b]. Las sumas de Riemann correspondientes a una partici´on cualquiera P = {x 0 , x 1 ,... , xn}, con a = x 0 < x 1 <
... < xn = b ser´a:
S(f, P, ξ) = ξ 1 ∆x 1 + ξ 2 ∆x 2 +... + ξn∆xn = ξ 1 (x 1 − x 0 ) + ξ 2 (x 2 − x 1 ) +... + ξn(b − xn− 1 )
siendo ξ = {ξ 1 ,... , ξn} una elecci´on cualquiera de puntos en los subintervalos de la partici´on P. Dado que f (x) es creciente siempre, las sumas superiores e inferiores de Riemann se obtienen eligiendo ξi = xi y ξi = xi− 1 respectivamente:
U (f, P ) = x 1 (x 1 − x 0 ) + x 2 (x 2 − x 1 ) +... + xn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n i=
(x^2 i − xixi− 1 )
L(f, P ) = x 0 (x 1 − x 0 ) + x 1 (x 2 − x 1 ) +... + xn− 1 (xn − xn− 1 ) =
∑^ n i=
(xixi− 1 − x^2 i− 1 )
Observamos entonces que sea cual sea la partici´on P la suma de U (f, P ) y L(f, P ) es:
U (f, P ) + L(f, P ) = x^2 n − x^20 = b^2 − a^2
Si tomamos ahora el l´ımite de Riemann, teniendo en cuenta que f (x) es integrable, resulta que tanto U (f, P ) como L(f, P ) tienden a la integral definida y por tanto:
U (f, P ) + L(f, P ) −→ 2
∫ (^) b a
x dx = b^2 − a^2 ⇒
∫ (^) b a
x dx =^12 ( b^2 − a^2 )
Q.E.D.
a b x
y
a b x
a
b
y
Figura 6.2: Funciones f (x) = 1 y f (x) = x en el intervalo [a, b].
6.3 Propiedades b´asicas
- Si f (x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b].
- Si f (x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].
- Si f (x) est´a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´umero finito de discontinuidades, entonces es integrable en [a, b]. Esta propiedad tambi´en es cierta si el n´umero de discontinuidades es infinito pero contable (numerable).
- La integral definida es lineal, es decir: Si f (x) y g(x) son dos funciones integrables en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica: ∫ (^) b
a
(f (x) + g(x))dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx +
∫ (^) b
a
g(x)dx
mientras que si k es un n´umero real cualquiera, entonces: ∫ (^) b
a
kf (x)dx = k
∫ (^) b
a
f (x)dx
- Dados tres n´umeros reales a, b y c, se verifica: ∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx
siempre que las integrales anteriores existan.
- Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica: ∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g(x) dx
- Si a < b y f (x) es integrable en [a, b], se verifica: ∫ (^) b
a
f (x)dx ≤
∫ (^) b
a
|f (x)| dx
La funci´on F (x) tiene un significado geom´etrico evidente dado que nos proporciona el “´area determinada^2 ” por la gr´afica de f (x) entre el punto inicial a y un punto concreto x del intervalo [a, b].
Regla de Barrow. Si f (x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f (x) en [a, b], entonces se verifica: ∫ (^) b
a
f (x)dx = G(x)|ba = G(b) − G(a)
Demostraciones: Demostraremos en primer lugar el Teorema Fundamental del C´alculo: Dada la funci´on f (x) continua en [a, b], definiremos entonces en [a, b] la funci´on:
F (x) =
∫ (^) x a
f (u)du
Consideremos h > 0 tal que x y x + h pertenezcan ambos al intervalo [a, b], tendremos entonces (aplicando las propiedades b´asicas de las integrales) que:
F (x + h) − F (x) =
∫ (^) x+h a
f (u)du −
∫ (^) x a
f (u)du =
∫ (^) x+h x
f (u)du
Aplicando a continuaci´on el Teorema del Valor Medio en el intervalo [x, x + h], existir´a un valor c ∈ [x, x + h] tal que: (^) ∫ x+h x
f (u)du = f (c)(x + h − x) = f (c) h
Pero entonces la derivada de F (x) en el punto x se re-escribe de la forma:
F ′(x) = lim h→ 0 F^ (x^ +^ h h)^ −^ F^ (x)= lim h→ 0 f (c)
y dado que f (x) es continua en [a, b] y, en consecuencia, en [x, x + h], tendremos que h → 0 nos lleva a que x ≤ c ≤ x + h ⇒ x ≤ c ≤ x, y en definitiva, al ser f (x) continua:
hlim→ 0 f^ (c) = lim c→x f^ (c) =^ f^ (x)^ ⇒^ F^ ′(x) =^ f^ (x)
Q.E.D^3.
Demostraci´on de la regla de Barrow: Dada al funci´on continua f (x) en [a, b], si G(x) es una primitiva de f (x) en [a, b] tendremos que, dado que F (x) definida anteriormente tambi´en lo es, ambas deben diferenciarse tan s´olo en una constante C, de esta forma:
G(x) − F (x) = C , ∀x ∈ [a, b] (^2) Evidentemente hablamos de ´area en sentido figurado, pues se trata realmente de un ´area para funciones definidas positivas en [ 3 a, b]. Estrictamente hablando hemos demostrado tan s´olo que la derivada por la derecha de F (x) es f (x). Es trivial completar la demostraci´on en el otro sentido.
En particular: G(a) − F (a) = C ⇒ G(a) −
∫ (^) a a
f (x)dx = C
G(b) − F (b) = C ⇒ G(b) −
∫ (^) b a
f (x)dx = C
restando ambas expresiones, y considerando que ∫ (^) a a f^ (x)dx^ = 0, tendremos: ∫ (^) b a
f (x)dx = G(b) − G(a)
Q.E.D.
6.5 Integrales Impropias
En la construcci´on y definici´on de integral definida o integral de Riemann hemos par- tido de una funci´on f (x) definida en un intervalo finito [a, b] y adem´as acotada en el mismo. Las integrales impropias se definen precisamente para contemplar la posibilidad de integrar en intervalos infinitos, por un lado, e integrar funciones no acotadas, por otro.
6.5.1 Integrales Impropias de Primera Especie
Una integral impropia de primera especie es una integral extendida a un intervalo no finito. Para definirla utilizaremos la siguiente expresi´on: ∫ (^) ∞ a
f (x)dx = lim b→∞
∫ (^) b a
f (x)dx
Si dicho l´ımite existe y es finito diremos que la integral impropia de primera especie ∫ (^) ∞
a
f (x)dx
es convergente, en caso contrario ser´a divergente. De manera an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie siguientes: ∫ (^) b
−∞
f (x)dx = (^) a→−∞lim
∫ (^) b
a
f (x)dx ;
−∞
f (x)dx = lim k→∞
∫ (^) k
−k
f (x)dx
6.5.2 Integrales Impropias de Segunda Especie
Una condici´on necesaria para que f (x) fuera integrable en [a, b] era que estuviera acotada en [a, b]. Si f (x) es integrable en [a, b−ε] y no est´a acotada en un entorno de b, definimos la integral impropia de segunda especie: ∫ (^) b
a
f (x) dx = (^) εlim→0+
∫ (^) b−ε
a
f (x) dx
6.6.2 C´alculo de longitudes de arco de curva:
Expresiones en coordenadas cartesianas: La longitud de la curva y = f (x) entre las abscisas x = x 1 y x = x 2 viene expresada mediante la f´ormula:
L =
∫ (^) x 2 x 1
1 + (f ′(x))^2 dx
Expresiones en param´etricas:
La longitud de la curva c ≡
x = x(t) y = y(t) entre las abscisas x(t 1 ) y x(t 2 ) viene dada
por:
L =
∫ (^) t 2
t 1
(x′(t))^2 + (y′(t))^2 dt
Expresiones en coordenadas polares: La longitud de la curva r = r(θ) entre las coordenadas angulares θ = θ 1 y θ = θ 2 viene dada como:
L =
∫ (^) θ 2
θ 1
(r(θ))^2 + (r′(θ))^2 dθ
6.6.3 C´alculo de vol´umenes de revoluci´on (alrededor del eje OX):
Expresiones en coordenadas cartesianas: El volumen generado por la curva y = y(x) al girar alrededor del eje OX entre las abscisas x 1 y x 2 corresponde a la f´ormula:
V = π
∫ (^) x 2
x 1
(f (x))^2 dx
Expresiones en param´etricas El volumen de revoluci´on respecto del eje OX de la curva (x(t), y(t)) delimitado por las abscisas x(t 1 ) y x(t 2 ) est´a dado por:
V = π
∫ (^) t 2
t 1
(y(t))^2 |x′(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares: El volumen de revoluci´on de la curva r = r(θ) sobre el eje OX delimitado por las variables angulares θ 1 y θ 2 es
V =
2 π 3
∫ (^) θ 2
θ 1
r^3 (θ)|senθ|dθ
6.6.4 C´alculo de ´areas de revoluci´on (alrededor del eje OX):
El ´area generado por la curva c al girar alrededor del eje OX puede ser calculado seg´un las siguientes expresiones: Expresiones en coordenadas cartesianas: El ´area lateral referido anteriormente de la curva y = f (x) entre las abscisas x 1 y x 2 ser´a: AL = 2π
∫ (^) x 2
x 1
|f (x)|
1 + (f ′(x))^2 dx
Expresiones en param´etricas: En ecuaciones param´etricas, el ´area lateral limitada por las abscisas x(t 1 ) y x(t 2 ) viene dada por:
AL = 2π
∫ (^) t 2
t 1
|y(t)|
(x′(t))^2 + (y′(t))^2 dt
Expresiones en coordenadas polares: La expresi´on en coordenadas polares es:
AL = 2π
∫ (^) θ 2 θ 1
r(θ) sen θ
(r(θ))^2 + (r′(θ))^2 dθ
