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INTEGRALES TRIPLES.
- Dada la integral
0
∫ (^) x
0
∫ (^) y
0
f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´on de integraci´on y escribir la integral de todas las formas posibles.
Soluci´on
x
y
z
Teniendo en cuenta la gr´afica adjunta, si D 1 , D 2 y D 3 son las proyecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:
D 1
dxdy
∫ (^) y
0
f dz =
0
dx
∫ (^) x
0
dy
∫ (^) y
0
f dz =
0
dy
y
dx
∫ (^) y
0
f dz, ∫ ∫
D 2
dxdz
∫ (^) x
z
f dy =
0
dz
z
dx
∫ (^) x
z
f dy =
0
dx
∫ (^) x
0
dz
∫ (^) x
z
f dy, ∫ ∫
D 3
dydz
y
f dx =
0
dy
∫ (^) y
0
dz
y
f dx =
0
dz
z
dy
y
f dx.
- Calcular las siguientes integrales triples:
i)
V
(x^2 + y^2 ) dxdydz, donde V est´a limitado por las superficies x^2 + y^2 = 2z, z = 2.
ii)
W
(1+z^2 ) dxdydz, siendo W la regi´on limitada por 2 az = x^2 +y^2 , x^2 +y^2 −z^2 = a^2 , z = 0.
Soluci´on
i) La regi´on de integraci´on es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2.
x
y
z
Como la proyecci´on de dicha regi´on sobre el plano z = 0 es el c´ırculo C : x^2 + y^2 ≤ 4, la integral triple se puede descomponer entonces como
I =
C
dxdy
(x^2 +y^2 )/ 2
(x^2 + y^2 ) dz.
Al escribir la integral en coordenadas cil´ındricas, se obtiene:
I =
∫ (^2) π
0
dv
0
u du
u^2 / 2
u^2 dz = 2π
0
u^3 · (2 − u^2 /2) du = 16 π 3
ii) La intersecci´on del paraboloide 2az = x^2 + y^2 con el hiperboloide x^2 + y^2 − z^2 = a^2 da la circunferencia x^2 + y^2 = 2a^2 situada en el plano z = a. Esto indica que ambas superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´on de integraci´on est´a limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano z = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi´on de integraci´on).
x
y
z
x
y
z
Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est´a en el c´ırculo de centro el origen y radio a, entonces z est´a comprendido entre el plano z = 0 y el paraboloide 2 az = x^2 + y^2 y, si (x, y) est´a entre el c´ırculo anterior y el c´ırculo de radio a
2, entonces z est´a comprendido entre el hiperboloide x^2 + y^2 − z^2 = a^2 y el paraboloide anterior.
La f´ormula que se obtiene es pues
I =
x^2 +y^2 ≤a^2
dxdy
∫ x^22 +ay^2
0
(1 + z^2 ) dz
a^2 ≤x^2 +y^2 ≤ 2 a^2
dxdy
∫ x^22 +ay^2 √ x^2 +y^2 −a^2
(1 + z^2 ) dz.
x
y
z
Como la proyecci´on del s´olido sobre el plano XY es el cuadrado R limitado por las rectas x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a, el volumen se calcula por la f´ormula
V =
R
dxdy
∫ √a (^2) −x 2
− √ a^2 −x^2
dz = 2
R
a^2 − x^2 dxdy
−a
dx
∫ (^) x+a
−x−a
a^2 − x^2 dy + 2
∫ (^) a
0
dx
∫ (^) −x+a
x−a
a^2 − x^2 dy = 2a^3 π − 8 a^3 / 3.
[Para calcular las integrales se puede hacer alguna sustituci´on trigonom´etrica.]
ii) El s´olido consiste en la regi´on limitada entre el plano XY y el paraboloide z = x^2 + y^2 y cuya proyecci´on sobre el plano XY es la regi´on R limitada por las curvas xy = a^2 , xy = 2a^2 , y = x/2, y = 2x (en realidad la regi´on es uni´on de dos regiones, una de ellas en el primer cuadrante y otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma ´area y la funci´on z = x^2 + y^2 es sim´etrica, bastar´a multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar ´unicamente la parte del primer cuadrante).
z
Podemos pues escribir el volumen como:
V = 2
R
dxdy
∫ (^) x^2 +y^2
0
dz =
R
(x^2 + y^2 ) dxdy.
Para calcular la integral doble sobre la regi´on R, realizamos el cambio de variables dado por las ecuaciones xy = u, x/y = v.
Este cambio hace que
∣J
( (^) x, y u, v
2 v
y que la nueva regi´on de integraci´on sea R′^ = {(u, v) :
a^2 ≤ u ≤ 2 a^2 , 1 / 2 ≤ v ≤ 2 }. El volumen se calcula entonces como
V = 2
∫ (^2) a^2
a^2
du
1 / 2
uv +
u v
2 v dv =
9 a^4 2
iii) El s´olido est´a ahora comprendido entre la funci´on dada y los planos coordenados.
x
y
z
Su proyecci´on sobre el plano XY es la regi´on R del primer cuadrante limitada por los
ejes coordenados y la astroide de ecuaci´on
x a
y b
= 1, de modo que el volumen es
sencillamente
V =
R
∫ (^) c(1−√x/a−√y/b) 2
0
dz
∫ (^) a
0
dx
∫ (^) b((1−√x/a)^2
0
c(1 −
x/a −
y/b)^2 dy =
abc 90
[Todas las integrales son inmediatas.]
iv) Ahora el s´olido es la regi´on limitada superiormente por el elipsoide x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
= 1 e
inferiormente por el cono
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
, por encima del plano XY. Como la intersecci´on
de ambas superficies es la elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
= 1/2, situada en el plano z = c/
2, el volumen
se expresa mediante la integral
V =
R
dxdy
∫ (^) c√ 1 −x (^2) /a (^2) −y (^2) /b 2
c
x^2 /a^2 +y^2 /b^2
dz,
donde R es la regi´on limitada por la citada elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
- Calcular el volumen del casquete esf´erico limitado por
x^2 + y^2 + z^2 = a^2 x^2 + y^2 + z^2 = b^2 x^2 + y^2 = z^2 ,
con z ≥ 0 , siendo 0 < a < b.
Soluci´on
x
y
Si escribimos el volumen en coordenadas esf´ericas, de acuerdo a la figura tenemos:
x = r cos ϑ sen ϕ y = r sen ϑ sen ϕ z = r cos ϕ
donde
a ≤ r ≤ b 0 ≤ ϕ ≤ π/ 4 0 ≤ ϑ ≤ 2 π
Recordando que el jacobiano de la transformaci´on es J = r^2 sen ϕ, el volumen se escribe ahora de la siguiente forma:
V =
∫ (^) b
a
dr
∫ (^) π/ 4
0
dπ
∫ (^2) π
0
r^2 sen ϕdϑ =
r^3 3
b a
− cos ϕ
π/ 4 0
· 2 π
b^3 − a^3 3
· 2 π =
π 3
2)(b^3 − a^3 ).
- (a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, z = constante, en el sistema de coordenadas cil´ındricas. (b) Idem para las superficies r = constante, ϑ = constante, φ = constante, en coor- denadas esf´ericas.
Soluci´on a) De las ecuaciones que definen las coordenadas cil´ındricas:
x = r cos ϑ, y = r sen ϑ, z = z,
al hacer r = k, obtenemos x^2 + y^2 = k^2 ,
lo que corresponde a un cilindro con eje de simetr´ıa el eje Z y radio k. Si hacemos ϑ = k, basta dividir las dos primeras coordenadas para obtener y x
= tg k,
lo que corresponde a un plano vertical que pasa por el origen (los distintos valores de k dan los diferentes ´angulos con respecto al plano y = 0). Si hacemos z = k, esta misma ecuaci´on representa un plano horizontal de altura k. b) Las coordenadas esf´ericas de un punto se obtienen mediante las ecuaciones
x = ρ cos ϑ sen φ, y = ρ sen ϑ sen φ, z = ρ cos φ.
Si hacemos ρ = k, obtenemos x^2 + y^2 + z^2 = k^2 , es decir la esfera centrada en el origen con radio k. Si hacemos ϑ = k, al igual que con las coordenadas cil´ındricas, y x
= tg ϑ,
que representa tambi´en un plano vertical. Si, por ´ultimo, escribimos φ = k, resulta:
x^2 + y^2 = ρ^2 sen^2 φ z^2 = ρ^2 cos^2 φ
x^2 + y^2 z^2 = tg^2 φ,
que representa un cono de v´ertice el origen.
- Calcular el momento de inercia de un s´olido en forma de cono circular recto con densidad constante respecto a su eje.
Soluci´on Supongamos que el cono de altura h y radio en la base r tiene v´ertice en el origen y eje vertical. Entonces su ecuaci´on es
z^2 =
h^2 r^2 (x^2 + y^2 ).
Si la densidad en cada punto del s´olido es k, el momento de inercia respecto al eje Z viene dada por la f´ormula: Iz =
S
k(x^2 + y^2 ) dV.
Para resolver la integral, escribimos el s´olido en coordenadas cil´ındricas, x = u cos v, y = u sen v. La ecuaci´on del cono se escribe entonces como z = hu/r y la integral pedida
Iz =
∫ (^2) π
0
dv
∫ (^) r
0
du
∫ (^) h
hu/r
k · u^3 dz = 2πk
∫ (^) r
0
u^3
h −
uh r
du =
πkhr^4 10
La figura adjunta muestra el cono descrito, el cual tiene por ecuaci´on a^2 (h − z)^2 = h^2 (x^2 + y^2 ). Pasando la integral a coordenadas cil´ındricas, x = u cos v, y = u sen v, z = z, tenemos:
I =
∫ (^) a
0
du
∫ (^2) π
0
dv
∫ (^) h(a−u)/a
0
u(u^2 sen^2 v + z^2 )dz = · · · =
a^4 hπ 20
h^3 a^2 π 30
