Integrales Triples: Aplicaciones y Ejercicios Resueltos, Apuntes de Cálculo

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INTEGRALES TRIPLES

FACULTAD DE INGENIERÍA

Se tiene una lámina de metal que ocupa la región limitada por las curvas de ecuaciones 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2 y 𝑥𝑦 = 1 ,

ubicada en el primer cuadrante del plano 𝑋𝑌. Debido a que la lámina está fabricada de un material no

homogéneo, su densidad superficial (en gramos por pulgadas cuadradas) en cada punto 𝑃(𝑥; 𝑦) está descrita

por 𝜌(𝑥; 𝑦) =

𝑦

𝑥

𝑒

𝑥𝑦

.

a) Modele un cambio de variables 𝑢 = 𝑔(𝑥; 𝑦) 𝑦 𝑣 = ℎ(𝑥; 𝑦) y represente gráficamente la lámina de metal en

el primer cuadrante del plano 𝑈𝑉.

Problema

Integrales triples en coordenadas cartesianas

Integrales triples iteradas

Cambio de orden de integración

CONTENIDOS

Logros esperados

• Elabora representaciones de integrales triples iteradas a partir del

análisis de su región de integración.

• Calcula integrales triples iteradas discriminando entre varios ordenes de

integración el más adecuado, haciendo uso de diversas estrategias.

INTEGRALES TRIPLES

INTEGRALES TRIPLES EN

COORDENADAS CARTESIANAS

Para cada sub paralelepípedo

𝑖𝑗𝑘

𝑖− 1

𝑖

× 𝑦

𝑗− 1

𝑗

× 𝑧

𝑘− 1

𝑘

definimos la norma de la partición 𝑃 como

𝑃 = max 𝑥 ൘

𝑖− 1

𝑖

𝑗− 1

𝑗

𝑘− 1

𝑘

La integral triple de 𝑓 sobre el paralelepípedo 𝐵 es

𝑩

𝑷 →𝟎

𝒊=𝟏

𝒎

𝒋=𝟏

𝒏

𝒌=𝟏

𝒑

𝒊

𝒋

𝒌

si el límite existe.

Donde ∆𝑉 = 𝑥

𝑖

𝑖− 1

𝑗

𝑗− 1

𝑘

𝑘− 1

y 𝑥෥

𝑖

𝑗

𝑘

es un punto

cualquiera del sub paralelepípedo 𝐵

𝑖𝑗

𝑖− 1

𝑖

× 𝑦

𝑗− 1

𝑗

× 𝑧

𝑘− 1

𝑘

Definición de integral triple

Integral triple como volumen

La interpretación anterior permite interpretar la integral triple como un volumen:

Para el sólido 𝐸 ⊂ ℝ

3

, su volumen está dado por :

𝑬

𝒚

𝒙

𝒛

Sólido 𝐸

Propiedades de la integral triple

5 ) Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

3

→ ℝ es una función continua en 𝐷. Si 𝐷 se puede descomponer en un

número finito de subconjuntos 𝐷

𝑖

tales que:

Los conjuntos 𝐷

𝑖

son disjuntos dos a dos o a lo más se intersectan en una superficie,

una curva o un número finito de puntos.

entonces

𝑫

𝒊=𝟏

𝒏

𝑫

𝒊

𝐷 = ራ

𝑖= 1

𝑛

𝐷

𝑖

Integrales triples iteradas

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE

Calcule las siguientes integrales iteradas:

a)

0

4

0

4 −𝑧

0

𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑧)

4 −𝑧

b)

0

9

0

𝑦/ 3

0

𝑦

2

− 9 𝑥

2

c)

0

2 𝜋

0

𝜋

4

0

cos 𝑧

2

Solución

a)

0

4

0

4 −𝑧

0

𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑧)

4 −𝑧

Solución

b)

0

9

0

𝑦/ 3

0

𝑦

2

− 9 𝑥

2

Solución

Facultad de Ingeniería

Integrales triples iteradas sobre

regiones más generales

Sea 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ

3

→ ℝ una función continua sobre 𝐸, donde:

𝑋𝑌

1

2

Para calcular la integral

𝐸

procedemos de la siguiente manera:

(superficie)

(superficie)

𝑬

𝑿𝒀

Proyección sobre 𝑋𝑌