INTEGRALES TRIPLES
1. INTRODUCCION A LAS INTEGRALES TRIPLES
Una integral triple permite calcular cantidades en regiones tridimensionales, tales como:
- Volúmenes
- Masas
- Centros de masa
- Cargas
- Promedios
- Trabajo en campos vectoriales
Se define como:
∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑉
𝐷
Donde D es un sólido en ℝ3
2. DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
2.1. CARTESIANAS 𝒅𝑽 =𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛
Útiles cuando la región esta alineada con los ejes.
2.2. CILINDRICAS
Transformaciones: 𝑥 = 𝑟cos𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑧 = 𝑧
Jacobiano: 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
Útiles para regiones circulares.
2.3. ESFERICAS
Transformaciones: 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 cos𝜃
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝜌cos𝜙
Jacobiano: 𝑑𝑉 = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
Útiles para esferas o conos.
3. ESTRATEGIA GENERAL PARA RESOLVER UNA INTEGRAL TRIPLE
a) Dibujar o visualizar la región.
b) Describirla correctamente en el sistema adecuado.
c) Elegir coordenadas convenientes según la simetría.
d) Escribir el volumen diferencial con su jacobiano.
e) Integrar en el orden más fácil.
f) Verificar coherencia del resultado.
4. APLICACIÓN PRINCIPAL: CALCULO DE VOLUMEN
