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LÍMITES DE FUNCIONES
Sean f : D ⊂ R n^ → Rm, xo un punto de acumulación de D y l ∈ Rm.
Def.- { } { } { } { ( )}
0 xlim →x^ f^ ( )x^ =^ l^ ⇔^ ^ ∀^ xn^ ⊂^ D^ −^ x^0 / xn^ →^ x^0 ⇒^ f^ xn^ →l
Para m=1, englobamos el caso l = +∞ y − ∞.
Para n=1, D no acotado, incluimos el caso x → ±∞.
Observaciones .-
- Como se desprende de la definición anterior, para hablar de límite en xo no es necesario que f esté definida en xo , es suficiente con que sea punto de acumulación de su dominio.
- De la unicidad del límite de sucesiones, se deduce la unicidad de límite de una función en un punto.
- A partir de la definición anterior es fácil probar la no existencia de límite, ya que nos dice que son condiciones suficientes para la no existencia de límite en xo las siguientes:
i) ∃{ xn } ⊂ D − { x 0 } / { xn } →x 0 pero { f ( xn)}no tiene límite
ii) { } { } { }
0 0 {^ (^ )}^ {^ (^ )}
0
n ,^ n /^ n y lim^ n lim n n^ n^ n
x x x y D x f x f y y x →∞ →∞
Ejemplo .- Sea { }
f ( )x sen , x \ 0 x
= ^ ∀ ∈
R. Probar que no existe límite de f cuando x
tiende a 0. (Ayuda. Considérense las sucesiones { } { }
e = n n 2 2 x y n π nπ π
^ ^
Podemos reescribir la definición en términos de ε yδ de la siguiente forma:
Def.- Sea f : D ⊂ R n^ → Rmy xo un punto de acumulación de D, se dice que l∈Rm
es el límite de f cuando x tiende a xo y se nota 0
lim ( ) x x
f x l →
= si se verifica:
∀ ε > 0, ∃δ > 0 / 0 < x − xo < δ, x ∈ D ⇒ f ( )x − l <ε
o, dicho en términos de bolas abiertas:
( , ), ( , ) / *( , ) ( ) ( , )
∀B l ε ∃B x o δ x ∈ B xo δ ∩D ⇒ f x ∈B lε
Proposición.- Sea 1
n m
m
f D R R x f x f x f x
y xo un punto de acumulación
de D, entonces lim ( ) lim ( ) 1...
o o
x x^ i^ i x x
f x l f x l i m
→ →
^ ∃^ =
Observación.- En virtud del resultado anterior, es claro que estudiar el límite de una función vectorial, es un problema equivalente a estudiar el límite de m funciones escalares. Desde este momento, vamos a estudiar siempre límites de funciones escalares.
En el caso particular de funciones de una variable definimos:
Def .- Sea f : ( ,a +∞ ⊂) R → R, se dice que el límite de f cuando x tiende a +∞ es
número real l y se nota lim ( ) x
f x l →∞
= , si se verifica:
∀ ε > 0, ∃M > 0 / x > M ⇒ f ( )x − l <ε
Análogamente, si f : ( −∞, a) ⊂ R → R, se dice que el límite de f cuando x tiende a
−∞ es el número real l y se nota lim ( ) x
f x l →−∞
= , si se verifica:
∀ ε > 0, ∃m < 0 / x < m ⇒ f ( )x − l<ε
Def .- Sea f : D ⊂ R n→ R y xo un punto de acumulación de D, se dice que el límite
de f cuando x tiende a xo es ∞ y se nota 0
lim ( ) x x
f x →
= ∞ si se verifica:
∀M > 0, ∃ δ > 0 / 0 < x − xo < δ, x ∈ D ⇒ f ( )x >M
Análogamente, si f : D ⊂ Rn → R y xo un punto de acumulación de D, se dice que
el límite de f cuando x tiende a xo es –∞ y se nota 0
lim ( ) x x
f x →
= −∞ si se verifica:
∀m < 0, ∃ δ > 0 / 0 < x − xo < δ, x ∈ D ⇒ f ( )x <m
Observación : En el caso particular de funciones de una variable estos dos últimos tipos de límites se pueden considerar también en el caso de la x tendiendo a ±∞.
Def .- Sea f : D ⊂ Rn → R y A ⊂ D, se dice que f está acotada superiormente en A, si ∃M ∈ R / f ( )x ≤ M ,∀ ∈x A. De forma análoga, se dice que f está acotada inferiormente en A si ∃m ∈ R / m ≤ f ( ),x ∀ ∈x A. Si f está acotada en A superior e inferiormente se dice que f está acotada en A. Además, si está acotada en su dominio (es decir A=D) se dice que está acotada.
Proposición .- Sea f : D ⊂ Rn → R y xo ∈ D', si lim ( ) x x o
f x l R →
∃ = ∈ , entonces f está
acotada en un entorno reducido de xo.
Proposición .- Sea f : D ⊂ R n→ R y xo ∈ D´, si lim ( ) 0 x x o
f x l →
∃ = ≠ , entonces existe
un entorno reducido de xo en el que f toma el mismo signo que l.
Proposición .- Si lim ( ) 0 x x o
f x →
∃ = y g es una función acotada en un entorno reducido de
xo, entonces lim ( )( ) 0 x x o
fg x →
Teorema (del sándwich).- Sean f , g h, : D ⊂ R n→ R y x 0 ∈ D', si
f ( )x ≤ h x( ) ≤ g x( ) para todo punto de un entorno reducido de xo y además lim ( ), lim ( ) x x o x xo
f x g x → →
∃ ∃ y lim ( ) lim ( ) x x o x xo
f x g x m → →
= = , entonces lim ( ) x x o
h x m →
TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
Def .- Sea f : D ⊂ Rn → R, E ⊂ Dy xo un punto de acumulación de E , se dice que
l ∈ R es el límite de f cuando x tiende a xo según el conjunto E (o a lo largo del conjunto E) y se nota 0 x^ lim x f^ ( )x^ l x E
si se verifica:
∀B l ε ∃B x o δ x ∈ B xo δ ∩E ⇒ f x ∈B lε
Es fácil demostrar la siguiente:
Proposición .- Sea f : D ⊂ Rn → R, E ⊂ Dy xo un punto de acumulación de E , si
lim ( ) x x o
f x l →
∃ = entonces se verifica que lim ( ) x x o x E
→^ f^ x^ l ∈
La utilidad de la proposición anterior es evidente si se aplica a una situación como la que presenta la función:
( , )^2 2 ( ,^ )^ (0, 0)
xy si x y f x y (^) x y si x y
en el punto (0,0) según los conjuntos
D λ = { ( ,x λx) / x ∈ R}.
Coordenadas polares
Para hallar el límite de f(x,y) en el punto (0,0) se puede recurrir a coordenadas polares centradas en el punto (0,0) obteniendo:
F ( ρ θ, ) = f( ρ cos θ ρ, sen θ).
Si existe una función h( ρ ), que depende sólo de ρ , tal que lim ρ → 0 h( ρ) = 0 y se verifica
que: 0 ≤ F ( ρ θ, ) − L ≤ h( ρ), se puede asegurar que:
∃ (^) ( x y, lim) →(0,0) f ( ,x y ) =L
(en un punto ( ,a b ) ≠ (0, 0)se hace el cambio x = a + ρ cos θ, y = b+ ρ senθ)
Un caso particular, ya conocido de Bachillerato, de los límites según un conjunto para funciones de una variable son los límites laterales:
Def .- Sea f :D ⊂ R → R y xo un punto de acumulación de D, se dice que l∈R es el límite de f cuando x tiende a xo por la derecha y se nota lim ( ) x x o
= si se verifica:
( , ), ( , ) / *( , ) , ( ) ( , ) ∀B l ε ∃B x (^) o δ x ∈ B xo δ ∩D x >xo⇒ f x ∈B lε
Del mismo modo:
se dice que l∈R es el límite de f cuando x tiende a xo por la izquierda y se nota lim ( ) x x o −f^ x^ l →
= si se verifica:
( , ), ( , ) / *( , ) , ( ) ( , ) ∀B l ε ∃B x (^) o δ x ∈ B xo δ ∩D x <xo⇒ f x ∈B lε
Es fácil demostrar la siguiente :
Proposición .- Sea f :D ⊂ R → R y x 0 ∈ D', entonces se verifica que:
lim ( ) lim ( ) o lim^ ( )
o
o
x x x x x x
f x l f x l f x l
−
→ → →
^ ∃^ =
La utilidad de la proposición anterior es evidente si se le aplica a una situación como la que presenta la función: (^2 1 ) ( ) 1 0
f x x^ si x x si x
+^ >
en el punto xo=0, permitiéndonos garantizar la existencia de
límite de f en el punto 0, dando además el valor 1 para dicho límite.
Por otra parte es obvia la utilidad que tendrá también en el caso de que alguno, o los dos, de los límites laterales no existan, o que de existir ambos, sean distintos.
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Def.- Sea f : D ⊂ R n^ → Rm y xo un punto de D se dice que f es continua en xo si:
∀ { xn } ⊂ D /{ xn } → x 0 ⇒ { f ( xn )} → f ( x 0 ).
Teorema .- Sea f : D ⊂ Rn → R, x 0 ∈ Df es continua en el punto xo si:
∀ ε > 0, ∃δ > 0 / x − xo < δ, x ∈ D ⇒ f ( )x − f ( xo) <ε
o, dicho en términos de bolas abiertas:
∀B f ( ( xo ), ε), ∃B x ( o , δ) / x ∈ B x( o , δ) ∩D ⇒ f ( )x ∈B f( ( xo), ε)
Def .- Se dice que una función es continua en un conjunto, si lo es en todo punto del conjunto. Una función se dice continua, sin especificar dónde, si lo es en todo punto de su dominio.
Relación entre límite y continuidad
Sea f : D ⊂ R n→ Ry x 0 ∈ D ∩ D', f es continua en el punto xo si y solo si: a) f está definida en xo. b) 0
lim ( ) x x
f x →
c) 0
lim ( ) ( (^) o) x x
f x f x →
Teorema .- Sea 1
n m
m
f D R R x f x f x f x
y xo un punto de D, entonces
f es continua en xo si y sólo si
:^1
n j j
f D R R x f x j m
son continuas en xo.
Observación .- De la misma forma que en el caso del estudio de límites, se obtiene que el estudio de la continuidad de funciones vectoriales se reduce al estudio de la continuidad de sus m funciones escalares coordenadas.
Teorema .- Sean f , g : D ⊂ R n→ R y xo ∈ D. Si son continuas en xo, entonces: a) f±g es continua en xo.
b) α f es continua en xo, ∀ α ∈R
c) fg es continua en xo. d) Si g(xo) ≠0, f/g es continua en xo. e) f es continua en xo.
Teorema .- Sean f : D ⊂ Rn → Rm continua en xo y g : f ( D ) ⊂ R m^ →Rp
continua en f(xo), entonces g fes continua en xo.
Teorema de Bolzano .- Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a)f(b)<0 (i.e. tienen signos distintos) entonces existe un punto c ∈ ( ,a b )tal que f(c)=0.
Teorema de Weierstrass.- Sea f : K ⊂ R n→ R, si f es continua en K y K es compacto , entonces existen dos puntos x 1 y x 2 en K tales que f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ), para todo punto x ∈ K. Es decir, f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en K.
Teorema .- Toda aplicación lineal es continua.
Proposición .- Las funciones proyección, 1 2 1 2
n i n i n i
R R
x x x x x x x
son
continuas.
