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Límite de una función
El límite de la función f(x) en el punto x 0 , es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x 0.
Idea intuitiva de límite
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x^2 en el punto x 0 = 2.
x f(x) 1,9 3, 1,99 3, 1,999 3, ... ... ↓ ↓ 2 4 x f(x) 2,1 4. 2,01 4, 2,001 4, ... ... ↓ ↓ 2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.
Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x 2 es 4
𝒙𝒙→𝟐𝟐
𝒙𝒙 𝟐𝟐^ = 𝟒𝟒
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x 0 , si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x 0 que cumplen la condición |x - x 0 | < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε.
Def. de límite de una función en un punto
Límites laterales
También podemos calcular el límite en un punto a tomando valores cada vez más próximos a a por su derecha (valores mayores que a ) o por su izquierda (valores menores que a ), hablamos entonces de límites laterales en el punto x: límite cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda.
La definición es la siguiente:
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε.
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε.
Hallar.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.
Limites infinitos
A la hora de calcular el límite de una función en un punto también podemos obtener como resultado
Límite más infinito
Ejemplo:
Límite menos infinito
Ejemplo:
Límites en el infinito
También podemos estudiar el comportamiento de una función para valores de x cada vez más próximos a infinito, tanto positivo como negativo (+ ∞ o - ∞ )
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Asíntotas verticales
Si se cumple que
Los valores de K hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función
Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:
Es una asíntota vertical
Ramas parabólicas
Las ramas parabólicas se estudian sólo si:
Rama parabólica en la dirección del eje OY
Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:
Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.
Ejemplo
Estudiar las ramas parabólicas de la función:
Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de un logaritmo
Operaciones con infinito: Indeterminaciones
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
Cero partido por infinito
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
Un número elevado a cero
Cero elevado a cero
Infinito elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
7. Uno elevado a infinito
Cálculo de límites
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe
En x = -1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Cálculo de límites cuando x ∞
Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o - ∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces:
Ejemplo:
Límite de la función logarítmica
Si a > 0
Ejemplo:
Indeterminación infinito partido infinito
Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:
1. Por comparación de infinitos.
El numerador tiene mayor grado que el denominador.
El denominador tiene mayor grado que el numerador.
Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.
2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.
Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.
