Cálculo de una Variable: Límite de una Función, Diapositivas de Cálculo

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www.usat.edu.pe Mgtr. Jorge Guillermo Díaz Albújar [email protected] Cálculo de una Variable

SESIÓN II

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

 Aprender definiciones y

propiedades de límites de funciones de una variable.

 Calcular límites de funciones de

una variable. 2

Objetivos:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Noción intuitiva de límite: Es importante conocer el comportamiento de una función f(x), cuando los valores de la variable independiente “x”, estén muy cerca de un número específico que llamaremos “x 0

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de “x” cada vez más cercanos al número “x 0

Ejemplo: si 5

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

3 1 ( ) 1 x f x x − = −

De las tablas anteriores podemos observar que, mientras el valor de “ x ” se aproxima al número 1 , el valor de f(x) se aproxima al número 3. Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función f(x) cuando x “tiende” a 1 ; es 3. Esto se simboliza: 7

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

3 1

lim 3

x

x

x

→

Definición Intuitiva de Límite: El límite de una función f(x) cuando la variable x se aproxima a un valor dado x 0 es el número real “L” (siempre que exista). Esto se simboliza como: Se lee: “El límite de f(x) cuando x tiende a x 0 es L” 8

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

0 lim ( ) x x f x L → =

Si b y c son números reales y n un entero positivo:

Ejemplos 1 :

10

PROPIEDADES DE LÍMITES I

lim x c b b → = lim x c x c → = lim n n x c

x c

→

2 lim 3 3 x → = 4

lim 4

x

x

→ −

2 2 2 lim 2 4 x x →

Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites siguientes:

1. Múltiplo escalar:
2. Suma o diferencia:
3. Producto:
4. Cociente:
5. Potencia: 11

PROPIEDADES DE LÍMITES II

lim ( ) x c f x L → = lim ( ) x c g x K → = lim ( ) x c b f x b L →    =    lim ( ) ( ) x c f x g x L K →    =    lim ( ) ( ) x c f x g x L K →    =    ( ) ( ) lim , 0 x c f x (^) L K → g x K =  lim (^) ( ) n n x c f x L →   =  

Límites de las funciones Polinomiales y Racionales Si p es una función polinomial y c un número real, entonces: Si r es una función racional dada por Y c un número real tal que , entonces: 13

PROPIEDADES DE LÍMITES III

lim ( ) ( ) x c

p x p c

→

( ) ( ) ( ) p x r x q x = q c ( (^) )  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x c p c r x r c → q c = =

Ejemplo 3 : Límite de una función racional 14

PROPIEDADES DE LÍMITES III

2 2 1 2 1 1 2 4 lim 2 1 1 1 2 x x x x →

= = =

( ) 3 3 1

lim 5

x

x

x

→−

− −^ − − −

EJERCICIOS

( ) ( ) 3 4 1 3 2 2 2 10

1. lim 15 4. lim 4 1 2 4
2. lim 4 5. lim 4 10
3. lim 6. lim 2 5 x x x x x x x x x x x x x x →− →− → → →− → − +

− −

• Se aprendió las definiciones y propiedades de los límites de una función.
• Se calcularon límites de funciones de una variable aplicando las propiedades correspondientes.

Conclusiones

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