𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1
1+tan2𝑥 = sec2𝑥
1+cot2𝑥 = csc2𝑥
sin 2𝑥 =2sin𝑥cos𝑥
cos 2𝑥 =2cos2𝑥−1
cos 2𝑥 =cos2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥
cos 2𝑥 =1−2sin2𝑥
tan 2𝑥 =2tan𝑥
1−tan2𝑥
sin𝑥
2=± 1−cos𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝑥
2=± 1+cos𝑥
2
𝑡𝑎𝑛𝑥
2=± 1−cos𝑥
1+cos𝑥
sin𝑥+sin𝑦=2sin𝑥+ 𝑦
2⋅cos𝑥−𝑦
2
sin𝑥−sin𝑦=2sin𝑥− 𝑦
2⋅cos𝑥+𝑦
2
𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑦=2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑦
2⋅cos𝑥−𝑦
2
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦= −(2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑦
2⋅𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑦
2)
sin 𝑥+𝑦 =sin𝑥cos𝑦+cos𝑥sin𝑦
sin 𝑥−𝑦 =sin𝑥cos𝑦−cos𝑥sin𝑦
𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 =𝑐𝑜𝑠𝑥cos𝑦−𝑠𝑖𝑛𝑥sin𝑦
𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 =𝑐𝑜𝑠𝑥cos𝑦+𝑠𝑖𝑛𝑥sin𝑦
tan 𝑥+𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦
1−𝑡𝑎𝑛𝑥∙𝑡𝑎𝑛𝑦
tan 𝑥−𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦
1+𝑡𝑎𝑛𝑥∙𝑡𝑎𝑛𝑦
𝑐𝑡𝑔 𝑥+𝑦 = 1
tan(𝑥+𝑦)
𝑐𝑡𝑔 𝑥−𝑦 = 1
tan(𝑥−𝑦)
sec 𝑥+𝑦 = 1
cos(𝑥+𝑦)
sec 𝑥−𝑦 = 1
cos(𝑥−𝑦)
cosec 𝑥−𝑦 = 1
sin(𝑥−𝑦)
cosec 𝑥+𝑦 = 1
sin(𝑥+𝑦)
sin𝑥cos𝑦 = 1
2sin 𝑥+ 𝑦 +sin 𝑥 −𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 1
2sin 𝑥+𝑦 −sin 𝑥−𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥cos𝑦 = 1
2𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 +𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 1
2𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 −𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦
Pitagóricas
Angulo doble
Angulo mitad
Suma y diferencia de ángulos
Producto suma
Suma a producto
Propiedades de los limites
lim
𝑥→𝑐𝑘 = 𝑘 lim
𝑥→𝑐𝑥 = 𝑐
lim
𝑥→𝑐(𝑓 𝑥 ±𝑔(𝑥))=lim
𝑥→𝑐𝑓(𝑥)±lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑐(𝑓 𝑥 𝑔(𝑥))=lim
𝑥→𝑐𝑓(𝑥)∙lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑐(𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)) =lim
𝑥→𝑐𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥) si lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥)≠0
lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)=lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑓 𝑥 =𝑙𝑜𝑔lim
𝑥→𝑐 𝑓 𝑥
Tabla de angulos notables
RADIANES GRADOS SEN COS TAN CTG SEC CSC
𝟎𝟎°0 1 0 IND 1 IND
𝝅/𝟔 𝟑𝟎°1/2 𝟑
𝟐𝟑
𝟑𝟑𝟐𝟑
𝟑2
𝝅/𝟒 𝟒𝟓°𝟐
𝟐𝟐
𝟐1 1 𝟐 𝟐
𝝅/𝟑 𝟔𝟎°𝟑
𝟐1/2 𝟑𝟑
𝟑22𝟑
𝟑
𝝅/𝟐 𝟗𝟎°1 0 IND 0 IND 1
𝝅𝟏𝟖𝟎°0 -1 0 IND -1 IND
𝟑𝝅/𝟐 𝟐𝟕𝟎°-1 0 IND 0 IND 1
2𝝅𝟑𝟔𝟎°0 1 0 IND 1 IND
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙)
𝒙𝟐=𝒌𝟐
𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙)
𝒙=𝟎
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏(𝒌𝒙)
𝒙=𝒌
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒕𝒂𝒏(𝒌𝒙)
𝒙=𝒌
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒕𝒂𝒏(𝒙)
𝒙=𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒂𝒙−𝟏
𝒙=𝐥𝐧𝒂
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞(𝟏+𝒌
𝒙)𝒙=𝒆𝒌
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏(𝒙)
𝒙=𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒙𝟐=𝟏
𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒆𝒌𝒙 −𝟏
𝒙=𝒌
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒂𝒌𝒙 −𝟏
𝒙=𝒌 𝐥𝐧𝒂𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎(𝟏+𝒙)𝟏
𝒙=𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒙=𝟎
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞(𝟏+𝟏
𝒙)𝒙=𝒆
Limites Notables
Indeterminación
∞/∞
∞-∞
0/0
0∙∞
00
∞0
1∞
Definiciones de limites Continuidad en a ↔ lim𝑥→𝑎−𝑓 𝑥 =lim𝒙→𝒂+𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Limite con
constantes lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 =𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝛿 >0/0 < 𝑥− 𝑐 < 𝛿 => 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 =∞ ⇔ ∀𝑀 > 0,∃𝛿 > 0/0 < 𝑥− 𝑐 < 𝛿 => 𝑓(𝑥) > 𝑀
lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 =+∞ ⇔ ∀𝑀 > 0,∃𝛿 > 0/0 < 𝑥 −𝑐 < 𝛿 =>𝑓(𝑥) > 𝑀
lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 =−∞ ⇔ ∀𝑀 > 0,∃𝛿 > 0/0 < 𝑥− 𝑐 < 𝛿 =>𝑓 𝑥 <−𝑀
Al infinito
positivo lim
𝑥→+∞𝑓 𝑥 = +∞ ⇔ ∀𝑀 >0,∃𝑁 >0,∀𝑥 ∈ℝ+:𝑥 > 𝑁=>𝑓(𝑥)> 𝑀
lim
𝑥→+∞𝑓 𝑥 = −∞ ⇔ ∀𝑀 >0,∃𝑁 >0,∀𝑥 ∈ℝ+:𝑥 >𝑁 =>𝑓 𝑥 < −𝑀
lim
𝑥→+∞𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 >0,∃𝑁>0,∀𝑥 ∈ℝ+:𝑥> 𝑁=> 𝑓 𝑥 − 𝐿 <𝜀
Al infinito
negativo lim
𝑥→−∞𝑓 𝑥 =+∞ ⇔ ∀𝑀> 0,∃𝑁 >0,∀𝑥∈ℝ−:𝑥< −𝑁 =>𝑓(𝑥)> 𝑀
lim
𝑥→−∞𝑓 𝑥 =−∞ ⇔ ∀𝑀> 0,∃𝑁 >0,∀𝑥∈ℝ−:𝑥< −𝑁 =>𝑓 𝑥 <−𝑀
lim
𝑥→−∞𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝑁 > 0,∀𝑥 ∈ ℝ−:𝑥 <−𝑁 => 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀
Limites
unilaterales lim
𝑥→𝑐+𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0/0< 𝑥 −𝑐 < 𝛿 => 𝑓 𝑥 −𝐿 < 𝜀
lim
𝑥→𝑐−𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0/0< 𝑐 −𝑥 < 𝛿 => 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
lim
𝑥→−𝑐+𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0/0< 𝑥 +𝑐 <𝛿 => 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
lim
𝑥→−𝑐−𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0/0< −𝑐− 𝑥 <𝛿 => 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
𝑚𝑡𝑎𝑛 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚𝑛=− 1
𝑚𝑇𝑎𝑛
𝑚= lim
𝑛→∞𝑓(𝑥)
𝑥
b= lim
𝑛→∞[𝑓 𝑥 −𝑚𝑥]
𝑦=𝑚𝑥+𝑏
Recta pendiente Recta normal Recta tangente
𝑦−𝑓(𝑥0)=𝑚𝑛(𝑥+𝑥0)𝑦−𝑓(𝑥0)= 𝑚𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝑥0)
(𝑥0,𝑓(𝑥0)) (𝑥0,𝑓(𝑥0))
