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CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 1 de 49 DATOS GENERALES: FACULTAD: Ciencias Informáticas.
CARRERA:
Tecnología de la Información. ASIGNATURA: Cálculo de una variable.
NÚMERO DE
HORAS:
5 horas. PERIODO ACADÉMICO:
2020 - 2021 (1) DOCENTE:
Ing. Adriana Macías Espinales, Mg. ÍNDICE: No. Contenido Pág. 1 Presentación 1 2 Orientación para el uso de la guía 2 3 Información general de la unidad 2 4 Desarrollo de la unidad (de acuerdo con la planificación en el sílabo)
5 Evaluación 48 6 Bibliografía 49
1. Presentación Con cálculo de una variable nos referimos al área de conocimientos de las ciencias exactas que se encarga de analizar diferentes propiedades de las funciones matemáticas que dependen de una única variable. Una variable es una forma simbólica de denotar a algo que tiene un valor pero que no esta definido, sino que puede tomar cualquiera de los valores contenidos en un cierto conjunto. Ese conjunto recibe el nombre de dominio de la función. En virtud de que la variable no tiene un valor constante, la función tampoco; pero cuando le damos un valor a la variable (un valor cualquiera, elegido entre todos los que nos permite el dominio de la función), el valor de la función quedará fijado. Es por esto que recibe ese nombre ya que su valor se obtiene en base a o en función de el valor de la variable. El conjunto de todos los valores que puede tomar la función recibe el nombre de conjunto imagen o recorrido, de modo que una función se puede considerar como una aplicación entre dos conjuntos: el conjunto origen (dominio) y el conjunto imagen (recorrido). Dado que podemos definir la aplicación de infinitas maneras, existen tantas funciones como la imaginación de uno pueda concebir, y para cada una de ellas el análisis matemático da resultados diferentes. No obstante, hay ciertas estructuras de
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 2 de 49 funciones genéricas que presentan un comportamiento extrapolable a todas las que se parecen a ellas. Básicamente, pues, el objeto de estudio del cálculo de una variable, es analizar cada una de estas funciones tipo, sabiendo que el resto de las funciones son casos particulares provenientes de estos contados casos generales. En este sentido, esta guía aborda las temáticas:
- Definición intuitiva de límite.
- Definición formal de límite y teoremas.
- Límites cuando "x" tiende al infinito.
- Asíntotas horizontales, oblicuas laterales y trigonométricas. 2. Orientación para el uso de la guía Para garantizar el éxito del aprendizaje del estudiante mediante el uso de esta guía, sugerimos las siguientes actividades:
- Localizar las fuentes bibliográficas indicadas y organizarlas en las unidades de estudio.
- Interpretar cuidadosamente las directrices de cada actividad y realizar lo que se le indica en los tiempos previstos para evitar la acumulación de las tareas.
- Investigar en otras fuentes y elaborar las actividades de ampliación para consolidar y mejorar sus conocimientos y habilidades.
- Realizar las tareas de acuerdo con la modalidad que el docente le solicite.
- Comprobar lo aprendido, realizando las actividades de evaluación en cada unidad.
- Desarrollar las actividades de retroalimentación para que complete el logro de aprendizaje y/o rectifique informaciones.
- Al finalizar todas las unidades comprobar el logro de los objetivos generales de la guía, con la ejecución de la evaluación integradora (test obligatorio por cierre de cada unidad). 3. Información general de la unidad La asignatura “Cálculo de una Variable” busca como resultado de aprendizaje que el estudiante: Interprete y evalúe aplicando las definiciones y teoremas de límites, derivadas, integrales y sus aplicaciones en las soluciones afines a la ingeniería tecnologías de la información.
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4. Desarrollo de la unidad (de acuerdo con la planificación en el sílabo) 4.1 Definición intuitiva de límite. Antes de llegar a la definición intuitiva de límite, es fundamental entender ¿Qué es una “Función”?. Para tal efecto, haremos un viaje por el contenido informátivo disponible en la dirección web: http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/CALC ULODIFERENCIAL/1_INTRO.html (Módulo Cálculo Diferencial - Matemáticas en Movimiento) cuyo contenido se resumen a continuación: En la vida diaria nos encontramos con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 5 de 49 En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia. En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año). En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas). ¿Cuáles serían los conjuntos D y C para los otros tres ejemplos? Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue: Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones. Entonces, la definición de función se dá enseguida: Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 7 de 49 Ejemplo: f(x) = x^2 + 3x - 6 Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el triple de ese número menos seis". Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera: f ( ) = ( )^2 + 3 ( ) - 6 Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada". f(x) = x^2 + 3x - 6 f(10) = 124 f(-2) = - 8 f(h + 1) = (h + 1)^2 + 3(h + 1) - 6 f(x + b) = (x + b)^2 + 3(x + b) - 6
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 8 de 49 f( ) = ( )^2 + 3( ) - 6 El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función. Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación, por ejemplo, G(x) = 3x^3 - 2x + 10 (Sin especificar el dominio) En adelante quedará entendido que: A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real. Por ejemplo: 1 f(x) = x - 3 Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 10 de 49 Función lineal: f(x) = ax + b
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 11 de 49 Función cuadrática: f(x)= ax^2 + bx + c = a(x - x 0 )^2 + y 0 El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas? ¿Cómo se relacionan las coordenadas f(x)= x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 13 de 49 El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas? ¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x 0 )^2 + y 0? ¿Qué significancia tienen los números a, x 0 , y 0 para la gráfica de la función f(x)= a(x-x 0 )^2 + y 0? f(x)= 10 + 2 x - 2 x^2 21 1 = - 2 [-( ) + x^2 ] 2 2 Función polinomial P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 14 de 49 Función racional Una función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x) x + 4 f(x) = x^2 - 16 ¿Qué sucede en los valores de x en los que el denominador es igual a cero?
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 16 de 49 Función definida por secciones No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente. En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones. f(x)= x^2 , 4 x ,si 0 <= x <= 5
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- x^2 , si x < 0 3 , si 0 <= x < 1 2 x - 1 , si x >= 1
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 19 de 49 Simetría La gráfica de una función puede ser simétrica con respecto al eje "y" (función par), simétrica con respecto al origen (función impar) o sin simetría. A f(x) se le llama función par si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto a "y", es decir, f(-x)=f(x)****. A f(x) se le llama función impar si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto al orígen, es decir, si f(-x)=-f(x)****. Veamos un ejemplo de una función par: P(x)= x^4 - 3x^2
CÓDIGO: PAA- 03 - F- 018 ELABORACIÓN DE GUÍA DE ESTUDIOS PARA EDUCACIÓN EN LÍNEA PROCEDIMIENTO: ELABORACIÓN, MEJORAMIENTO Y SEGUIMIENTO DEL SÍLABO REVISIÓN: 1 Página 20 de 49 P(x) = x^4 – 3x^2 P(-x) = x^4 - 3x^2 Observa que las gráficas de f(x) y f(-x) son idénticas. Por lo tanto la función dada es par. Observa también los exponentes de x. ¿Qué relación pudes deducir entre los exponentes de la variable independiente y la paridad de la función? Pregúntale a tu profesor si no te es claro.
