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TEORÍA CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES
En algunas integrales dobles sobre una región 𝐷 ⊆ ℝ^2 : (^) ∫𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴se calculan haciendo un cambio de
variables. Pero esto, sólo es posible cuando se define una transformación 𝑇: 𝐸 ⊆ ℝ^2 → 𝐷 ⊆ ℝ^2 , donde 𝑇 es inyectiva, continua y diferenciable.
Geométricamente, la transformación T “deforma” la región D en otra región E que es más sencilla, sobre la cual las nuevas integrales iteradas respecto a (𝑢, 𝑣) son de fácil cálculo.
Se cambiará las variables 𝑥 𝑖 𝑦 en la función 𝑓(𝑥, 𝑦) por dos nuevas variables 𝑢 𝑦 𝑣, según las ecuaciones de transformación
𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣); 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣)
de tal modo que la integral original 𝑓(𝑥, 𝑦) sobre la región 𝐷 ⊆ ℝ^2 , se convierta en una nueva integral de la nueva función 𝑇(𝑢, 𝑣) = 𝑓( 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣))sobre la nueva región 𝐸 ⊆ ℝ^2
E
JACOBIANO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Definición
Sea 𝑇: 𝐸 ⊆ ℝ^2 → 𝐷 ⊆ ℝ^2 una transformación biunívoca, continua y diferenciable, definida por
𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦), donde (^) {
que lleva una región 𝐸 del plano UV en la región 𝐷 del plano XY
El jacobiano de 𝑇 está dado por
𝜕(𝑥,𝑦) 𝜕(𝑢,𝑣) = |
𝜕𝑥 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢
𝜕𝑦 𝜕𝑣
Nota
El jacobiano es el determinante de la matriz jacobiana T
Ejemplo 1
Dada la transformación 𝑇: ℝ^2 → ℝ^2 definida por {
hallar 𝐽(𝑢, 𝑣)
Resolución
𝜕𝑥 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢
𝜕𝑦 𝜕𝑣
1 2
1 2 1 2
1 2
Nota
𝐽(𝑢, 𝑣) =
1 𝜕(𝑥,𝑦)
E
(x, y) (u, v)
Ejemplo 1
Calcular (^) ∬𝐷 𝑑𝐴, siendo D la región limitada por las curvas 𝑥𝑦 = 2; 𝑥𝑦 = 3; 𝑥𝑦^3 = 3; 𝑥𝑦^3 = 6
Resolución
𝑢 = 𝑥𝑦; 𝑣 = 𝑥𝑦^3
2 ≤ 𝑢 ≤ 4 3 ≤ 𝑣 ≤ 6
Ecuaciones de la transformación
𝑣 = 𝑥𝑦^3
𝜕𝑢 𝜕𝑥
𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑥
𝜕𝑣 𝜕𝑦
𝑦^3 3𝑥𝑦^2 | = 2𝑥𝑦
3
⟹ 𝐽(𝑢, 𝑣) = 𝐽(𝑥,𝑦)^1 = 2𝑥𝑦^13 = 2𝑣^1
Por consiguiente
1
𝐷 𝐸^ |𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣
1 2𝑣 𝑑𝑣𝑑𝑢 =^
1 2
6 3
4 2 ∫ [𝑙𝑛𝑣]^
6 3
4 2
=
𝑙𝑛 2 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛
4 2
JACOBIANO DEL CAMBIO DE VARIABLES RECTANGULARES A POLARES
Sea 𝑇: 𝐸 ⊆ ⏟ ℝ^2 (𝑟,𝜃)
→ 𝐷 ⊆ ⏟ ℝ^2
(𝑥(𝑟,𝜃),𝑦(𝑟,𝜃))
una transformación definida por
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 con^ 𝑥
Con jacobiano: 𝐽(𝑟, 𝜃) =
𝜕(𝑥,𝑦) 𝜕(𝑟,𝜃) = |
𝜕𝑥 𝜕𝑟
𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝑟
𝜕𝑦 𝜕𝜃
| = | cos 𝜃^ −𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 cos 𝜃
Si 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ^2 → ℝ es una función integrable en D, entonces la función 𝑓 𝑜 𝑇 = 𝐸 ⊆ ℝ^2 → ℝ es integrable sobre el conjunto E y
∬𝐷 𝑓𝑑𝐴 = ∬𝐸 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)|𝐽(𝑟, 𝜃)|𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∬𝐸 𝑓(𝑥(𝑟, 𝜃), 𝑦(𝑟, 𝜃))𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
Ejemplo 1
Evaluar (^) ∬𝑅 (𝑥^2 + 𝑦^2 )𝑑𝐴, donde R está en el primer cuadrante limitado por 𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 y los ejes
coordenados
Resolución
- En coordenadas rectangulares
De 𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 despejando 𝑦 = √1 − 𝑥^2
∬𝑅 (𝑥^2 + 𝑦^2 )𝑑𝐴 = ∫ ∫ (𝑥^2 + 𝑦^2 )
√1− 𝑥^2 0 𝑑𝑦𝑑𝑥
1 0
= ∫ (𝑥^2 √1 − 𝑥^2 + (1 + 𝑥
(^2) )3 2⁄ 3 )
1 0 𝑑𝑥^ (DIFICIL)
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃; 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋 2 ;^ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1
∬𝑅 (𝑥^2 + 𝑦^2 )𝑑𝐴 = ∫ ∫ (𝑟^2 )
1 0
𝜋 2⁄ 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫^ [
𝑟^4 4 ]
𝜋 2⁄ 0
1 0 𝑑𝜃 = ∫^
1 4
𝜋 2⁄ 0 𝑑𝜃 =^
𝜋 4
REGIONES MÁS GENERALES EN COORDENADAS POLARES
a) Región R radicalmente simple
La región R tiene límites fijos para 𝜃
𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽
y límites variables para 𝑟
𝑔 1 (𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑔 2 (𝜃)
En este caso, se tiene
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
𝑔 2 (𝜃) 𝑔 1 (𝜃)
𝛽 𝐷 𝛼 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
b) Región R angularmente simple
La región R tiene límites fijos para 𝜃
𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏
y límites variables 𝜃
ℎ 1 (𝑟) ≤ 𝜃 ≤ ℎ 2 (𝑟)
En este caso, se tiene
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
ℎ 2 (𝑟) ℎ 1 (𝑟)
𝑏 𝐷 𝑎 𝑟 𝑑𝜃𝑑𝑟
Ejemplo 1
Calcular (^) ∬𝐷 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦, donde D está limitada por la gráfica de 𝑟 = 1 + cos 𝜃 sobre el eje polar
Resolución
Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
= ∫ 0 𝜋∫ 0 1+cos 𝜃𝑟^2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃
= (^13) ∫ (1 + cos 𝜗)^3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃
𝜋 0
= −
1 12 (1 + cos 𝜃)
4 ] 𝜋
0 =^
4 3
Ejemplo 2
Evaluar la integral (^) ∬𝐷 𝑘 𝑑𝐴, donde D es la región plana limitada por la rosa 𝑟 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
Resolución
2𝑠𝑒𝑛2𝜃 0
𝜋 2⁄ 𝐷 0
= 𝑘 ∫ 2𝑠𝑒𝑛^2 2𝜃
𝜋 2⁄ 0 𝑑𝜃
= 𝑘 ∫ (1 − cos 𝜃)𝑑𝜃
𝜋 2⁄ 0
= 𝑘 [𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 4𝜃 4 ] 𝜋 2 0 ⁄
Ejemplo 3
Calcular la integral∬𝑅 (𝑥^2 + 𝑦^2 )^2 𝑑𝐴, donde R es la región limitada por la circunferencia de centro en (0, 4) y
radio 4
Resolución
𝑥^2 + (𝑦 − 4)^2 = 4^2 𝑥 = cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥^2 + 𝑦^2 − 8𝑦 + 16 = 16
𝑥^2 + 𝑦^2 = 8𝑦
𝑟^2 = 8𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ⟹ 𝑟 = 8 𝑠𝑒𝑛 𝜃
∬𝑅 (𝑥^2 + 𝑦^2 )^2 𝑑𝐴= ∫ ∫ (𝑟^2 )^2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
8𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝜋 0
=
40960 3 𝜋
