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CAPITULO IV
4 ANUALIDADES
4.1 INTRODUCCIÓN
En el campo de las finanzas, se presentan diversas modalidades o formas de pago
de una deuda, de acuerdo a la naturaleza de la misma. Cuando usamos el término
anualidad, nos da la impresión que los pagos son anuales pero en un sentido más
amplio, significa una serie de pagos iguales en periodos de tiempo también iguales,
que no necesariamente tienen que ser años sino que pueden ser semestres, trimestres
o de series de tiempo de cualquier otra duración.
4.2 CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS ANUALIDADES
A) Anualidades Ciertas
Son aquellas cuyas fechas de inicio y término se conocen por estar estipuladas en
forma específica.
B) Anualidades eventuales o contingentes
Son aquellas en las que el comienzo o el final del plazo no se conoce
específicamente, porque dependen de algún suceso previsible, pero que no se puede
establecer concretamente; un ejemplo típico es el seguro de vida, en el cual se
conoce la cuota pero no el período de duración.
LAS ANUALIDADES CIERTAS Y EVENTUALES PUEDEN SER A SU VEZ
a) Ordinarias o vencidas: cuando los pagos se efectúan al final de cada período.
b) Anticipadas o impositivas: Cuando los pagos se ejecutan al inicio de cada
Período
c) Diferidas: Cuando los pagos inician después de un determinado número de
períodos, plazo en el cual el capital se va capitalizando y pueden ser a su vez
ordinarias o anticipadas.
d) Anualidades perpetuas: Cuando tienen una fecha de inicio y no tienen fecha
final, de manera que, los pagos se prolongan indefinidamente.
A SU VEZ TODAS LAS ANUALIDADES SE SUBDIVIDEN EN:
Simples: Cuando el período de pago coincide con el período de capitalización
Generales: Cuando los periodos de pago no coinciden con el de capitalización.
Pudiendo presentarse varios períodos de capitalización por período de pago o varios
periodos de pago por período de capitalización
Impropias o variables: Cuando las cuotas de pago no son iguales.
4.3 MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ORDINARIA:
Las anualidades simples ordinarias: cuando coinciden los períodos de pago con los
períodos de capitalización. Los pagos se hacen al final de cada periodo.
Símbolos utilizados para el tema de las anualidades:
S = monto de una anualidad o valor futuro.
R = pago periódico de una anualidad
n = numero de periodos de pago.
m = número de capitalizaciones al año
i = tasa de interés nominal anual.
P = Valor actual o presente de una anualidad
4.3.1 CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ORDINARIA:
Para deducir la formula, partimos del supuesto siguiente: Dado una serie de pagos
iguales R, al final de cada periodo ¿cuál será el monto acumulado en n periodos
de tiempo a una tasa de interés i?
S: será la suma de los montos de cada uno de los pagos en forma individual
ya que los periodos de tiempo son diferentes para cada uno.
ିଵ
ିଶ
ିଷ
ଶ
Multiplicando a ambos miembros por (1+i)
S(1+i)= 𝑅(1 + 𝑖)
ିଵ
ିଶ
ଷ
ଶ
Restando la primera de la segunda ecuación:
− 𝑅 → 𝑆(1 + 𝑖 − 1) = 𝑅[(1 + 𝑖)
− 1]
Ejemplo 4.4: Una persona espera recibir ordinariamente durante los próximos 8
años la cantidad de S/. 12,000 nuevos soles anuales, por concepto de dividendos
que una empresa lo adeuda; pero nuestro personaje desea negociar actualmente
dicha renta al 18% anual de interes compuesto. Determinar a cuanto asciende la
cantidad a recibir
SOLUCIÓN:
(ଵା)
ି ଵ
(ଵା)
(ଵା.ଵ଼ )
ఴ
ି ଵ
.ଵ଼ (ଵା.ଵ଼ )
ఴ
Ejemplo 4.5: Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/. 5,000 cada
uno, efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 7 años y 6 meses al
16% anual con capitalización semestral.
(ଵା)
ି ଵ
(ଵା)
(ଵା.଼ )
భఱ
ି ଵ
.଼ (ଵା.଼ )
భఱ
4.5 VALOR DE LA RENTA EN FUNCIÓN DEL MONTO:
Consiste en determinar el valor de la renta periódica R, para en un determinado
tiempo n, disponiendo de un monto o valor futuro S, a una tasa de interés i.
Partiendo de la ecuación del Monto (S)
Ejemplo 4.6: Se desea saber el valor de la cuota, para acumular S/. 27.000 en 8
entregas ordinarias anuales, capitalizable anualmente al 25% de interés anual.
Partiendo de la ecuación del Monto (S).
SOLUCIÓN:
(ଵା)
ି ଵ
.ଶହ
(ଵା.ଶହ)
ఴ
ି ଵ
Ejemplo 4.7: Se desea saber cuál será el valor de la cuota ordinaria semestral para
acumular la cantidad de S/.1’017,660, en un período de 10 años a una tasa de
interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral.
SOLUCIÓN:
𝑅 = 𝑆
𝑖
(1 + 𝑖)
− 1
൨ → 𝑅 = 1
ᇱ
017,660
(1 + 0.075)
ଶ
− 1
൨ = 𝑆/23,
Ejemplo 4.8: Una empresa programa la compra de una máquina dentro de 5
meses, estimándose el precio del equipo en S/. 10,000. ¿Cuál será el ahorro
ordinario mensual necesario, en un banco que paga una tasa efectiva mensual del
2% para disponer del mencionado monto al vencimiento de dicho plazo
SOLUCIÓN:
ହ
4.6 VALOR DE LA RENTA EN FUNCIÓN DEL VALOR ACTUAL:
Cuando se dispone de un valor actual o presente y se desea calcular el valor de la
serie uniforme de pagos periódicos R, que permita recuperar una inversión,
liquidar un préstamo, etc., dado un determinado período de tiempo n y una tasa de
interés i.
Partiendo de la ecuación del valor actual o Presente:
(ଵା)
ି ଵ
(ଵା)
(ଵା)
(ଵା)
ି ଵ
Factor de recuperación de capital: 𝐹𝑅𝐶 = ቂ
(ଵା)
(ଵା)
ି ଵ
Ejemplo 4.9: Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10,000 al 16%
de interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al final de cada año.
¿Cuánto deberá abonar en cada pago?
SOLUCIÓN:
ଵ
ଵ
Ejemplo 4.10: ¿Cuál será la cuota constante a pagar por un préstamo bancario
de S/. 8,000, reembolsable con cuotas ordinarias trimestrales durante 2 años, si
el banco cobra una tasa nominal mensual del 2% con capitalización trimestral?
SOLUCIÓN:
Tasa efectiva: i = jm = 0.023=0.06 ; para 2 años = n = 8 trimestres
଼
଼
4.7 CALCULO DEL TIEMPO EN UNA ANUALIDAD:
Consiste en determinar el plazo o periodo de colocación de una serie uniforme de
pagos y para el efecto se pueden utilizar diferentes criterios, de acuerdo al tipo de
problema y a la información de la que se disponga. En este caso presentamos los
siguientes:
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 6
- Un trabajador aporta a una AFP una cuota fija de S/.400 mensuales ordinariamente
por espacio de 5 años. ¿Cuánto habrá acumulado si el fondo percibe una tasa efectiva
mensual del 1?2%?
- Un ahorrista efectúa depósitos vencidos mensuales de S/.250 en un banco que paga
una tasa trimestral del 4.5% con capitalización mensual. ¿Cuál será el valor
acumulado al término de 2 años y 4 meses?
- Un comerciante viene pagando una deuda con cuotas ordinarias trimestrales de S/.
y propone liquidarlas ahora las ultimas 6 cuotas que le quedan y pregunta : ¿Cuánto
tiene que pagar ahora, si la tasa efectiva anual es del 16%?
- Calcular el valor presente de una serie de depósitos de S/.500 nuevos soles mensuales,
durante 3 años, a la tasa del 2% mensual.
- Cuanto deberá depositarse trimestralmente en una cuenta de ahorros, que paga el 16%
anual convertible trimestralmente, durante los próximos 3 años para comprar un
automóvil por el valor de $ 12,000 al tipo de cambio del S/.3.
- Calcular el valor del depósito uniforme semestral vencido para formar un valor futuro
de S/. 5,860 en un período de 4 años y medio, si los depósitos perciben una tasa
efectiva mensual de 1.5%.
- Un préstamo de S/. 6,000, debe cancelarse en un plazo de un año, con cuotas
ordinarias mensuales al 18% anual capitalizable mensualmente, calcular el valor de
cada cuota.
- ¿Cuántos depósitos de fin de semestre de S/. 23,500 serán necesarios para acumular
un monto de S/.1’017,660, en un banco que paga el 15% anual con capitalización
semestral?
- ¿Cuantas cuotas ordinarias trimestrales de S/. 1,650 serán necesarias para cancelar un
préstamo de S/. 8,114, al 24% anual con capitalización trimestral
- Una persona deposita ordinariamente S/.200 mensuales durante 14 meses. ¿A que tasa
de interés mensual se capitalizarán para formar un monto de S/. 4,200?
CAPITULO V
5 ANUALIDAD ANTICIPADA
En el campo de los negocios es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al
comienzo de cada período; tal es el caso de los alquileres de terrenos, edificios,
oficinas, pago de pensiones de enseñanza, etc. que por lo general se pagan por
adelantado.
Una anualidad anticipada, es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen
a principio de cada período; y se le conoce también con el nombre de anualidad
adelantada, de principio de período o de imposición.
Las anualidades anticipadas por empezar en el período 0 y terminar al inicio del
último período todas las rentas perciben intereses, hasta el término del horizonte
temporal. En cambio, en la anualidad vencida la última renta no percibe intereses por
coincidir con el final del plazo.
5.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA:
De lo antes manifestado, el monto de una serie uniforme de pagos anticipados, es
igual a la suma de una serie uniforme de pagos ordinarios capitalizado por un
periodo más, que constituye el último período del horizonte temporal de la
anualidad, a la tasa de interés estipulada.
Símbolos utilizados para el tema de las anualidades:
S’ = monto de una anualidad anticipada.
R’ = pago periódico de una anualidad anticipada
n = número de periodos de pago.
m = número de capitalizaciones al año
i = tasa de interés nominal anual.
P’ = Valor actual o presente de una anualidad anticipada
Para deducir la formula, partimos del supuesto siguiente: Dado una serie de pagos
iguales R, al inicio de cada periodo ¿cuál será el monto acumulado en n periodos
de tiempo a una tasa de interés i?
S’= 𝑅′(1 + 𝑖)
ିଵ
ିଶ
ଶ
Multiplicando a ambos miembros por (1+i)
S’(1+i)= 𝑅´(1 + 𝑖)
ାଵ
ିଵ
ସ
ଷ
ଶ
Restando la primera de la segunda ecuación:
ାଵ
[
]
Ejemplo 5.4: Una empresa pesquera, alquila un edificio para el funcionamiento de
sus oficinas administrativas por S/.4, 000 nuevos soles mensuales y propone al
propietario pagar el alquiler en forma anual y por adelantado, si la tasa de interés
compuesto es del 12% anual con capitalización mensual. ¿Cuánto pagará la
empresa anualmente?
SOLUCIÓN:
ᇱ
ଵଶ
ଵଶ
Ejemplo 5.5: El señor Rivera está pagando su vivienda, que compró a plazos con
financiamiento bancario a razón de S/. 2,500 por trimestre anticipado. Después de
cierto tiempo, cuando aún le quedan por pagar 30 cuotas, decide liquidar la cuenta
pendiente, con un sólo pago. ¿Cuál será el valor del pago único si el banco cobra el
24% de interés efectivo anual?
Para conversión de una tasa efectiva menor a otra tasa efectiva de diferente periodo:
De tasa efectiva mensual (TEM) a tasa efectiva trimestral (TET):
ଷ
De tasa efectiva mensual (TEM) a tasa efectiva semestral (TES):
Luego para nuestro problema, de tasa efectiva anual (TEA) a tasa efectiva
trimestral (TET)
TEA=(1 + 𝑇𝐸𝑇)
ସ
ర
Luego: 𝑇𝐸𝑇 = ඥ(1 + 0.24)
ర
ᇱ
ଷ
ଷ
5.3 VALOR DE LA RENTA EN FUNCIÓN DEL MONTO
Consiste en determinar cuánto se deberá pagar periódicamente y por anticipado
para en un determinado período de tiempo disponer de un monto en el futuro a una
tasa de interés compuesto.
Partiendo de la ecuación del Monto (S’):
(ଵା)
ି ଵ
Ejemplo 5.6: Hallar el valor de la cuota anticipada que nos permita acumular
S/.27.000 en 8 entregas anuales, impuestas al 25% de interés compuesto anual.
SOLUCIÓN:
ᇱ
଼
Ejemplo 5.7: Se desea saber cuál será el valor de la cuota anticipada semestral,
para acumular la cantidad de S/.1’017,660, en un período de 10 años a una tasa de
interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral.
SOLUCIÓN:
ᇱ
ᇱ
ଶ
Ejemplo 5.8: Calcular el importe de la renta mensual anticipada que al cabo de
un año y cuatro meses se acumule S/. 15,000, capitalizado a una tasa efectiva
mensual del 2%.
SOLUCIÓN
ᇱ
ଵ
5.4 VALOR DE LA RENTA EN FUNCIÓN DEL VALOR ACTUAL:
Consiste en determinar el valor de una serie futura de pagos anticipados que nos
permita recuperar una cantidad actual P en n periodos de tiempo a una tasa de
interés compuesto i.
Es decir, se conoce el valor actual P, el tiempo n y la tasa de interés i, y lo que se
quiere calcular es la serie R’, que nos permita recuperar un depósito, una
inversión, liquidar un préstamo o cualquier tipo de colocación financiera
efectuado en el momento actual.
P′ = 𝑅′ ቈ
Ejemplo 5.9: Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10,000 al 16%
de interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al principio de cada año.
¿Cuánto deberá abonar en cada pago?
SOLUCIÓN:
ᇱ
ଵ
ଵ
5.6 CALCULO DEL TIEMPO EN FUNCIÓN DEL VALOR ACTUAL:
b) Cuando se desea calcular el período que nos permita recuperar una inversión,
liquidar una deuda o cualquier cantidad actual, la fórmula lo deducimos a
partir de la fórmula del valor actual de una anualidad anticipada.
P’= 𝑅
ᇱ
(ଵା)
ି ଵ
(ଵା)
ᇲ
ோ
ᇲ
(ଵା)
(ଵା)
ି ଵ
(ଵା)
ᇱ
ᇱ
𝑛. log(1 + 𝑖) = 𝑙𝑜𝑔
[
]
[
ᇱ
ᇱ
]
Ejemplo 5.12 ¿Cuántos pagos semestrales adelantados de S/.600 deberán hacerse para
cancelar una deuda de S/.4,500 al 7% anual con capitalización semestral?.
SOLUCIÓN:
[(ଵା.)]ି [(ଵା.)ିସ ,ହ∗.]
୪୭(ଵା.)
n= 8.5 depósitos semestrales anticipados
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 7
- Un ahorrista deposita a principio de cada trimestre S/.2,000 en una cuenta de
ahorros, que paga el 12% anual con capitalización trimestral ¿A cuánto
ascenderá el monto al cabo de 5 años?.
- Calcular el valor futuro de una anualidad anticipada de S/.800 cada bimestre,
en un período de 2 años, a la tasa efectiva de interés del 12% anual.
- Se desea saber el valor de la cuota anticipada mensual, para acumular la
cantidad de S/. 22,600, en un período de 3 años a una tasa de interés compuesto
del 12% anual con capitalización mensual.
- Un comerciante programa la adquisición de una unidad de transporte dentro
de 6 meses, cuyo precio estimado es de S/.18,000. ¿Cuánto deberá ahorrar a
inicio de cada mes durante el período, en un banco que paga el 24% anual con
capitalización trimestral?
- Hallar el valor actual de una renta semestral anticipada de S/.1, 500 durante 5
años, en una cuenta de ahorros que paga el 2% mensual con capitalización
semestral.
[
]
[
ᇱ
ᇱ
]
log( 1 + 𝑖)
- Se alquila un ambiente para almacén por un período de 8 meses, con pagos
anticipados mensuales de S/400. ¿Cuánto se pagaría al contado a inicio del
contrato si la tasa de interés anual es del 18% con capitalización mensual?
- Ud. le otorgó un préstamo de S/. 20,000 al 16% de interés compuesto anual
con capitalización semestral, para ser devuelto en 10 pagos al principio de
cada semestre. ¿Cuanto deberá cobrar en cada pago?
- Se invierte en un negocio la cantidad de S/.20, 000, estimándose un período
de recuperación de 3 años. ¿Cuál deberá ser el rendimiento semestral, si la tasa
efectiva trimestral es del 4?5%?
- ¿Cuantas cuotas anticipadas anuales de S/.4, 500 serán necesarias para
cancelar un préstamo de S/.18, 500, a una tasa efectiva trimestral del 5%?
- Hace 2 años se viene depositando en un banco anticipadamente S/.
trimestrales y en la fecha se dispone de S/.7, 800. ¿A que tasa efectiva
trimestral se capitalizaron los depósitos?
EJEMPLO 6.2: Una empresa, debe liquidar una deuda de S/. 50,000 con pagos
ordinarios semestrales en 5 años, al 12% de interés compuesto anual con
capitalización semestral. Calcular el valor de la cuota semestral a pagar y formular
el cuadro de amortizaciones.
SOLUCIÓN:
ଵ
ଵ
CUADRO DE AMORTIZACIONES
6.1.2 AMORTIZACIONES ANTICIPADAS A CUOTA CONSTANTE
En el sistema de amortización a cuota anticipada, la entidad financiera que otorga
el préstamo, efectúa un desembolso menor al solicitado por el deudor, debido a
que el vencimiento de la primera cuota y el desembolso se efectúan
coincidentemente en el período cero.
Para liquidar una deuda con pagos anticipados constantes, calculamos la cuota a
pagar, utilizamos los factores combinados referente al factor de recuperación de
capital FRC. y el factor simple de actualización FSA.
Ejemplo 6.3: Un comerciante tiene el compromiso de rembolsar un préstamo de
S/. 20,000 con pagos anticipados semestrales en 2 años y seis meses, al 12% de
interés compuesto anual con capitalización semestral. Calcular el valor de la cuota
semestral a pagar y formular el cuadro de amortizaciones.
SOLUCIÓN:
ᇱ
ହ
ହ
𝒏
𝒏
CUADRO DE AMORTIZACIONES
6.2 DEPRECIACIÓN
Los bienes duraderos que forman parte del activo fijo tangible, como las
herramientas, instalaciones, edificios, material rodante, etc. están sujetos a una
disminución de su valor, originado por el uso, transcurrir del tiempo, la
obsolescencia por el desuso, etc. Por tal razón es necesario destinar periódicamente
una cierta cantidad de dinero, de tal modo que al término de su vida útil se disponga
de un fondo de reserva por depreciación que sumado al valor residual nos permita
el remplazo.
Causas que generan la depreciación:
a. Causas físicas: El uso de los bienes que generan desgaste o pérdida de valor, la
acción del tiempo y los elementos naturales que provocan el deterioro de los bienes
de capital como las lluvias, la humedad, etc. Son, entre otras, las causas físicas de
la depreciación.
b. Causas funcionales: Las causas funcionales están dadas por la insuficiencia y
la obsolescencia de los bienes de capital. La insuficiencia se produce cuando la
capacidad del bien no satisface el mercado, haciéndose necesario su reemplazo por
otros equipos de mayor capacidad; esto implica una disminución del valor de los
equipos por acción del reemplazo. La obsolescencia es el envejecimiento prematuro
de un bien a consecuencia del avance tecnológico.
6.2.1 DEPRECIACIÓN A CUOTA CONSTANTE
Dentro de este rubro consideremos el método de la línea recta o lineal, el método
del fondo de amortización, el de la anualidad y el de las horas o unidades
producidas
Simbología para la depreciación:
Para la determinación de estas cuotas de depreciación se hará uso de los siguientes
símbolos:
El valor en libros para el año t = 4, lo calculamos mediante la fórmula:
௧
௧
Este método es el más usado en nuestro medio, por la facilidad del cálculo que
ofrece.
Pero tiene el inconveniente en primer lugar, el de no considerar los intereses de la
inversión, efectuada en el bien y los intereses que corresponden a las cuotas de
depreciación.
En segundo lugar, su aplicación implica el supuesto de que la disminución del
valor del bien se produce linealmente, lo que no es un hecho real, especialmente
cuando se trata de bienes sujetos a fuertes rozamientos.
6.2.3 METODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
Este método consiste en determinar un fondo de depósito anual, que, capitalizado
a una tasa de interés, durante el periodo de vida útil de la máquina, se acumule un
monto equivalente al costo neto del bien sujeto a depreciación.
Se considera el interés por el hecho de que podemos suponer que la empresa en
lugar de retener las cuotas de depreciación, las deposita en un banco, de modo tal
que después de los n años de vida útil reciba el valor del bien.
Por consiguiente, este método permite que la empresa recupere parte de las
inversiones en activos fijos por medio de la depreciación y parte por medio de
intereses para reemplazarlo al final de su vida útil.
CALCULO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
Para el cálculo de la cuota de depreciación se emplea el factor depósito fondo de
amortización. En este caso la cuota de depreciación es constante, pero debe
capitalizarse a fin de constituir un monto equivalente al valor del bien sujeto a
depreciación.
R= 𝑆 ቂ
(ଵା)
ି ଵ
Este método contempla los intereses de cuota de depreciación, pero excluye los
intereses de la inversión total.
𝒏
Ejemplo 6.5: Con los datos utilizados en el ejemplo anterior y aplicando este
nuevo método, a una tasa de interés del 15% anual, podemos determinar la cuota
de depreciación constante y constituir una tabla analítica de depreciación durante
la vida útil del activo fijo de la siguiente manera:
SOLUCIÓN:
ଵ
CUADRO DE DEPRECIACIÓN ANUAL
El valor en libros para el año t = 4 lo calculamos mediante la fórmula:
௧
ସ
6.2.4 METODO DE ANUALIDADES o INTERES SOBRE LA INVERSIÓN
Este método consiste en fijar un interés sobre la inversión en el activo fijo a
depreciarse, o sea la cuota de depreciación correspondiente a este método, es igual
a la cuota calculada en el método del fondo de amortización más el interés simple
calculado sobre el costo de adquisición del bien sujeto a depreciación. De lo que
se deduce la formula siguiente:
Ci: interés simple calculado sobre el costo de adquisición del bien sujeto a
depreciación.
D: depreciación calculada por el fondo de amortización.
