Cálculo I - Codex, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Cálculo I - Codex y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

i

e + =

π

 DERIVADAS

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

TOMO II

J&J PAYE Hnos.

2020

2020

d

f x arctg x

dx

S

R

Q

P

A

C

B

D

O

DERIVADA POR DEFINICION

Problema 1

Derivar por definición:

( )

x

f sen 7 x

Solución:

Aplicamos la definición

( )

→

x

h 0

f x h f x

f ' lim

h

( )

→ →

h 0 h 0

x

f

sen 7 x h sen 7 x sen 7 x cos 7h sen 7h cos 7 x sen 7 x

lim lim

h

h

( )

→

x

h 0

1 cos 7h

lim sin 7 x

7h

f '

0

sin 7h

7 cos 7 x

7h

1

( )

x

f ' 7 cos 7 x

Problema 2

Calcular la Derivada:

( )

2

x

f x cos 2x

Solución:

La derivada por definición es:

( )

→

x

h 0

f ( x h ) f ( x )

f ' lim

h

2 2 2 2

( x )

h 0 h 0

( x h ) cos 2( x h ) x cos 2x x cos 2( x h ) h( 2x h )cos 2( x h ) x cos 2x

f ' lim lim

h h

→ →

• • − + + + + −

= =

→

2

( x )

h 0

cos 2x cos 2h sen 2x sen 2h cos 2x

f ' lim ( 2x h )cos 2( x h ) x

h

( )

( )

2

( x )

h 0

1 cos 2h

f ' 2x cos 2x x lim cos 2x

2h

→

−

= + − ⋅

( )

0

sen 2h

2 sen 2x

2h

⋅ − ⋅ ( ) ( )

2

1

2 2x cos 2x 2x sen 2x

 

 

⋅ = −

 

   

( x )

f ' 2x cos 2x x sen 2x

Problema 3

Hallar la derivada por definición: = +

sen x 2

f ( x ) e x

Solución:

Aplicamos la definición

→

h 0

f x h f x

f ' x lim

h

si = +

sen x 2

f ( x ) e x

( )

→

2 sen x h sen x 2

h 0

e x h e x

f '( x ) lim

h

es indeterminado de la forma

,entonces levantamos la

indeterminación.

Simplificando: ( )

2

x

2

2x 1

f '

x 1

Problema 5

Hallar la derivada por definición de la función:

( ) ( )

f ( x ) = sen 2x ctg x

Solución: Inicialmente simplificamos la función dada:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

cos x

f ( x ) 2 sen x cos x 2 cos x f x 1 cos 2x

sen x

Recordamos la definición

( )

x

h 0

f x h f x

f ' lim

h

→

Obtenemos las funciones requeridas: ( ) ( )

f x = 1 + cos 2x

y ( ) ( )

f x + h = 1 + cos 2 x + h

Sustituyendo en (1):

( )

( ) ( )

( )

→

x

h 0

1 cos 2 x h 1 cos 2x

f ' lim

h

Evaluando directamente:

Para levantar la indeterminación realizamos operaciones adecuadas y hacemos uso de limites notables:

( )

→ →

x

h 0 h 0

cos 2 x h cos 2x cos 2x cos 2h sen 2x sen 2h cos 2x

f ' lim lim

h h

( )

( )

( )

→

x

h 0

1 cos 2h

f ' lim cos 2x

2h

( ) ( )

( )

0

sen 2h

2 sen 2x

2h

( )

1

( )

x

f ' 2 sen 2x

Problema 6

Hallar la derivada por definición de la función:

tg x

f ( x ) = 2

Solución: Inicialmente simplificamos la función dada:

Recordamos la definición

( )

x

h 0

f x h f x

f ' lim

h

→

Obtenemos las funciones requeridas:

tg x

f ( x ) = 2 y

( +)

tg x h

f ( x h ) 2

Sustituyendo en (1):

( )

( ) ( )

→

tg x h tg x

x

h 0

f ' lim

h

Evaluando directamente:

Para levantar la indeterminación realizamos operaciones adecuadas:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

• • −

→ →

tg x h tg x tg x h tg x

tg x

x

h 0 h 0

f ' lim 2 lim

h tg x h tg x

( ) ( )

ln 2

tg x h tg x

h

( )

( )

( )

→ →

2

tg x tg x

x

h 0 h 0

tg x tg h

tg x

1 tg x tg h tg h 1 tg x

f ' 2 ln 2 lim 2 ln 2 lim

h h 1 tg x tg h

Evaluando:

( )

( )

→

tg x

x

h 0

tg h

f ' 2 ln 2 lim

h

( )

( )

( )

1

2

tg x 2

x

1 tg x

f ' 2 ln 2 1 tg x

1 tg x tg 0

Simplificando: ( )

( )

tg x 2

x

f ' ln 2 2 sec x

Problema 7

Hallar la derivada por definición de la función:

x 2

f ( x ) = e x + 1

Solución:

Recordamos la definición

( )

x

h 0

f x h f x

f ' lim

h

→

Obtenemos las funciones requeridas:

x 2

f ( x ) = e x + 1 y

2

x h

f x h e x h 1

Sustituyendo en (1):

( )

→

2

x h x 2

x

h 0

e x h 1 e x 1

f ' lim

h

Evaluando directamente:

Para levantar la indeterminación realizamos operaciones adecuadas:

( )

→

2 2 2

h 2

x

x

h 0

e x h 1 x 1 x h 1 x h 1

f ' e lim

h

( )

( )

( )

( )

( )

→ +

→

=   − − − × +

3 x h 3 x

3 x h 3 x

x

h 0 3 x h 3 x

3 x

h 0

1 e 5 e 5

f ' ln sen 2x lim e 5 e 5

h

e 5 e 5

sen 2 x h

1

e 5 lim ln 1 1

h sen 2x

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

→ +

−  − +

 

→

=   − × +

 

− + −

  −  −  +

 

• − +  

 

 

3 x h 3 x

x

h 0 3 x h 3 x

sen 2 x

sen 2 x 1 cos 2h sen 2h cos 2 x

3 x

h 0

1 1

f ' ln sen 2x lim e e

h

e 5 e 5

sen 2x 1 cos 2h sen 2h cos 2x

e 5 limln 1

sen 2x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

−  − +

 

 

 

 

 

 

   

sen 2 x 1 cos 2h sen 2h cos 2 x

h sen 2 x

e

( )

→

3h

3 x

x

3 x h 0

ln sen 2x

e 1

f ' e lim

3h

2 e 5

→

3 x

h 0

1

sen 2x 1 cos 2h sen 2h cos 2x

3 e 5 lim

h sen 2x

( )

→

3 x 3 x

x

3 x h 0

ln sen 2x 1 cos 2h

f ' e 3 e 5 lim 2

2h

2 e 5

0

sen 2h

2h

1

ctg 2x

( )

3 x 3 x

x

3 x

3ln sen 2x

f ' e 2 e 5 ctg 2x

2 e 5

Finalmente:

( )

3x 3x

3x

4 e 5 ctg 2x 3e ln sen 2x

f ' x

2 e 5

Problema 9

Calcular y ′ por definición:

( )

y = x + 1 ln ⋅ x + 1

Solución:

La definición de la derivada es:

→

h 0

f ( x h ) f ( x )

y lim

h

Reemplazando:

( ) ( )

→

h 0

x h 1 ln x h 1 x 1 ln x 1

y lim

h

Para levantar la indeterminación del límite realizamos las siguientes operaciones:

( ) ( ) ( ) ( )

→

h 0

x h 1 ln x h 1 x 1 ln x h 1 x 1 ln x h 1 x 1 ln x 1

y lim

h

( ) ( ) ( ( ) ( ))

→

h 0

x h 1 x 1 ln x h 1 x 1 ln x h 1 ln x 1

y lim

h

Distribuimos el limite

( ) ( )

( ) ( ) ( )

→ →

h 0 h 0

x 1 ln x h 1 ln x 1 x h 1 x 1 ln x h 1

y lim lim

h h

1 2

y L L (1)

Calculamos

1

L :

( ) ( )

→

1

h 0

x h 1 x 1 ln x h 1

x h 1 x 1

L lim

h x h 1 x 1

( )

( )

( )

→ →

1 1

h 0 h 0

h ln x h 1 ln x h 1

L lim L lim

x h 1 x 1 h x h 1 x 1

, evaluando:

( )

1

ln x 1

L

2 x 1

Calculamos

2

L :

( ) ( ) ( )

→ →

2 2

h 0 h 0

x h 1

x 1 ln 1 1

x 1 ln x h 1 ln x 1

x 1

L lim L lim

h h

• −

→

x 1

x h x

2

h 0

x 1 x h x

L lim ln 1

h x 1

• −

• −

→

x h x

x 1

x h x

x 1

2

h 0

e

x 1

L lim ln e

h

( )( )

→ →

2 2

h 0 h 0

x 1 x h x x h x h x 1

L lim L lim

h x 1 x h x h x 1 x h x

→

2

h 0

L lim

x h x

, evaluando:

2

L

2 x

Reemplazando en (1):

( )

ln x 1

y

2 x 1 2 x

Problema 10

Usando conceptos conocidos sobre límites, calcular:

h 0

f x h f x

L lim

h

→

2

x cos x senx

f x

x

Solución:

Primero obtenemos las funciones requeridas:

( )

→

2 3

2

2 2 h

0

2 2

1 cosh x sen x x cos x

x sen h x sen x cos x 1

L lim

h h

x 0 x

h x cos x cosh x sen x senh 2x h x cos x senx

h

( )

2 3 2 2 2

4

h 0

1 cosh 1 sen h

L lim x sen x x cos x x x sen x cos x x cos x cosh x sen x senh

x h h

→

2x h x cos x senx

( )

→ →

→

2 3 2

4

h 0 h 0

2 2

h 0

1 cosh

1 sen h

L lim x sen x x cos x lim x x sen x cos x

h h x

lim x cos x cosh x sen x senh 2x h x cos x senx

Evaluando:

→

4

h 0

1 cosh 1

L lim

h x

( )

→

2 3

h 0

0

sen h

x sen x x cos x lim

h

2

1

2

x x sen x cos x

x cos x cos 0

2

1

x sen x sen 0

2x 0 x cos x senx

2 2

4

L x x sen x cos x x cos x 2x x cos x senx

x

3

L x x sen x cos x x cos x 2x cos x 2 sen x

x

2

3

L x sen x 2x cos x 2 sen x

x

2

3

2 sen x x sen x 2x cos x

L

x

REGLAS DE DERIVACION

Problema 11

Calcular la primera derivada de:

( ) ( )

• −

n 1 n 1

2 2

x 1 x x 1 x

y

n 1 n 1

Solución:

Derivando:

( )

( )

−

n n 2

2 2

2 2

n 1 x 1 x n 1 x 1 x

x x

y' 1 1

n 1 n 1

1 x 1 x

Para poder simplificar factorizamos

( )

n

2

2

x

x 1 x 1

1 x

de los dos sumandos:

( ) ( )

−

  

n 2

2 2

2

x

y' x 1 x 1 1 x 1 x

1 x

Realizando operaciones:

( )

( )

( )

2

2

n 1

2

2

2

2

1 x 1 x

y' x 1 x

1 x

x 1 x

Desarrollamos

( )

2

2

x 1 x

en el numerador del tercer factor:

( )

( )

2 2 2 n 1

2

2

2

2

1 1 x 2x 1 x 1 x

y' x 1 x

1 x

x 1 x

Factorizando adecuadamente en el numerador del tercer factor:

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 n 1 n 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 1 x 1 x x

1 2 1 x 2x 1 x 1

y' x 1 x x 1 x

1 x 1 x

x 1 x x 1 x

Simplificando: ( )

n

2

y' 2 x 1 x

Problema 12

Calcular la primera derivada de:

2

x x 4x 4

y arctg

Solución:

Derivando:

2

2

2

1 1 x 2

y' 1

x 4x 4

x x 4x 4

Para poder simplificar realizamos operaciones:

( )

2

2

2

2

2 x 4x 4 x 2

y'

x 4x 4

4 x x 4x 4

Desarrollando

( )

2

2

x x 4x 4 :

2

2 2 2

2 x 4x 4 x 2

y'

2x x 4x 4 2x 4x x 4x 4

Se sabe que la siguiente identidad trigonométrica:

tg tg x

1 tg x

4

tg x tg x

4 4 1 tg x

tg tg x

También:

2 2 2

tg x tg x tg x tg x

sen x

sec x

tg x 1 sec x tg x 1

Reemplazando en la expresión a derivar:

y arctg tg x arcsen sen x

, pero

1

f f x x

−

y = − x + x ⇒ y = ⇒

y' = 0

Problema 15

Calcular y' , si

2

2 2

1 x 1 1 x x x 3

y ln ln 3 arctg

1 x 2 1 x x 1 x

Solución:

Para facilitar la derivación aplicamos propiedades logarítmicas

( ) ( )

2 2

2

1 x 3

y ln 1 x ln 1 x ln 1 x x ln 1 x x 3 arctg

2 1 x

Derivando

( )

2

2 2 2 2

2

2

1 x x 2x 1 1 1 1 2x 1 2x 1

y 1 3 3

1 x 1 x 2 1 x x 1 x x

x 3 1 x

1 x

Simplificamos cada sumando

2 2

2 4 2 4 2

2 1 x 3x 3

y

1 x x x 1 x x 1

Sumando las tres fracciones

6

y'

x 1

Problema 16

Demostrar que:

−

n 1 n

2 3 4 n 1

2

nx n 1 x 1

1 2x 3x 4x 5x ....... nx , n

x 1

Solución: Partimos de

n 1

2 3 4 n

x 1

1 x x x x ..... x

x 1

derivando en ambos miembros:

( )

−

n n 1

2 3 n 1

2

n 1 x x 1 x 1

1 2x 3x 4x ..... nx

x 1

Simplificando el segundo miembro

−

n 1 n

2 3 4 n 1

2

nx n 1 x 1

1 2x 3x 4x 5x ....... nx , n

x 1

Con lo que queda demostrado.

Problema 17

Sea

( )

2

x

2 2x 5

tg sen

4 2 3x 1

, calcular

( )

6

Solución:

Derivando

( )

π π π π π π π

ϕ

2

x 2

2 2x 5 2 2x 5 2 2x 5 17

' 2tg sen sec sen cos

4 2 3x 1 4 2 3x 1 4 2 3x 1 2

3x 1

Evaluando en x = 6

( )

2

6

' 2 tg sen sec sen cos

2

0

Finalmente ( )

ϕ =

6

Problema 18

Derivar y simplificar al máximo

( )

2

x 2 2

1 x 2x 1 1 2x

f ln arctg

4 2 x 2x 1 8 1 x

Solución:

Aplicamos propiedades logarítmicas, para facilitar la derivación:

( )

( ) ( )

2 2

x 2

1 1 2x

f ln x 2x 1 ln x 2x 1 arctg //

1 x 4 2 8

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

x 2

1 1 2x

f ' ln x 2x 1 ln x 2x 1 arctg

1 x 4 2 8

( )

( )

( )

2

x 2 2 2 2

2

2

1 x x 2x

1 2x 2 2x 2 1 1

f ' 2

4 2 x 2x 1 x 2x 1 8

2x 1 x

1 x

Simplificamos:

2 2

cosx senx 3 cosx senx 1

y

2 senx cosx 1 3 2 senx cosx

( ) ( )

2 2 2 2

3 cosx senx 1 cosx senx

y

2 sen x 2senxcosx cos x 1 3 2 sen x 2senxcosx cos x

3 cosx senx 1 cosx senx

y

2 4senxcosx 1 2 4senxcosx 1

senx 2cosx

y

1 2sen2x

Problema 20

Calcular

y'

, si

sen x cos x sen x cos x

1 sen x 1

y arctg x ln 2 arctg

sen x cos x sen x cos x 1 sen x sen x

Solución:

Derivamos por partes:

A B

sen x cos x sen x cos x 1 sen x 1

y arctg x ln 2 arctg

sen x cos x sen x cos x 1 sen x sen x

Derivando y' = A' + 1 + B' (1)

Hallamos A' : Sea

sen x cos x sen x cos x

A arctg

sen x cos x sen x cos x

Simplificamos las expresiones trigonométricas

= × + ×

sen x cos x 1 / cos x sen x cos x 1 / cos x

A arctg

sen x cos x 1 / cos x sen x cos x 1 / cos x

π π

   

−

   

   

tg x tg x

4 4

tg x 1 tg x 1 tg x 1 tg x 1

A arctg arctg arctg tg x tg x

1 tg x 1 tg x 1 tg x 1 tg x 4 4

A x tg x

derivando tenemos

2 2

A' 1 sec x A' tg x

(2)

Hallamos B' : Sea

1 sen x 1

B ln 2 arctg

1 sen x sen x

C.V. = → =

d

dx

dz cos x

z sen x

dx 2 sen x

Reemplazando

1 z 1 1

B ln 2 arctg ln 1 z ln 1 z 2 arctg

1 z z z

Derivando tenemos

( )

−

2

2

1 1 1 dz

B' 1 2 z

1 z 1 z dx

1

z

Simplificando = −

2

4

4z dz

B'

z 1 dx

pero = =

dz cos x

z sen x ,

dx 2 sen x

entonces = −

2

4

4 sen x cos x

B'

2 sen x

sen x 1

Entonces =

2 sen x

B'

cos x

(3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1):

2

2

2 sen x tg x 1 2 sen x

y' tg x 1 1

4 cos x tg x 1 cos x

Finalmente

2

2 2 sen x

y'

cos x

sen x cos x

Problema 21

Hallar y'

( )

4 4

4 4

3

4 4

1 3 1 x 1

y arctg 1 x ln

1 x 1

Solución:

Transformamos la expresión para facilitar la derivación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

4 4 4 4 4 4 4 4

4 4

1 1 1 x 1 1 1

y arctg 1 x ln arctg 1 x ln 1 x 1 ln 1 x 1

1 x 1

(1)

C.V.:

3

4 4

3

4 4

d dz x

z 1 x //

dx dx

1 x

Reemplazamos en (1):

2

d 1 1 dy 1 1 1 1 1 dz

y arctg z ln z 1 ln z 1 //

2 4 dx dx 2 4 z 1 z 1 dx 1 z

2 2 4 4

dy 1 1 1 1 dz 1 dz dy 1 dz

dx 2 2 dx dx dx dx 1 z z 1 z 1 z 1

, pero = + =

3

4 4

3

4 4

dz x

z 1 x ,

dx

1 x

( )

( )

( ) ( )

( )

4 4 4

4 4

4 2 4 4

4 4 4 4 4

4

1 x 1 x 1 x

dy 1 ( 1 x ) 1 1 x

dx 1 x 1 x

( 1 x ) 1 x 1 x 1 x 1 x 2x

1 x

La respuesta es:

4

4

1 x

y'

1 x

Problema 23

Calcular

y simplificando:

( )

2

2 2

x 2 2 x 2x 2

y x 2x 2 ln x 1 x 2x 2 2 ln

x

Solución:

Antes de derivar transformamos la expresión.

2

2 2

x 1 1 2 x 1 1

y x 1 1 ln x 1 x 1 1 2 ln

x 1 1

(1)

Realizamos el C.V.

d dz

z x 1 // 1

dx dx

Reemplazando en (1):

( )

2

2 2

z 1 2 z 1

y z 1 ln z z 1 2 ln

z 1

( ) ( )

2 2 2

y z 1 ln z z 1 2 ln z 1 2 z 1 2 ln z 1

Derivando:

2 2

2 2 2

2z 2z

dy 2z 1 dz 2 z 1 2 z 1

dx z 1 dx

2 z 1 z z 1 z 1 2 z 1

(2)

Pero =

dz

dx

, reemplazando en (2):

2 2

2 2 2

2z 2z

dy 2z 1

2 z 1 2 z 1

dx z 1

2 z 1 z z 1 z 1 2 z 1

Simplificando obtenemos:

2

z 1

y

z 1

, pero z = x + 1

2

x 1 1

y

x 1 1

2

x 2x 2

y

x

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Problema 24

Si:

( ) ( )

x 2 x x 2 x 2 x

y arctg e e 1 arctg e e 1 e 1

Calcular:

( )

2 x 4 x

2 x

3 2 x

2 x

e 1 e 3 y''

A y''' y'

e

e 1

e 1

Solución:

Antes de derivar simplificamos:

Recordamos

A B

arctg A arctg B arctg

1 AB

Entonces:

( ) ( )

( )( )

x 2 x x 2 x

2 x

2 x 2 x

2 x 2 x

x 2 x x 2 x

e e 1 e e 1

2 e 1

y arctg e 1 arctg e 1

1 e e 1

1 e e 1 e e 1

( )

2 x 2 x 2 x 2 x

y arctg e 1 e 1 y arctg e 1 e 1 (1)

Derivamos (1):

( )

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x

2 x

2 2 x 2 x

2 x 2 x 2 x 2 x

2 x

1 e e e 1 e e 1

y' 1 y' e 1

e e

e 1 e 1 e 1 e 1

1 e 1

(2)

Derivamos (2): =

2 x

2 x

e

y''

e 1

(3)

Derivamos (3):

( ) ( )

2 x

2 x 2 x 2 x

4 x 2 x 2 x

2 3

2 x 2 x

e

2e e 1 e

e 2e e 1

y''' y'''

e 1 e 1

(4)

Reemplazamos (2), (3) y (4) en la expresión a calcular “A”:

( ) (

) ( )

2 x

2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x

2 x

2 x 2 x 3

3 2 x 3 2 x

2 x 2 x 2 x

e

e 1 e 3 y'' e 1 e 2e e 3

e 1

A y''' y' e 1

e e

e 1 e 1

e 1 e 1 e 1

Simplificando:

( )( )

2 x 2 x

2 x 4 x 2 x 4 x

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x

e 1 e 1

e 2 e 3 e e 1

A

e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

( )

2 x

A e 1