Prácticas de Cálculo Integral: Ejercicios de Integración Indefinida y Doble, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Prácticas de Cálculo Integral: Ejercicios de Integración Indefinida y Doble y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ejercicios de

matem´aticas III

para la econom´ıa y la empresa

Universidad de Castilla-La Mancha Fac. CC. Econ´omicas y Empresariales, AB Mayo 2006.

-1 1 2 3 4 5 6 x

1 2 3

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

5 .- Resolver, por cambio de variable, las siguientes integrales.

1. ∫^ − sen(sen(x)) cos(x) dx 2.∫^ cos(sen(xx)) dx 3. ∫^ (1+3√ (^3) xx )^2 dx
2. ∫^

√ 1 −log(x) x dx^ 5.^

∫ (^) e√x 2 √x dx^ 6.^

(log(x))^2 +1^1 x dx

7. ∫^ esen^2 (x)2 sen(x) cos(x) dx 8. ∫^ 4(x + 1)^3 dx 9. ∫^ cos(x + 2) dx
8. ∫^ x (^22) +1x dx 11. ∫^2 e^2 x^ dx 12. ∫^ ex^3 +2x(3x^2 + 2) dx
9. ∫^ 6(x^3 + 1)x^2 dx 14. ∫^ 2 sen(x) cos(x) dx 15. ∫^ 3(9x^2 + 1)−^1 dx
10. ∫^ √ 1 −−(x^1 +1) 2 dx 17. ∫^ a^6 x+1 6 dx 18. ∫^ 3(x − 1)−^4 dx
11. ∫^ x√1 + x 3 dx

6 .- Resolver, usando integraci´on por partes, las siguientes integrales.

1. ∫^ x^2 ex^ dx 2. ∫^ x log(x) dx 3. ∫^ √x + 1x dx
2. ∫^ Atan(x) dx 5. ∫^ x sen(x + 3) dx 6. ∫^ log(x) dx
3. ∫^ log(1+ x 2 x^2 )dx 8. ∫^ log(x + √x^2 + 1) dx 9. ∫^ (Asen(x))^2 dx
4. ∫^ exx^32 dx 11. ∫^ x√1 + x/ 3 dx 12. ∫^ sen(log(x)) dx

7 .- Resolver las siguientes integrales racionales:

1. ∫^ x (^21) − 1 dx 2. ∫^ x 2 x− 1 dx 3. ∫^ x x^22 +1− 1 dx
2. ∫^ x (^3) +3x 2 x+3x+1 dx 5. ∫^ x (^3) −^2 52 x x− (^23) − 32 x dx 6. ∫^ xx (^43) −+2 16 dx
3. ∫^ x (^2) −^12 x+3 dx 8. ∫^ x (^2) −x 2 x+3 dx 9. ∫^ x 2 x−^22 −x^1 +3 dx
4. ∫^ x (^2) +^6 xx+1 dx 11. ∫^ x (^26) +x−x+1^1 dx 12. ∫^ x (^26) −x 2 −x^1 +1 dx
5. ∫^ x (^2) +6xx+18 dx

Soluciones

23 .-.- N´otese que^ f^ (x) es un cociente de polinomios cuyo denominador^ x^4 + 1 no se anula en R. Por tanto, f (x) es continua en R y entonces, tiene al menos una funci´on primitiva.

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

-3 -2 -1 1 2 3 x

2

4

-1 1 2 3 4 5 6 x

1

2

3

Primitivas de f (x) = 1 Primitivas de f (x) = sen(x).

4 .-

1. g′(x) = − sen(x),
2. g′(x) = ex+1,
3. g′(x) = (^) x+^1 a ,
4. g′(x) = 0,
5. g′(x) = − cos^3 (x) sen(x),
6. g′(x) = − sen(x^2 ) 2x,
7. g′(x) = − sen(x^2 ) 2x.

En los casos 4. y 6.

5 .-

1. cos(sen(x)) + C 2. log(sen(x)) + C 3. 32 x^2 /^3 + 185 x^5 /^3 + 278 x^8 /^3 + C
2. − 32 (1 − log(x))^3 /^2 + C 5. e√x^ + C 6. Atan(log(x)) + C
3. esen^2 (x)^ + C 8. (x + 1)^4 + C 9. sen(x + 2) + C
4. log(x^2 + 1) + C 11. e^2 x^ + C 12. ex^3 +2x^ + C
5. (x^3 + 1)^2 + C 14. sen^2 (x) + C 15. Atan(3x) + C
6. − Asen(x + 1) + C 17. a log(^6 x+1a) + C 18. −(x − 1)−^3 + C
7. 18((1+^ x^35 )^5 /^2 − (1+^ x^33 )^3 /^2 ) + C

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

Unidad Didactica 2.

1 .- Calcular (^) ∫ (^) b a f (x) dx,

en los siguientes casos:

1. a = 0, b = 1, f (x) = 1
2. a = −π, b = π, f (x) = sen(x)
3. a = 0, b = 10, f (x) = x cos(x^2 )
4. a = 0, b = 2, f (x) = (x^2 + 2x + 1)−^1.

2 .- Demostrar, usando un contraejemplo, que en general no se cumple la desigualdad: ∫ (^) b a |f (x)| dx ≤ |

∫ (^) b a f (x) dx|. 3 .- En los siguientes casos, encontrar c que hace cierto el teorema del valor medio:

∃c ∈ [a, b] tal que

∫ (^) b a f (x) dx = f (c) (b − a).

1. a = − 1 , b = 1, f (x) = x.
2. a = 0, b = 2, f (x) = ex.
3. a = 1, b = 2, f (x) = log(x). 4 .- Clasifica las siguientes integrales seg´un sean propias (integrales de Riemann) o impropias. Representa las integrales impropias como sumas de integrales impropias de primera y/o segunda especie.
4. ∫^2 ∞ 1 dx 2. ∫^ −^101 e−x^ dx 3. ∫^ −^21 x (^2) −^12 x+1 dx
5. ∫^ −^21 x (^21) +1 dx 5. ∫^ −∞∞ e−x^2 dx 6. ∫^12 sen^1 (x) dx
6. ∫^12 cos^1 (x) dx 8. ∫^0 ∞ √x(^1 x+1) dx 9. ∫^01 log(x) dx
7. ∫^01 x dx 11. ∫^0 ∞ x dx 12. ∫^02 x−^12 dx
8. ∫^ −^11 sen(cos(xx)) dx 14. ∫^ −^11 sen(cos(xx)) dx 15. ∫^ −∞∞ e−x^ dx
9. ∫^010 e^1 x dx 17. ∫^ −^01 x (^2) −^13 x+2 dx 18. ∫^05 x (^2) −^13 x+2 dx
10. ∫^01 sen( x x)dx

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

5 .- Clasifica las siguientes integrales seg´un sean impropias de primera especie o de segunda especie.

1. ∫^1 ∞ 2 x^2 dx 2. ∫^02 sen(^1 x) dx 3. ∫^ −∞∞ x (^21) +1 dx
2. ∫^0 −^1 x (^21) − 1 dx 5. ∫^0 ∞ ex^ dx 6. ∫^02 log(x) dx

6 .- Calcula las siguientes integrales impropias, en caso de convergencia

1. ∫^ −∞^0 xex^ dx 2. ∫^0 ∞ xe−^2 x^ dx 3. ∫^0 ∞ cos(2x) dx
2. ∫^01 x(x^1 −2) dx 5. ∫^01 log(x) dx 6. ∫^01 sen^ cos((xx)) dx
3. ∫^02 x 11 / 2 dx 8. ∫^1 ∞ e−x^ sen(x) dx 9. ∫^1 ∞ e−x/^2 dx
4. ∫^01 log( xx )dx 11. ∫^0 ∞ x (^21) +1 dx 12. ∫^ −∞∞ xe−x^2 dx
5. ∫^ −^11 x (^2) −^1 x− 2 dx 14. ∫^2 ∞ (x−^1 1) 3 / 2 dx 15. ∫^0 ∞ x^2 e−x^ dx
6. ∫^ −∞^0 esen(x)^ cos(x) dx

Soluciones

1.- ∫^01 1 dx = 1. 2.- ∫^ −ππ sen(x) dx = 0. 3.- ∫^010 x cos(x^2 ) dx = 12 sen(100). 4.- ∫^02 (x^2 + 2x + 1)−^1 dx = 23. 2 .- Usando f (x) = x y el intervalo de integraci´on [-1,1], obtenemos ∫ (^1) − 1 |f^ (x)|^ dx^ =

− 1 |x|^ dx^ =

− 1 (−x)^ dx^ +

0 x dx^ = 1.

Por otro lado, |

− 1 f^ (x)^ dx|^ =^ |

− 1 x dx|^ = 0. 3 .- 1.- c = 0. 2.- c = log(e^22 − 1 ). 3.- c = (^4) e.

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

17. Integral de Riemann (propia).
18. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda especie: (^) ∫ (^1)

0 f (x) dx +

1 f (x) dx +

2 f (x) dx.

19. Integral de Riemann (propia). f (x) est´a acotada en (0,1], ya que

xl´ım→ 0 sen( x x)= 1.

5 .- 1.,3. y 5. son de primera especie. 2.,4. y 6. son de segunda especie.

6 .-

1. -1 2. 1/4 3. No converge
2. No converge 5. -1 6. No converge
3. 2√ 2 8. cos(1)+sen(1) 2 e 9. 2/√e
4. No converge 11. π/ 2 12. 0
5. No converge 14. 2 15. 2
6. No converge

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

Unidad Didactica 3.

1 .- Calcular la integral doble ∫ ∫ S f (x, y)dxdy en los siguientes casos:

1. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 }; f (x, y) = 2xy,
2. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}; f (x, y) = x + y,
3. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x^2 }; f (x, y) = (1 + 2y) sen(x),
4. S el tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos (0, 0), (1, 1), (1, 0); f (x, y) = x^1 /^2 ,
5. S es el paralelogramo de v´ertices (− 1 , 0), (0, 1), (2, 0), (1, −1); f (x, y) = x − y,
6. S el tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos (0, 0), (1, 1), (2, −1); f (x, y) = y^2.

2 .- Calcular la integral doble ∫ ∫ S f (x, y)dxdy en los siguientes casos:

1. S es el recinto acotado, limitado por la curva y = sen x, y por las rectas y = 0, x = 0, x = π; f (x, y) = x − y
2. S es el recinto acotado, limitado por las curvas y = x^2 , y = x^4 ; f (x, y) = 1.

3 .- Utilizar la relaci´on

∫ ∫ S 1 dx dy = Area de´ S,

para calcular el ´area de los siguientes recintos:

1. S = {(x, y) : − 1 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ x^2 }, 2. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ e−x},
2. S = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2 , y ≥ √x, x ≥ 0 }

4 .- Utilizando integrales definidas unidimensionales, calcular las ´areas de los conjuntos del

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

6 +^

3 √ 2 −^

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

Unidad Didactica 5.

1 .- Demostrar los siguientes enunciados:

1. Si S, T ⊂ Rn^ son conjuntos convexos, entonces el conjunto S + T es convexo.
2. ∀u ∈ Rn, u 6 = 0 y ∀c ∈ R, el hiperplano H(u, c) es un conjunto convexo.
3. Si S ⊂ Rn^ es un conjunto convexo y f : Rn^ −→ Rm^ es una aplicaci´on lineal, entonces Im(f ) y f (S) son conjunto convexos. 2 .- ¿Cu´al de los siguientes conjuntos es convexo? (Demostrar o proporcionar un contrae- jemplo
4. S = {(x, y) ∈ R^2 : |x| ≤ y}.
5. S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 4}.
6. S = {(x, y) ∈ R^2 : y ≤ x}.
7. A una matriz de orden m × n, b ∈ Rm^ y S = {x ∈ Rn^ : Ax ≤ b}. 3 .- ¿Cu´al de los siguientes conjuntos es convexo? (Demostrar o proporcionar un contrae- jemplo).
8. S = {(x, y) ∈ R^2 : x + y ≤ 3 , 2 x − y ≤ 5 , x − y ≥ 0 , x + 3y ≥ 2 }.
9. S = {(x, y) ∈ R^2 : 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 9 }.
10. S = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y − z = 0}.
11. S = {(x, y, z) ∈ R^3 : z = x^2 + y^2 }.
12. S = {(x, y) ∈ R^2 : y ≤ x^2 + 1, − 1 ≤ x ≤ 1 , y ≥ 0 }. 4 .- Verdadero o falso (Demostrar o proporcionar un contraejemplo).
13. Todo conjunto convexo es cerrado.
14. Todo conjunto compacto es convexo.
15. Cualquier subespacio vectorial S de Rn^ es un conjunto convexo.
16. Si A ⊂ B y B es convexo, entonces A es un conjunto convexo. 5 .- Demostrar
17. Si f : Rn^ −→ R es lineal, entonces f es c´oncava y convexa.
18. Si f : Rn^ −→ R es convexa entonces (−f ) es c´oncava.

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

Unidad Didactica 6.

1 .- Encontrar los m´aximos y m´ınimos del siguiente problema de optimizaci´on, usando mul- tiplicadores de Lagrange. optimizar f (x, y) = 2x + y s.a xy = 32. 2 .- Encontrar los puntos estacionarios del siguiente problema de optimizaci´on optimizar f (x, y) = xy s.a. x^2 + y^2 = 2 3 .- Resolver el siguiente problema de optimizaci´on usando multiplicadores de Lagrange: min x^2 + y^2 + z^2 s.a. x + y + z = 1. 4 .- Sea la funci´on f (x, y) = x^3 − 3 xy + y^3. Se pide encontrar sus puntos estacionarios y clasificarlos seg´un sean m´aximos, m´ınimos o puntos de silla. 5 .- Resolver el siguiente problema de optimizaci´on: max xy^2 + x^2 y s.a. x + y = 1. 6 .- Obtener los puntos estacionarios del problema de optimizaci´on (sin restricciones): opt x^2 + (y^2 − 1)(z − 1). Clasificar los puntos estacionarios seg´un sean m´aximos, m´ınimos o puntos de silla. 7 .- Determinar (x, y) ∈ R^2 que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias de los puntos {(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),... , (xn, yn)} ⊂ R^2 a (x, y).

8 .- Determinar los par´ametros a y b que minimizan la integral: ∫ (^1) 0 (ax + b − x^2 )^2 dx.

9 .- Optimizar las siguientes funciones:

1. f (x, y) = (2x + y^2 )ex^ 2. f (x, y) = y^2 log(x − y)
2. f (x, y, z) = 2x^3 + y^2 − z^2 + 3xy − 5 z 4. f (x, y) = (2x − 1)^2 + 10(y + 3)^2 − 2 xy
3. f (x, y) = log

2 +^ x^4 +^ y^2

6. f (x, y) = (x − y)ex+y
7. f (x, y) = 1 + log(x^2 − y)

omicas y Empresariales, AB. Mayo 2006.

10 .- De entre los tri´angulos rect´angulos de ´area 6, determinar aquel cuya hipotenusa sea m´ınima. 11 .- Determinar una relaci´on entre los par´ametros a y b para que el punto (1, 0) sea un punto estacionario del problema:

max x^2 + axy + by^2 s.a. x − y = 1. 12 .- Resolver los siguientes problemas:

1. Optimizar x − 2 y s.a. x + 2y^2 = 3 2. Optimizar x^2 − 2 z^2 − 2 xy s.a. x + y + z = 1 x − z = − 4
2. Optimizar xyz s.a. x + y + z = 6 4. Optimizar x(1 + y) s.a. x − y^2 = 3
3. Optimizar x^2 + 2xy + z s.a. x + y = 1 2x+y+z= 6. Optimizar sen(x) cos(y) s.a. x − y = 0